直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、知識(shí)整理：1.考點(diǎn)分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多。多數(shù)涉及求圓錐曲線的方程、求參數(shù)的取值范圍等等。2解答直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的一般步驟：設(shè)線、設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立、消元，韋達(dá)、代入、化簡(jiǎn)。第一步：討論直線斜率的存在性，斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程為y=kx+b（或斜率不為零時(shí)，設(shè)x=my+a）；第二步：設(shè)直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1)B(x2,y2);第三步：聯(lián)立方程組，消去y 得關(guān)于x的一元二次方程；第四步：由判別式和韋達(dá)定理列出直線與曲線相交滿足的條件，第五步：把所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1x2，然后代入、化簡(jiǎn)。

2、3弦中點(diǎn)問(wèn)題的特殊解法-點(diǎn)差法：即若已知弦AB的中點(diǎn)為M(xo,yo)，先設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2);分別代入圓錐曲線的方程，得，兩式相減、分解因式，再將代入其中，即可求出直線的斜率。4.弦長(zhǎng)公式:(k為弦AB所在直線的斜率)二、例題分析：例1(2008湖北文)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在曲線C上.()求雙曲線C的方程；()記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若OEF的面積為求直線l的方程例2.(2005湖北文、理)設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1,3）是線段AB的中點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范

3、圍，并求直線AB的方程；()試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.（只做第一問(wèn)）例3.(2007重慶文)如圖,傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).（）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；()若為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2為定值,并求此定值.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：1（2005廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AOBO（如圖4所示）.AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2. (2008廣東文、理)設(shè)b>0，橢圓

4、方程為，拋物線方程為.如圖4所示,過(guò)點(diǎn)F(0,b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G.已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;(2)設(shè)A,B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）.四鞏固練習(xí)：1.( 2007廣東文、理)在平面直角坐標(biāo)系xOy巾，已知圓心在第二象限、半徑為的圓C與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)0橢圓與圓c的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10(1)求圓C的方程； (2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的

5、距離等于線段OF的長(zhǎng)若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2.（2007四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最大值和最小值;（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（參考答案）二、例題分析：例1()解法1：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為（0a24），將點(diǎn)（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求雙曲線方程為解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.2a=|PF1|PF2|=a2=2，b2=c2a2=2.雙曲線C的方程為()解：依題意，可設(shè)

6、直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,k()(1,).設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)，則由式得x1+x2=于是|EF|=而原點(diǎn)O到直線l的距離d,SOEF=若SOEF，即解得k=±,滿足.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和例2（）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得設(shè)是方程的兩個(gè)不同的根，且由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)則有依題意，N（1，3）是AB的中點(diǎn)，又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，的取值范圍是

7、（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0.（）解：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程的兩根，于是由弦長(zhǎng)公式可得將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得同理可得當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上.例3（）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線l的方程為。（）解法一：如圖,作ACl，BDl，垂足為C、D，則由拋物

8、線的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz，則|FA|AC|解得，類似地有，解得。記直線m與AB的交點(diǎn)為E，則所以。故。解法二：設(shè)，直線AB的斜率為，則直線方程為。將此式代入,得，故。記直線m與AB的交點(diǎn)為，則，故直線m的方程為.令y=0,得P的橫坐標(biāo)故。從而為定值。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.解：直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，依題意得，即，由得，設(shè)直線的方程為由弦長(zhǎng)公式得把代入上式，得 ，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則， 當(dāng)，有最小值，的面積存在最小值，最小值是2.解: (1)解方程組得, 所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(4,b+2)， 由，得，求導(dǎo)數(shù)得， 于是，拋物線在點(diǎn)G的

9、切線l的斜率為， 又橢圓中，即c=b,所以橢圓的右焦點(diǎn)為（b,0） 由切線l過(guò)點(diǎn)，可知，解得b=1. 所以滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為和(2) 在拋物線上存在點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形。且這樣的點(diǎn)有4個(gè)。證明：分別過(guò)點(diǎn)A、B做y軸的平行線，交拋物線于M，N點(diǎn)，則MAB=90O，NBA=90O， 顯然M，N在拋物線上，且使得ABM，ABN為直角三角形。若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)， 綜上所述, 滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)。四鞏固練習(xí)：1.【解析】(1)設(shè)圓的方程為，依題意, 解得,故所求圓的方程為 (注:此問(wèn)若結(jié)合圖形加以分析會(huì)大大降低運(yùn)算量!) (2)由橢圓的第一定義可得,故