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1、第五章 不定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 (一)學(xué)習(xí)要求1了解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質(zhì)2掌握不定積分的基本公式3掌握不定積分的換元法和分部積分法重點(diǎn) 原函數(shù)、不定積分的概念,不定積分的基本公式,不定積分的換元法和分部積分法難點(diǎn) 不定積分的換元法和分部積分法(二)內(nèi)容提要1原函數(shù)與不定積分(1)原函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義,若存在函數(shù),使得在該區(qū)間任一點(diǎn)處,均有,則稱為在該區(qū)間上的一個原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)的問題,還要說明兩點(diǎn):原函數(shù)的存在問題:如果在某區(qū)間上連續(xù),那么它的原函數(shù)一定存在(將在下章加以說明)原函數(shù)的一般表達(dá)式:若是的一個原函數(shù),則是的全部原函數(shù),其中為任意常數(shù)(2)不定積分若是

2、在某區(qū)間上的一個原函數(shù),則的全體原函數(shù)(為任意常數(shù))稱為在該區(qū)間上的不定積分,記為,即 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間有如下的互逆關(guān)系:,此式表明,先求積分再求導(dǎo)數(shù)(或求微分),兩種運(yùn)算的作用相互抵消此式表明,先求導(dǎo)數(shù)(或求微分)再求積分,兩種運(yùn)算的作用相互抵消后還留有積分常數(shù)對于這兩個式子,要記準(zhǔn),要熟練運(yùn)用2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式如下: 3不定積分的性質(zhì)(1)積分對于函數(shù)的可加性,即,可推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情況,即 (2)積分對于函數(shù)的齊次性,即 4分部積分公式 二、主要解題方法1直接積分法例1 計算(1) , (2)解 (1)不能直接用公式,用加項(xiàng)減項(xiàng)變換 ,即 =(2

3、)不能直接用公式,用二項(xiàng)和公式展開再利用三角變換 得原式=+=小結(jié) 計算簡單的不定積分,有時只需按不定積分的性質(zhì)和基本公式進(jìn)行計算;有時需要先利用代數(shù)運(yùn)算或三角恒等變形將被積函數(shù)進(jìn)行整理然后分項(xiàng)計算2換元積分法(1)第一換元積分法(湊微分法) = .例2 計算 (1) , (2)解 (1) 選擇換元函數(shù)使所給積分化為基本積分形式,再求出結(jié)果 為此,令 ,則 ,于是 =為簡便起見,令 這一過程可以不寫出來,解題過程寫成下面形式即可,= ( 稱為湊微分)(2)=小結(jié) 湊微分法一般不明顯換新變量,而是隱換,像上面所做,這樣省掉了回代過程,更簡便(2)第二換元積分法= (其中 是單調(diào)可微函數(shù)) 例3

4、計算 (1) , (2)解(1) 令, 則 , ,于是原式=.(2) 設(shè) , , 于是1原式= = = = 小結(jié) 第二換元法常用于消去根號,但有時也用于某些多項(xiàng)式 ,像 也可用函數(shù)的三角代換求出結(jié)果通常 當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時,可令 ,當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時,可令 , 當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時,可令 .3. 分部積分法 分部積分的公式為 =.應(yīng)用此公式應(yīng)注意:(1) 要用湊微分容易求出,(2) 比容易求.例4 計算 (1) , (2) 解 (1) 選 , , , 于是 原式 , 對于 再使用分部積分法,選, , 則 ,,從而 =原式=(),為了簡便起見,所設(shè) , 等過程不必寫出來,其解題步

5、驟如下:=.(2) = = = =+ =+,式中出現(xiàn)了“循環(huán)”,即再出現(xiàn)了移至左端,整理得=+小結(jié) 此積分一般用于被積函數(shù)為不同類型的函數(shù)乘積式,但也用于某些函數(shù),如對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等,對于被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積,還有以及上面所講的等,需多次使用分部積分公式,在積分中出現(xiàn)原來的被積分函數(shù)再移項(xiàng),合并解方程,方可得出結(jié)果,而且要記住,移項(xiàng)之后,右端補(bǔ)加積分常數(shù)三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、換元積分法與分部積分法難點(diǎn)是第一換元積分法,既基本又靈活,必須多下工夫,除了熟記積分基本公式外,還要熟記一些常用的微分關(guān)系式如 , ,,等等2不定積分計算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運(yùn)用積分方法在具體的問題中,常常是各種方法綜合使用針對不同的問題采用不同的積分方法如 ,先換元,令,再用分部積分法即

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