第06章彎曲變形題解

1、第6章 彎曲變形習(xí)題解答xABClq(a)a6-1 用直接積分法求下列各梁的撓曲線方程和最大撓度。梁的抗彎剛度EI為已知。（a）解：（1）彎矩方程 0xl+aM(x)=qlxqx2/2+q<x-l>2/2-ql2/2（2）積分 EIq(x)= qlx2/2qx3/6+q<x-l>3/6-ql2x/2+CEI(x)= qlx3/6qx4/24+q<x-l>4/24-ql2x2/4+Cx+D（3）定常數(shù)x = 0 q = 0 C = 0x = 0 = 0 D = 0max=B =()（b）l/3ABCxl(b)Mob解：（1）支反力 FA = Mo/l (),

2、FC =Mo/l ()（2）彎矩方程 0x 4l/3M (x)= Mox /lMo <x-l>/l（3）積分 EIq(x)= Mox2 /2l Mo <x-l>2/2l+CEI(x)= Mox3 /6l Mo <x-l>3/6l+Cx+D（4）定常數(shù)x = 0 = 0 D = 0x = l= 0 C =Mol/6max=B =()6-2 寫出下列各梁的邊界條件，并根據(jù)彎矩圖和支座情況畫出撓度曲線的大致形狀。解：xBAk(a)C2l2lMoaAxaEAaaCBF(b)BCABCAx = 0 = 0 x = a = 0 x = l=k = Mo/lk x = 3

3、a=l= Fa /2EAxABCDaaaMobMobaaaABCDFFx(d)(c)BCAD弧圓直線BCADaaaABCDx(e)MobMob弧圓直線BCADx = 0 q = 0 x = 0 = 0 x = 0 =0 x = 3a= 0 aaaqxABCD(f)BCADx = 0 = 0 x = 0 = 0 , q = 0x =2a =0 x = 2a= 0 6-3 用疊加法求下列各梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI為已知。xABCa2aq(a)aaaABCDxFaF(b)ABCDxFa(1)xABCq(1)ABCDxF(2)xABCq(2)（a）解：查表得 (),() 疊加：(

4、 )，（）（b）解：查表得() ,()l/4FABCx(c)l/4l/4l/4Fqa2qaaaABCDx(d) 疊加：( ), ()qABCDx(1)FABCx(1)qa2ABCDx(2)ABCx(2)F（c）解：查表得 () 疊加：( )， （）（d）解：查表得 ( ),( ), (),()疊加：( ), ()aBA(a)aEI2EICq6-4 用分段剛化法求下列各梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度為已知。(a) 解：（1）分別剛化AB和BC段梁，圖（a）梁變形為圖（1）和圖（2）梁變形的代數(shù)和。（2）查表得B(1)aEICq,aBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2(3)

5、疊加：( )()（b）解：（1）圖（b）梁變形后，C處轉(zhuǎn)角為零，所以該梁的變形計(jì)算可轉(zhuǎn)化為圖（1）梁的變形計(jì)算。分別剛化圖（1）梁的CD和BD段，如圖（2）、（3）所示，則圖（2）和圖（3）梁在B截面的撓度和轉(zhuǎn)角之和分別與圖（b）梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角數(shù)值相等（撓度方向相反）。F(b)aBAaEI2EIaaEIC(1)DEIF/2aBaBa2EICF/2EIM=Fa/2aBa2EICF/2EID(2)(3)D（2）查表得, (3) 疊加：( )() =aBA(c)aEI2EICqaBA(3)aEI2EICqB(1)aEICqaBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2（c）解：（1）

6、分別剛化AB和BC段梁，圖（c）梁變形為圖（1），圖（2）和圖（3）梁變形的代數(shù)和。由題6-4(a)可得，（2）查表得 ，(3) 疊加：( )()F(d)aBAaEI2EIaaEICF(1)aBa2EICFEIaBa2EICFEID(2)D（d）解：（1）與題6-4（c）類似，該梁變形計(jì)算可轉(zhuǎn)化為圖（1）和圖（2）梁變形的疊加。即梁1、2在B截面的撓度和轉(zhuǎn)角代數(shù)和分別與原梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角數(shù)值相等（撓度方向相反）。(2) 由題6-4(b)可得 ( ), ()(3) 查表得 ( )，()(4) 疊加：( ),()6-5 用力矩面積法求題6-4中各梁C截面撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。（a）aBA

7、(a)aEI2EICqABC1.5qa2。C10.5qa2C20.75a1.5a5a/3C3。解： (1) 作彎矩圖 分三塊查表6-1計(jì)算M圖面積i及其形心Ci對(duì)B截面的坐標(biāo)差。1 = -qa3/6 xC - xC1 = 0.75a 2 = -0.5qa3xC - xC2 = 1.5a3 = -0.5qa3xC - xC3 = 5a/3(2) 計(jì)算B、C 由于A = 0，A= 0，故（ ）()（b）F(b)aBAaEI2EIaaEICA3a/25a/32a/3B。C1C2。C3。Fa0.5FaC解： (1) 作彎矩圖 由于對(duì)稱只需取一半分三塊查表6-1計(jì)算M圖面積i及其形心Ci對(duì)B截面的坐標(biāo)差

8、。1 = Fa2/4 xC - xC1 = 2a/32 = Fa2/2 xC - xC2 = 3a/23 = Fa2/4 xC - xC3 = 5a/3(2) 計(jì)算B、C 由于C = 0，B= 0，故（ ）()（c）解： (1) 作彎矩圖 設(shè)AC、BC和AB段M圖面積分別為，1和2，Co、C1分別為和1的形心。S，S1，S2分別為、1和2對(duì)C截面的靜矩。查表6-1可得aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/4A3a/2。C1Co。2qa2BaBA(c)aEI

9、2EICq0.5qa23a/43a/2CC1Co。=-4qa3/3，1=-qa3/6，2=-1= -7qa3/6，xC - xco =3a/2,xC xC1 =3a/4, S1=1(xC xC1)=-qa4/8, S= (xC xC o)=-2qa4(2)由于A= 0，A= 0，故（ ）()（d）F(d)aBAaEI2EIaaEICF解： (1) 作彎矩圖 設(shè)DB、CD段M圖面積分別為1和2，C1, C2分別為1和2的形心。查表6-1可得1= Fa2/2， 2=Fa2 , xB xC1 =2a/3, xC xC2=3a/2 (2) 梁變形后，C= 0，B= 0，F(xiàn)aA3a/22a/3BC。C1

10、C2D( )()6-6 折桿CAB在A處有一軸承，允許AC段繞自身的軸線自由轉(zhuǎn)動(dòng)，但A處不能上、zlaxyCABFbhd下移動(dòng)。已知F=60N，b=5mm，h=10mm，d=20mm，l=500mm，a=300mm，E=210GPa，G =0.4E，試求B處的垂直位移。解：（1）AB段彎曲變形在B處產(chǎn)生的垂直位移為mm(2) CA段扭轉(zhuǎn)變形在B處產(chǎn)生的垂直位移為mm所以B B 1 +B2 = 6.17+2.05 = 8.22 mm6-7 圖示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成，已知l=4m，F(xiàn)= 20kN，E=210GPa，許用撓度=l/400，試按剛度條件選擇槽鋼的型號(hào)。CFBA2l2l解：Icm4 查型

11、鋼表，選16a槽鋼可滿足剛度要求。6-8 圖示實(shí)心圓截面軸，兩端用軸承支撐，已知F=20kN，a=400mm，b=200mm。軸承許用轉(zhuǎn)角= 0.05rad， = 60MPa，材料彈性模量E=200GPa，試確定軸的直徑d。解：（1）強(qiáng)度計(jì)算 kNmd1mmbaFABC(2) 剛度計(jì)算 查表得d2 mm欲滿足強(qiáng)度和剛度要求，應(yīng)取d=d1=76.8mm，考慮加工方便，取d =77mmFlaABC6-9 直徑為d的實(shí)心圓形截面直桿放置在水平剛性平面上，單位長(zhǎng)度重量為q，長(zhǎng)度為l，彈性模量為E，受力F=ql/4后，未提起部分仍保持與平面密合。試求提起部分的長(zhǎng)度a和提起的高度A 。解：（1）依題意，C

12、處曲率為零，所以C截面彎矩為零，即MC = Fa qa2/2 =0, a =2F/q = l/2aCqAF(2) AC段變形可簡(jiǎn)化為圖示的懸臂梁，由疊加法可得()6-10 簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)載荷F作用，彎曲剛度為EI。若要求載荷移動(dòng)時(shí)的軌跡是一條水平直線，試問應(yīng)先把梁彎成什么形狀（用=f(x)表示）？解：當(dāng)集中力F作用在微彎的曲梁x處時(shí)，該處的撓度仍可按直梁計(jì)算，查表可得l/2ABFl/2ABFlxx若要求F移動(dòng)的軌跡是一條水平直線,則應(yīng)使曲梁x截面形心到水平軸線距離等于x,即曲梁軸線方程為6-11 圖示靜不定梁AB受集中力F作用。已知許用應(yīng)力，抗彎截面系數(shù)為W。 (1) 試求許可載荷F；(2) 為

13、提高梁的承載能力，可將支座B向上移動(dòng)，使梁內(nèi)產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力。試求的最合理的許可值，及相應(yīng)的許可載荷F。解：（1）求支反力 選B處支座為多余約束，相當(dāng)系統(tǒng)如圖(a)所示。變形條件為 B = 0 , 由疊加原理 FBBAF(a)CB= FB +F =解得 5Fl/32(b)3Fl/16（2）強(qiáng)度計(jì)算 由彎矩圖(b)得 Mmax =MA =3Fl/16，F(xiàn) (3) 設(shè)支座B向上移動(dòng)后，其支反力增量為FB,則()此時(shí)，A處彎矩減小，C處彎矩增大，當(dāng)A、C兩處彎矩絕對(duì)值相等時(shí)，梁內(nèi)彎矩最小，則 ， FMoC(a)aaABFBBACMoMA(1)FA(2)9Mo/16Mo/86-12 試求圖示各靜不定梁的支反

14、力，并作彎矩圖。彎曲剛度EI為已知。（a） 解：（1）選B處支座為多余約束，相當(dāng)系統(tǒng)如圖(1)所示。變形條件為 B = 0(2) 變形計(jì)算 由疊加原理B= FB +Mo =解得 FB = 9Mo/16a ()FA = 9Mo/16a () MA = Mo/8(3)作彎矩圖如圖(2)所示（b）a2aFBCA(b)FCBACFFAMA(1)(2)Fa/2Fa解：（1）選C處支座為多余約束，相當(dāng)系統(tǒng)如圖(1)所示。變形條件為 C = 0(2) 變形計(jì)算 由疊加原理查表得C= FC +F =解得 FC = 7F/4 ()FA = 3F/4 (), MA = Fa/2(3)作彎矩圖如圖(2)所示（c）q

15、CBA2l2l(c)(1)qCBAFC(2)ql2/329ql2/512解：（1）選C處支座為多余約束，相當(dāng)系統(tǒng)如圖(1)所示。變形條件為 C = 0(2) 變形計(jì)算 由疊加原理查表得C= FC +q =解得 FC = 5ql/8 ()FA = FB =3ql/16 ()(3)作彎矩圖如圖(2)所示（d）aaABCq(d)(3)(1)aACqaBCqFC1FAFBMCMBMAMAqa2/8+(2)qa2/12qa2/24(4)解：(1)由對(duì)稱性可知，C處轉(zhuǎn)角為零，可視為固定端,因此，原結(jié)構(gòu)受力和變形等價(jià)于圖（1）中兩梁之和。由對(duì)稱性可得：FA = FB = FC1= qa/2 , FC =2F

16、C1 = qa MA = MB = MC(2) 用力矩面積法求AC梁固定端彎曲力偶 解除AC端轉(zhuǎn)動(dòng)約束后，相當(dāng)系統(tǒng)為一簡(jiǎn)支梁，其彎矩圖可由圖（2）和圖（3）疊加而成，因?yàn)锳C兩端相對(duì)轉(zhuǎn)角為零，故由力矩面積法可知，圖（2）、（3）彎矩圖面積之和為零，即MAa = (qa2/8)(2a/3), MA = qa2/12AB梁半邊彎矩圖如圖（4）所示。6-13 直梁的撓度曲線方程為=qx(3lx2 -2x3- l3)/48EI，求梁內(nèi)的最大彎矩和最大剪力值。并畫出梁上的約束和載荷。已知梁長(zhǎng)為l。解：(1) 內(nèi)力方程 由撓曲線近似微分方程和M、Q、q間的微分關(guān)系有, ql, ，由Q、M方程可知 x =

17、0, Q = 3ql/8, M = 0, =0, 0x = l,Q = -5ql/8, M = -ql2/8, = 0, = 0x = 3l/8（Q0）時(shí)，彎矩有極值，M* = 9ql2/128， Mmaxql2/8。Qmax =5ql/8(3) 由于梁的左端撓度為零而轉(zhuǎn)角不為零，可判斷是鉸支座，右端撓度和轉(zhuǎn)角為零,且有一集中力偶，可判斷是固定端，全跨受均布載荷，如圖所示。6-14 圖示懸臂梁一端固定在半徑為R的光滑剛性圓柱面上。若要使梁AB上各處與圓柱面完全吻合，且梁與曲面間無接觸壓力。正確的加載方式是哪一種？試求應(yīng)施加的載荷值。解：依題意，梁變形后，軸線應(yīng)彎曲為一圓弧，根據(jù)曲率公式，各截面彎矩應(yīng)為常數(shù)，因此正確的加載方式是圖（c）。 由 FlRBA(a)qlRBA(b)MoRBA(c)l(b)BAEI2EIEIC5 kN/m5 kN/m10 kN/m15 kN2m2 m2 m2 mABCDx100 kN.m15 kN5 kN/m5 m5 m5 m(a)*6-15 試用奇異函數(shù)法或力矩面積法編制計(jì)算機(jī)程序，求圖示各梁最大的撓度和最大的轉(zhuǎn)角。EI為常數(shù)。