好用好附加題

1、江蘇省 2013 屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題 19加題 23 題附(1)江蘇高考說明中附加題圓錐曲線與方程中拋物線為 B 級要求，2011 年、2012 年高均沒有考查，2013 年高可能會考查；(2)江蘇高考說明附加題中對空間向量與立體幾何是 B 級要求，2009 年、2010 年、2012 年高考沒有考查，2011 年高考考查空間角的概念，求線段的長.2013 年高考會考查.典例1在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 C 的頂點在原點，經(jīng)過點 A(2,2)，其焦點 F 在 x 軸上(1) 求拋物線 C 的標準方程；(2) 求過焦點 F，且與直線 OA 垂直的直線的方程；(3) 設(shè)過點

2、 M(m,0)(m>0)的直線交拋物線 C 于 D，E 兩點，ME2DM，記 D 和 E 兩點間的距離為 f(m)，求 f(m)關(guān)于 m 的表達式解(1)由題意，可設(shè)拋物線 C 的標準方程為 y22px.因為點 A(2,2)在拋物線 C 上，所以 p1.因此，拋物線 C 的標準方程為 y22x.(2)由(1)可得焦點 F 的坐標是æ1，0ö，又直線 OA 的斜率為21，故與è2ø直線 OA 垂直的直線的斜率為1.2因此，所求直線的方程是 xy10.2地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：(3)法一：設(shè)點 D 和

3、E 的坐標分別為(x1，y1)和(x2，y2)，直線 DE 的方程是 yk(xm)，k0.將 xym 代入 y22x，有 ky22y2km0，k1±12mk2y1,2.k由 ME2DM，知 112mk22(12mk21)，化簡得 k2 4 ，因此m 12æöDE (x x ) (y y ) 1(y 222y )èk2ø1212121 ö4(12mk2)9æè1k2ø4(m24m)k2所以 f(m)3m24m(m>0)2æs2æt2öö法二：設(shè) Dè

4、2 ，sø，Eè2，tø，由點 M(m,0)及 ME 2 DM 得s2ö1 2æ2t m2èm 2 ø，t02(0s)因此 t2s，ms2，所以æ 2s2ö2f(m)DEè2s 2 ø (2ss)23m24m(m>0)2本小題主要考查直線、拋物線方程及兩點間的距離公式等基本知識，考查運算求解能力演練1(2012·徐州信息卷)過直線 x2 上的動點 P 作拋物線 y24x 的兩條切線 PA，PB，其中 A，B 為切點(1) 若切線 PA，PB 的斜率分別為 k1，k2，求

5、證：k1k2 為定值；(2) 求證：直線 AB 恒過定點證明：(1)不妨設(shè) A(t2，2t )(t >0)，B(t2，2t )(t <0)，P(2，m)11 122 2地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：因為 y24x，所以當(dāng) y>0 時，y2 x，y 1 ，所以 k11.同理 k21.t1t2x2t1m1由 k ，得 t2mt 20.111tt 2211同理 t2mt 20.22所以 t1，t2 是方程 t2mt20 的兩個實數(shù)根所以 t1t22.所以 k1k2 1 1為定值t1t222(t2t1)(2)直線 AB 的方程為 y2t1(

6、xt2)，1t2t2212t2 2 1即 yx2t1，t1t2t1t2即 y 2 x 2t1t2 ，由于 t1t22，t1t2t1t2所以直線方程化為 y 2 (x2)，t1t2所以直線 AB 恒過定點(2,0)典例2(2012·泰州期末)如圖，在三棱錐 PABC 中，平面 ABC平面 APC， ABBCAPPC 2，ABCAPC90°.(1)求直線 PA 與平面 PBC 所的正弦值；(2)若動點 M 在底面三角形 ABC 上，二面角 MPAC 的余弦值為3 11，求 BM 的最11小值解(1)取 AC 中點 O，ABBC，OBOC.平面 ABC平面 APC，平面 ABC平

7、面 APCAC，OB平面 PAC.地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：OBOP.以 O 為坐標原點，OB，OC，OP 分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系A(chǔ)BBCPA 2，OBOCOP1.從而 O(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，1)， BC (1,1,0)， PB (1,0，1)， AP (0,1,1)設(shè)平面 PBC 的法向量 n1(x，y，z)，ìïxy0，由 BC ·n10， PB ·n10 得方程組íïîxz0. AP 

8、3;n16取 n1(1,1,1)，cos AP ，n13 .| AP |n |1設(shè) PA 與平面 PBC 所為 ，則 sin |cos AD ，n1| 63 .直線 PA 與平面 PBC 所的正弦值為 63 .(2)由題意平面 PAC 的法向量 n2(1,0,0)設(shè)平面 PAM 的法向量為 n3(x，y，z)，M(m，n,0) AP (0,1,1)， AM (m，n1,0)，又 AP ·n30， AM ·n30，ìy0，ïzæn1ö.í取 n3ç，1，1÷èømïî

9、mx(n1)y0，n1 m n ·n3 112 3 cosn ，n .23|n2|n3|11æn1öç÷22èømænö1ç÷29.èømn13m 或 n13m(舍去) AM (m,3m,0)地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：又 AB (1,1,0)，ï(m，3m，0)·(1，1，0)ï2 5cos AM ， ABïï.5ïï10m2· 2則 si

10、n AM ， AB 5，3 510dAB·.55B 點到 AM 的最小值為垂直距離 d 10.5考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，求出平面的法向量是解題的關(guān)鍵演練2(2012·蘇北四市二模)在棱長為 2 的正方體 ABCDA1B1C1D1 中，E 為棱 AB 的中點，點 P 在平面 A1B1C1D1 中，D1P平面 PCE.(1)試求：線段 D1P 的長；(2)直線 DE 與平面 PCE 所的正弦值解：(1)建立的空間直角坐標系，則 D1(0,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)設(shè) P(x，y,2)，則 D1P (x，y,0)，EP (x2，y1,2)，EC (2,1

11、,0)因為 D1P平面 PCE，所以 D1PEP.D1PEC.所以 D1P · EP 0， D1P · EC 0，ìx4，ìx(x2)y(y1)0，ìx0，ïï5(舍去)或í故íïîíïî82xyy0.0îy5.即 Pæ4，8，2ö，è5ø5æ48ö16644 5所以 DP ， ，所以 D P0.è5ø15252551地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mai

12、l：admin鳳凰所有：(2)由(1)知， DE (2,1,0)， DP æ4，8，0ö， DP 平面 PEC，設(shè) DE 與平面 PECè5ø51116ïïDP · DE所為 ， DP 與 DE 所為 ，則 sin |cos |ï1ï5.4ï|DP | DE |ï518025ïï5·1所以直線 DE 與平面 PEC 所的正弦值為4.5專題技法歸納(1)拋物線與直線的位置關(guān)系中重點考查頂點在原點的拋物線與過焦點的直線的位置關(guān)系，熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)，利用

13、幾何性質(zhì)解決問題較為簡單；(2)空間向量與立體幾何主要考查向量的坐標表示、向量運算、平面的法向量、空間角及距離的計算對于點的位置的探索問題，可以利用向量共線定理設(shè)元確定1.(2012·蘇北四市三模)在三棱錐 SABC 中，底面是邊長為 2 3的正三角形，點 S 在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中點，側(cè)棱 SA 和底面成45°角(1) 若 D 為側(cè)棱 SA 上一點，當(dāng)SD為，BDAC；DA(2) 求二面角 SACB 的余弦值大小解：以 O 點為原點，OC 為 x 軸，OA 為 y 軸，OS 為 z 軸建立空間直角坐標系因為ABC 是邊長為 2 3的正三角形，又 S

14、A 與底面所為 45°，所以SAO45°. 所以 SOAO3.所以 O(0,0,0)，C( 3，0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B( 3，0，0)(1)設(shè) ADa，則 Dæ0，3 2a， 2 ö，所以 BD 2 aøè2æè 2 ö2 a，a ，3，3 2ø23，3,0)若 BDAC，則 BD · AC 33æ3 2aö0，AC (èø2a2 2，而 AS3 2，所以 SD 2.地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：

15、admin鳳凰所有：所以SD 2 1.DA22 2(2)因為 AS (0，3,3)， BC (2 3，0,0)設(shè)平面 ACS 的法向量為 n1(x，y，z)，ìïn1· AC (x，y，z)·( 3，3，0) 3x3y0，則íïîn1· AS (x，y，z)·(0，3，3)3y3z0，令 z1，則 x 3，y1，所以 n1( 3，1,1)而平面 ABC 的法向量為 n2(0,0,1)， 3×01×01×1 1 所以 cosn ，n ，顯然所求二面角的平面角為銳角，125121

16、2( 3)2· 1故所求二面角的余弦值的大小為 5.52.(2012·鎮(zhèn)江5 月)在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，O 是 AC 的中點，E 是線段 D1O 上一點，且 D1EEO.(1) 若 1，求異面直線 DE 與 CD1 所(2) 若平面 CDE平面 CD1O，求 的值的余弦值；解：(1)不妨設(shè)正方體的棱長為 1，以 DA ， DC ， DD1 為正交基底建立的空間直角坐標系 Dxyz.則 A(1,0,0)，Oæ1，1，0ö，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，Eæ1，1，1ö，è2øè42

17、ø24于是 DE æ1，1，1ö， CD1 (0，1,1)è42ø4 DE · CD1 3由 cos DE ， CD1 6 .| DE |·|CD1 |所以異面直線 AE 與 CD1 所的余弦值為 36 .(2)設(shè)平面 CD1O 的向量為 m(x1，y1，z1)，由 m· CO 0，m· CD1 0，地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：ì11ï2x12y10，得í取 x11，得 y1z11，ïîy1z10，即 m(1,

18、1,1)由 D EEO，則 Eæ， 1 ö，ç2(1)2(1)1÷1èøæ， 1 öç2(1)2(1)1÷.DEèø又設(shè)平面 CDE 的法向量為 n(x2，y2，z2)，由 n· CD 0，n· DE 0.ìy20，得í x2 y2 z2 0，取 x22，得 z2，即 n(2,0，)î2(1)2(1)1因為平面 CDE平面 CD1O，所以 m·n0，得 2.3.(2012·南通)如圖，已知三棱柱 ABCA1

19、B1C1 的側(cè)棱與底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M 是 CC1 的中點，N 是 BC 的中點，點 P 在直線 A1B1 上，且滿足 A1P A1B1 .(1)當(dāng) 取，直線 PN 與平面 ABC 所成的角 最大？(2)若平面 PMN 與平面 ABC 所成的二面角為 45°，試確定點 P 的位置解：(1)以 AB，AC，AA1 分別為 x，y，z 軸，建立空間直角坐標系 Axyz，則 Næ1，1，0ö，P(，0,1)，則 PN æ1，1，1ö，è2øè2ø22平面 ABC 的一個法向量為 n(0,0,

20、1)，則 sin |cos PN ，n| | PN ·n| 1.æ1ö25| PN |n|è2ø4于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而 é0，ù，當(dāng) 最大時，sin 最大，所以當(dāng) 1ë2û2時，sin 最大， 也最大(2)已知給出了平面 PMN 與平面 ABC 所成的二面角為 45°，即可得到平面 ABC 的一個地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：法向量為 n AA (0,0,1)，設(shè)平面 PMN 的一個法向量為 m(x，y，z)，MP æ，1，1&#

21、246;.è2ø1ìæ1öx1yz0，ìm· NP 0，ïè2ø2得í由í1ïîm·MP0，îxy2z0，ì21ïyx，3íî2(13)ïzx.令 x3，得 m(3,21,2(1)，|cosm，n|m·n|m|n| |2(1)|2，1，229(21)24(1)2故點 P 在 B1A1 的延長線上，且|A1P|1.24(2012·泰州期末)對稱軸為坐標軸，頂點在坐標原點

22、的拋物線 C 經(jīng)過兩點 A(a,2a)，B(4a,4a)(其中 a 為正)(1) 求拋物線 C 的方程；(2) 設(shè)動點 T(m,0)(m>a)，直線 AT，BT 與拋物線 C 的另一個交點分別為 A1，B1，當(dāng) m 變化時，記所有直線 A1B1 組成的集合為 M，求證：集合 M 中的任意兩條直線都相交且交點都不在坐標軸上解：(1)當(dāng)拋物線焦點在 x 軸上時，設(shè)拋物線方程 y22px，ìï4a22pa，íp2a.ïî16a28pa，y24ax.當(dāng)拋物線焦點在 y 軸上時，設(shè)拋物線方程 x22py，ìï16a28pa，&#

23、237;方程無解，拋物線不存在ïîa24pa，地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：綜上拋物線 C 的方程為 y24ax.(2)設(shè) A1(as2,2as)，B1(at2,2at)，T(m,0)(m>a)kTAkTA1， 2a 2as ，amas2mas2(ma)sm0.æm2，mö(asm)(s1)0，s a ，A1è a2mø.kTBkTB1， 4a 2at .4amat2m2at2(m4a)t2m0，(2atm)(t2)0.æm2 möt2a.B1è4a，m&

24、#248;.2mmæm2ö直線 A1B1 的方程為 y2mèx a ø.m2m2a4a直線的斜率為 4a 在(a，)單調(diào)，3m集合 M 中的直線必定相交m22m直線的橫截距為2a在(a，)單調(diào)，縱截距為 3 在(a，)單調(diào)，任意兩條直線都相交且交點都不在坐標軸上5(2012·常州)已知斜率為 k(k0)的直線 l 過拋物線 C：y24x 的焦點 F 且交拋物線于A，B 兩點設(shè)線段 AB 的中點為 M. (1)求點 M 的軌跡方程；11(2)若2<k<1 時，點 M 到直線 l：3x4ym0(m 為，m<3)的距離總不小于5，求

25、 m 的取值范圍解：(1)焦點 F(1,0)，直線 AB 方程為 yk(x1)，因為 k0，所以 xy1.kìïxy1，4k由í得 y2ky40.ïîy24x地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：y1y22.設(shè) A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y )，顯然 >0 恒成立，則 y01122002k又 x0y01，消去 k ，得 y22(x01)，0k所以點 M 的軌跡方程為 y22(x1)(2)由(1)知，點 Mæ 2 1，2ö.èk2kø因為 m&l

26、t;1，所以 d1ï 6 8m3ï1æ 6 8m3ö.5ïk2ï5èk2økk3由題意，得1æ 6 8m3ö1，m 2 對2<k<1 恒成立685èk2ø5k2kk因為2<k<1 時， 6 82 的最小值是2，k2k3所以 m2.36(2012·南通)在平面直角坐標系 xOy 中，已知焦點為 F 的拋物線 x24y 上有兩個動點 A，B，且滿足 AF FB ， 過 A，B 兩點分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線的交點為M.(1) 求： OA

27、83; OB 的值；(2) 證明： FM · AB 為定值22æxöæxö12解：(1)設(shè) A x1，B x2，è4 øè4 ø2x2， AF æxöæö1x2， 21焦點 F(0,1)x1，1， FB .è4 øèø4 AF FB ，ìïx1x2，x2x2æöæöí 2 1消 ，得 x11 x2 10.x2è 4øè4 

28、48;x2æö21ï1 ，14è 4øî化簡整理得(x1x2)æx1x21ö0.èø4x1x2，x1x24.x2 x2y1y221.1·4 4 OA · OB x1x2y1y23.地址：南京市湖南路 1 號B 座 808 室Mail：admin鳳凰所有：(2)證明：拋物線方程為 y1x2，y1x.42過拋物線 A，B 兩點的切線方程分別為x2x211y x1(xx1) 1和 y x2(xx2)2，2424x2x211即 y x1x 1和 y x2x2.2424æx

29、öx12聯(lián)立解出兩切線交點 M 的坐標為ç，1÷.èø2æx1x2ö æx2x2ö 21ç÷ ç÷ FM · AB·，2x ，xèø èø2124x2x2x2x221210(定值).227.(2012·淮陰聯(lián)考)在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 A(1,1)，P 是動點，且三角形 POA 的三邊所在直線的斜率滿足 kOPkOAkPA.(1)求點 P 的軌跡 C 的方程；(2)若 Q 是軌跡 C 上異于點 P 的一個點，且 PQ OA ，直線 OP 與QA 交于點 M，問：是否存在點 P 使得PQA 和PAM 的面積滿足 SPQA2SPAM？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由解：(1)設(shè)點 P(x，y)為所求軌跡上的任意一點，則由kOPkOAkPAy1得，y 1 ，整理得軌跡 C 的方程為 yx (x0 且 x1)2x1x1(2)設(shè) P(x1，x2)，Q(x2，x2)，12由 PQ OA 可知直線 PQOA，則 kPQkOA，x2x21021故，即 x2x11.x2x110直線 OP 方程為 yx1x (x11)21直線 QA 的斜率為x12，x