第五章___不定積分

1、第五章 不定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1了解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質(zhì)2掌握不定積分的基本公式3掌握不定積分的換元法和分部積分法重點(diǎn) 原函數(shù)、不定積分的概念，不定積分的基本公式，不定積分的換元法和分部積分法難點(diǎn) 不定積分的換元法和分部積分法（二）內(nèi)容提要1原函數(shù)與不定積分（1）原函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)，使得在該區(qū)間任一點(diǎn)處，均有,則稱為在該區(qū)間上的一個原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)的問題，還要說明兩點(diǎn):原函數(shù)的存在問題：如果在某區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在（將在下章加以說明）原函數(shù)的一般表達(dá)式：若是的一個原函數(shù)，則是的全部原函數(shù)，其中為任意常數(shù)(2)不定積分若是

2、在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，則的全體原函數(shù)（為任意常數(shù)）稱為在該區(qū)間上的不定積分，記為，即 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間有如下的互逆關(guān)系：,此式表明，先求積分再求導(dǎo)數(shù)（或求微分），兩種運(yùn)算的作用相互抵消此式表明，先求導(dǎo)數(shù)（或求微分）再求積分，兩種運(yùn)算的作用相互抵消后還留有積分常數(shù)對于這兩個式子，要記準(zhǔn)，要熟練運(yùn)用2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式如下： 3不定積分的性質(zhì)（1）積分對于函數(shù)的可加性，即,可推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情況，即 (2)積分對于函數(shù)的齊次性，即 4分部積分公式 二、主要解題方法1直接積分法例1 計算（1） ， （2）解 （1）不能直接用公式，用加項(xiàng)減項(xiàng)變換 ，即 =（2

3、）不能直接用公式，用二項(xiàng)和公式展開再利用三角變換 得原式=+=小結(jié) 計算簡單的不定積分，有時只需按不定積分的性質(zhì)和基本公式進(jìn)行計算；有時需要先利用代數(shù)運(yùn)算或三角恒等變形將被積函數(shù)進(jìn)行整理然后分項(xiàng)計算2換元積分法（1）第一換元積分法(湊微分法） = .例2 計算 （1） ， （2）解 （1） 選擇換元函數(shù)使所給積分化為基本積分形式，再求出結(jié)果 為此，令 ，則 ，于是 =為簡便起見，令 這一過程可以不寫出來，解題過程寫成下面形式即可,= （ 稱為湊微分）（2）=小結(jié) 湊微分法一般不明顯換新變量，而是隱換，像上面所做，這樣省掉了回代過程，更簡便（2）第二換元積分法= （其中 是單調(diào)可微函數(shù)） 例3

4、計算 （1） ， （2）解（1） 令, 則 , ,于是原式=.（2） 設(shè) , , 于是1原式= = = = 小結(jié) 第二換元法常用于消去根號，但有時也用于某些多項(xiàng)式 ，像 也可用函數(shù)的三角代換求出結(jié)果通常 當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時，可令 ,當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時，可令 , 當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時，可令 .3. 分部積分法 分部積分的公式為 =.應(yīng)用此公式應(yīng)注意:（1） 要用湊微分容易求出,（2） 比容易求.例4 計算 （1） ， （2） 解 （1） 選 ， ， , 于是 原式 , 對于 再使用分部積分法,選， , 則 ，,從而 =原式=（）,為了簡便起見，所設(shè) , 等過程不必寫出來，其解題步

5、驟如下:=.（2） = = = =+ =+,式中出現(xiàn)了“循環(huán)”，即再出現(xiàn)了移至左端，整理得=+小結(jié) 此積分一般用于被積函數(shù)為不同類型的函數(shù)乘積式,但也用于某些函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等，對于被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積，還有以及上面所講的等，需多次使用分部積分公式，在積分中出現(xiàn)原來的被積分函數(shù)再移項(xiàng)，合并解方程，方可得出結(jié)果，而且要記住，移項(xiàng)之后，右端補(bǔ)加積分常數(shù)三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、換元積分法與分部積分法難點(diǎn)是第一換元積分法，既基本又靈活，必須多下工夫，除了熟記積分基本公式外，還要熟記一些常用的微分關(guān)系式如 ， ，,等等2不定積分計算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運(yùn)用積分方法在具體的問題中，常常是各種方法綜合使用針對不同的問題采用不同的積分方法如 ，先換元，令，再用分部積分法即