第二節(jié)可分離變量的微分方程

1、第二節(jié) 可分離變量的微分方程 微分方程的類型是多種多樣的，它們的解法也各不相同. 從本節(jié)開始我們將根據(jù)微分方程的不同類型，給出相應(yīng)的解法. 本節(jié)我們將介紹可分離變量的微分方程以及一些可以化為這類方程的微分方程，如齊次方程等.分布圖示 可分離變量微分方程 例1 例2 例3 例4 例5 例6 齊次方程 例7 例8 例9 例10 例 11 可化為齊次方程的微分方程 例 12 例 13 例 14 例 15 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題8-2內(nèi)容要點一、可分離變量的微分方程設(shè)有一階微分方程,如果其右端函數(shù)能分解成，即有. (2.1)則稱方程(2.1)為可分離變量的微分方程，其中都是連續(xù)函數(shù). 根據(jù)這種方程的

2、特點，我們可通過積分來求解. 求解可分離變量的方程的方法稱為分離變量法. 二、齊次方程：形如 (2.8)的一階微分方程稱為齊次微分方程，簡稱齊次方程.三、可化為齊次方程的方程：對于形如的方程，先求出兩條直線 的交點，然后作平移變換 即 這時，于是，原方程就化為齊次方程 例題選講可分離變量的微分方程例1（E01）求微分方程的通解.解 分離變量得兩端積分得 從而,記則得到題設(shè)方程的通解 例2（E02）求微分方程的通解.解 先合并及的各項,得設(shè)分離變量得 兩端積分得 于是 記則得到題設(shè)方程的通解 注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過程中, 我們在假定的前提下, 用它除方程兩邊, 這樣得到的通

3、解, 不包含使的特解. 但是, 有時如果我們擴大任意常數(shù)C的取值范圍, 則其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我們得到的通解中應(yīng)該，但這樣方程就失去特解，而如果允許，則仍包含在通解中.例3 已知 當(dāng)時，求解 設(shè)則所以原方程變?yōu)榧此?故 例4 設(shè)一物體的溫度為100，將其放置在空氣溫度為20的環(huán)境中冷卻. 試求物體溫度隨時間的變化規(guī)律.解 設(shè)物體的溫度與時間的函數(shù)關(guān)系為在上節(jié)的例1中我們已經(jīng)建立了該問題的數(shù)學(xué)模型: 其中為比例常數(shù).下面來求上述初值問題的解.分離變量,得兩邊積分得(其中為任意常數(shù))，即 (其中).從而再將條件(2)代入,得于是，所求規(guī)律為注：物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個領(lǐng)域有廣

4、泛的應(yīng)用. 例如，警方破案時，法醫(yī)要根據(jù)尸體當(dāng)時的溫度推斷這個人的死亡時間，就可以利用這個模型來計算解決，等等.例5（E03）在一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度按照牛頓冷卻定律從原來的37開始下降，假設(shè)兩個小時后尸體溫度變?yōu)?5，并且假定周圍空氣的溫度保持20不變，試求出尸體溫度隨時間的變化規(guī)律。又如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度是30，時間是下午4點整，那么謀殺是何時發(fā)生的?解 根據(jù)物體冷卻的數(shù)學(xué)模型，有 其中是常數(shù)，分離變量并求解得 ，代入初值條件，可求得，于是得該初值問題的解為 。為求出 值，根據(jù)兩小時后尸體溫度為35這一條件，由 ，求得，于是溫度函數(shù)為 ，將代入上式求解，有 ，即得（小時）。于是，可以

5、判定謀殺發(fā)生在下午4點尸體被發(fā)現(xiàn)前的8.4小時，即8小時24分鐘，所以謀殺是在上午7點36分發(fā)生的。例6（E04）某公司t年凈資產(chǎn)有(百萬元), 并且資產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增長, 同時該公司每年要以300百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.(1) 給出描述凈資產(chǎn)的微分方程;(2) 求解方程, 這時假設(shè)初始凈資產(chǎn)為(3) 討論在三種情況下, 變化特點.解 (1) 利用平衡法，即由凈資產(chǎn)增長速度資產(chǎn)本身增長速度職工工資支付速度得到所求微分方程 (2) 分離變量，得 兩邊積分，得 為正常數(shù)），于是 或 將代入，得方程通解： 上式推導(dǎo)過程中當(dāng)時，知 通常稱為平衡解，仍包含在通解表達(dá)式中.(3) 由通解

6、表達(dá)式可知，當(dāng)百萬元時，凈資產(chǎn)額單調(diào)遞減，公司將在第36年破產(chǎn)；當(dāng)百萬元時，公司將收支平衡，將資產(chǎn)保持在600百萬元不變；當(dāng)百萬元時，公司凈資產(chǎn)將按指數(shù)不斷增大.齊次方程例7（E05）求解微分方程 滿足初始條件的特解.解 題設(shè)方程為齊次方程,設(shè)則代入原方程得分離變量得兩邊積分得 將回代，則得到題設(shè)方程的通解為利用初始條件得到從而所求題設(shè)方程的特解為例8求解微分方程解 原方程變形為令則方程化為分離變量得兩邊積分得整理得 所求微分方程的解為 例9（E06）求解微分方程 解 原方程變形為（齊次方程）令則故原方程變?yōu)榧捶蛛x變量得兩邊積分得或回代便得所給方程的通解為 例10求下列微分方程的通解: 解 原

7、方程變形為令則代入原方程并整理 兩邊積分得 即變量回代得所求通解 例11 設(shè)商品A和商品B的售價分別為已知價格與相關(guān), 且價格相對的彈性為求與的函數(shù)關(guān)系式.解 所給方程為齊次方程，整理，得 令則 分離變量，得 兩邊積分，得 將回代，則得到所求通解(即與的函數(shù)關(guān)系式) 為任意正常數(shù)).可化為齊次方程的方程例12（E07）求的通解.解 直線和直線的交點是因此作變換代入題設(shè)方程,得令則代入上式,得分離變量,得兩邊積分,得即回代得再將回代，并整理所求題設(shè)方程的通解例13（E08）利用變量代換法求方程的通解.解 令則代入原方程得分離變量得兩邊積分得回代得故原方程的通解為例14 求微分方程的通解.解 令則代入原方程得即