簡單線性規(guī)劃應(yīng)用價(jià)值的探討

1、 簡單線性規(guī)劃應(yīng)用價(jià)值的探討、線性規(guī)劃的含義線性規(guī)劃是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，即要尋找既滿足約束條件又使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的解。要一下子處理可能比較困難，于是提出“可行域”這一概念，將求解線性規(guī)劃的問題分解為兩步：第一步先求“可行解”；第二步再求“最優(yōu)解”；從而分散了難點(diǎn)，找到了解決問題的方法。線性規(guī)劃作為非常成功的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域里使用得非常廣泛。II、線性規(guī)劃的常規(guī)應(yīng)用xy0A(3,5)5x-y-10=0x-y+2=02-222x+y=0增大圖1線性規(guī)劃最常見，最直接的應(yīng)用就是用來求目標(biāo)函數(shù)的最值，這種目標(biāo)函數(shù)包括線性的和非線性的，解決這一類問題的方

2、法就是分析目標(biāo)函數(shù)所代表的幾何意義；如例1、(2008年廣東卷)若變量滿足約束條件,則的最大值是_.解析： 作出可行域(如圖1)，從圖可以看出表示的是直線在軸上的截距xy0A(3,5)5x-y-10=0x-y+2=0-22圖2P(x,y)目標(biāo)函數(shù)上移時(shí)z的值增大，由得 ,所以，上面這道題目標(biāo)函數(shù)是線性的，如果再進(jìn)一步變化就可以出現(xiàn)另外兩類常見題型： 變式 求目標(biāo)函數(shù)的最大值_解析： 該代數(shù)式的幾何意義可以看成是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)（-2，0）所形成的直線的斜率的最大值，從圖2可知, 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過A點(diǎn)時(shí)斜率有最大值1xy0A(3,5)5x-y-10=0x-y+2=0-22圖3P(x,y)變式 求目標(biāo)

3、函數(shù)的最大值_解析：目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離，從圖3可以看出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，最大值為. 線性規(guī)劃的內(nèi)容是在高中數(shù)學(xué)必修5第三章中出現(xiàn)的，可是在前面的必修1必修4的教學(xué)中都出現(xiàn)了比較多的線性規(guī)劃的內(nèi)容，學(xué)生往往在解決這一類問題時(shí)，并沒有注意到線性規(guī)劃的應(yīng)用。以下就舉一些線性規(guī)劃在其它章節(jié)中的應(yīng)用的題型。III、線性規(guī)劃應(yīng)用的多樣性1.線性規(guī)劃在集合中應(yīng)用例2（2007江蘇）在平面直角坐標(biāo)系，已知平面區(qū)域且，則平面區(qū)域的面積為 （ ）x0x-y=0x+y=0x=1圖4yA B C D解析：令，則有 由A滿足的條件得,將其轉(zhuǎn)化為 ，作出可行域（如圖4）所以面積為1例3

4、設(shè)集合| 是三角形的三邊長，則A所表示的平面區(qū)域(不圖50 x+y=1/2x=1/2y=1/2含邊界的陰影部分)的面積是_解析：根據(jù)三角形三邊所要滿足的條件，列出線性約束條件，即為, 作出可行域（如右圖5所示），該線性區(qū)域的面積為圖602.線性規(guī)劃在函數(shù)中的應(yīng)用例4 已知，且，,則的取值范圍是_         解析: 可化為:; 可化為:,將其變?yōu)?，作出可行域（如圖6所示）。所求的范圍可看作目標(biāo)函數(shù)的取值范圍,當(dāng)直線過點(diǎn)（1，0）有最小值-1，當(dāng)直線過（3，7）有最大值20，所以范圍為-1,20。例5 已知方程的

5、兩個(gè)根為,并且，則的取值范圍 ( ) A B. C. D. x01+x+y=02x+y+3=0y圖7 解析：設(shè)，則有，即，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為 ，作出可行域（如圖7所示），目標(biāo)函數(shù)的幾何意義表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）所形成的直線的斜率。取值結(jié)果為，選C3.線性規(guī)劃在數(shù)列中的應(yīng)用例6 (與數(shù)列有關(guān)的問題-2010年西工大附中第二次?？?設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，若則的最大值為( )A.3 B.4 C.-7 D.-5圖80x=13 x+2y=3 2x+3y=5解析：此題若用數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式去求解相當(dāng)繁瑣，不易求解，所以可將其看成是關(guān)于的線性規(guī)劃問題，即，可化為，求的最大值;將其轉(zhuǎn)化

6、為，求的最大值問題，通過畫出可行域(如圖8所示)，求目標(biāo)函數(shù)最值問題，選B.例7 （06北京高考題） 設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差都為整數(shù)，前項(xiàng)和為.()若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()若，求所有可能的數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析：（）由得,又,故解得.因此，的通項(xiàng)公式是 （）由得 將其轉(zhuǎn)化為作出可行域,又因?yàn)?，因此滿足條件的有 或.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為，和。圖90x=1 x-y=1/3y=1 y-x=1/34.線性規(guī)劃在概率中的應(yīng)用例8 兩人打算于 7 時(shí)到 8 時(shí)在公園約會，先到者等候 20 分鐘就可離去，求兩人能夠見面的概率。 解析：這里實(shí)際上是一個(gè)線性規(guī)劃問題。以 7 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，小時(shí)為單位。分別表示兩人到達(dá)的時(shí)間， 構(gòu)成邊長為1的正方形S，顯然這是一個(gè)幾何概率問題，列出線性約束條件 ，畫出可行域（如圖9所示），所以概率為。5.線性規(guī)劃在向量中的應(yīng)用圖100x=-3-3x+2y=04x+3y=0（-3，4）例9如圖所示,在直角三角形中 ,為的