空間平面方程的求法論文

1、空間平面方程的求法摘 要：空間平面是空間解析幾何中最簡(jiǎn)單而又最基本的圖形之一，所以確定它的方程有著重要意義。研究各種求解方程的方法，不難發(fā)現(xiàn)，用代數(shù)的方法能夠定量地建立平面的各種形式的方程。關(guān)鍵詞：空間平面 平面方程 方程的求解 空間解析幾何主要是研究三維空間中的平面，學(xué)習(xí)空間平面首先要明確他們的方程，我們?cè)谇蠼獾倪^程中，了解方程的特點(diǎn)熟悉常用的確定平面的方法。在這些方法中我們重點(diǎn)運(yùn)用代數(shù)的方法定量的研究空間最簡(jiǎn)單而又最基本的圖形，即空間平面。在學(xué)習(xí)這種方法時(shí)，有時(shí)矢量代數(shù)的知識(shí)掌握運(yùn)用得不好，再加上缺乏空間想象力，搞不清所求平面與已知條件，容易為求解方程帶來困難。為解決這個(gè)困難我們要深入的探

2、討空間平面的求解方法。如何根據(jù)已知條件寫出平面方程呢？對(duì)這類問題的求解是否有規(guī)律可循？雖然在求這類問題時(shí)題目中會(huì)給出很多不同的已知條件，只要我們采用相應(yīng)的解題方法，就會(huì)求出不同的關(guān)于平面方程的正確形式。求解方程沒有什么普遍的萬能的方法，所以必須全面掌握這部分的知識(shí)，再通過大量的練習(xí)來逐步的鞏固。在此，我通過一些實(shí)例探討求這類方程的方法。1、 用參數(shù)方程題目的已知條件是給出平面所經(jīng)過的一個(gè)定點(diǎn)以及平面的兩個(gè)方位矢量，有的題型是要求把所給的方程形式化為參數(shù)方程或者把已知的參數(shù)方程化為一般方程。矢量式參數(shù)方程 = + t1+t2其中=X1,Y1,Z1, =X2,Y2,Z2坐標(biāo)式參數(shù)方程例1、 寫出下

3、面的參數(shù)方程：通過點(diǎn)并平行于解：所求的參數(shù)方程為例2、證明矢量 平行于平面的充要條件為：證明：不妨設(shè)中的，把這平面的方程化為參數(shù)式：所以平面的兩方位矢量是與,從而知與已知平面共面的充要條件為與，共面，或 ,即. 如果在直角坐標(biāo)系下，那么由于平面的法矢量為,所以平行于平面的充要條件為，即.2、 用點(diǎn)位式方程題目會(huì)給出平面的兩個(gè)方位矢量的坐標(biāo)以及平面上的一個(gè)已知點(diǎn)。=03、用三點(diǎn)式方程題目的條件是平面上的三個(gè)已知點(diǎn)。=0 例3、已知三角形頂點(diǎn)為求平行于三角形 所在的平面且與它相距為2個(gè)單位的平面方程. 解：由已知，得，所以三角形所在的平面方程為.設(shè)與這個(gè)平面相距2個(gè)單位的平面方程為由于所以因此所求

4、的平面方程為 4、用一般式方程 （不全為零， =-（Ax0+By0+Cz0）注:在笛卡爾坐標(biāo)系下，每個(gè)平面是含有的三元一次方程。反之，該三元一次方程表示一個(gè)平面，且系數(shù)組成平面的法向量，即= 平面過原點(diǎn)的充要條件是 平面過z軸的充要條件是 平面過x軸的充要條件是 平面過y軸的充要條件是 平面平行于z軸的充要條件是.平面平行于x軸的充要條件是.平面平行于y軸的充要條件是例4、求通過點(diǎn)（2，-1，1）與點(diǎn)（3，-2，1）且平行于z軸的平面的方程。解：設(shè)所求平面方程為 ,由已知條件得 由此,所以所求的平面方程為 .例5、 求通過點(diǎn)（1，1，1）與點(diǎn)（1，0，2）且垂直于平面的平面的方程。 解：設(shè)所求

5、平面方程為,寫出這個(gè)平面過已知兩點(diǎn)且垂直于已知平面的條件 解之得，,于是所求平面方程為 5、用截距式方程 如果在一般式中都不為零，則可改寫成 （）由此可知該平面是過三點(diǎn)平面在軸，軸，及軸上的截距為例6、設(shè)平面在空間直角坐標(biāo)系的第一掛限的部分與三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成四面體的體積為1，并且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之比是,截距之和為6，求該平面的方程。解：設(shè)所求平面方程為 ，依題意，應(yīng)滿足 代入上式，解得t=1，故所求平面的方程為 例7、求三個(gè)平面與坐標(biāo)平面重合，而與原點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)在平面上的立方體的棱長.解：所給的平面可化為截距式方程為，所以截距分別為，因此，立方體在這個(gè)平面上的頂點(diǎn)可設(shè)為得.所以原點(diǎn)與點(diǎn)連

6、線所形成的立方體的體對(duì)角線長度為，因此所求的立方體的棱長為.例8、求通過點(diǎn)且在各坐標(biāo)軸上截取等長線段的平面的方程.分析：所給的條件是在各坐標(biāo)軸上截取的線段的長度相等，所以求解過程中應(yīng)該注意截距有正負(fù)多種情況.解：當(dāng)平面在軸上的截距都為正時(shí)可設(shè)平面方程為 得所以平面方程為當(dāng)平面在軸上的截距為正，在軸上的截距為負(fù)時(shí)，可設(shè)平面方程為得所以平面方程為 當(dāng)平面在軸上的截距為正，在軸上的截距為負(fù)時(shí)，可設(shè)平面方程為得所以平面方程為 當(dāng)平面在軸上的截距為正，在軸上的截距為負(fù)時(shí)，可設(shè)平面方程為得所以平面方程為6、用法式方程 坐標(biāo)式法式方程， （為原點(diǎn)到該平面的距離）例9、把平面的方程化為法式方程，求自原點(diǎn)指向平

7、面 的單位法矢量及其方向余弦。解：因?yàn)?gt;0.A2所以取法式化因子,將已知的一般方程乘上= ，即得法式方程：. 原點(diǎn)指向平面的單位法矢量為= ,它的方向余弦為. 點(diǎn)法式方程 注i ：在該方程中若沒有常數(shù)項(xiàng)則平面經(jīng)過原點(diǎn)。如果缺少一個(gè)有坐標(biāo)的項(xiàng)，則平面與相應(yīng)坐標(biāo)軸平行；如果同時(shí)缺少常數(shù)項(xiàng)和一個(gè)有坐標(biāo)的項(xiàng)，則平面經(jīng)過相應(yīng)坐標(biāo)軸。如果缺少兩個(gè)有坐標(biāo)的項(xiàng)，則平面與所缺項(xiàng)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)軸的坐標(biāo)平面平行。若果缺少兩個(gè)坐標(biāo)項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，則平面與其中一個(gè)坐標(biāo)平面重合。最后如果所有的坐標(biāo)項(xiàng)都沒有，而常數(shù)項(xiàng)異于0，則方程沒有意義。根據(jù)以上的六項(xiàng)注意，可以根據(jù)題目中給出的平面的特點(diǎn)設(shè)方程，使問題簡(jiǎn)化或者去驗(yàn)證所求出的

8、方程是否符合條件。 注ii：在空間直角坐標(biāo)系中利用點(diǎn)法式是確定平面方程的基本方法。所以如果確定了平面上的一點(diǎn)及其法矢量，就能人能夠確定平面方程，因此問題的關(guān)鍵在于找出平面上的一點(diǎn)以及平面的法矢量。在下列例題中就是根據(jù)不同的已知條件求平面方程。已知條件一：過一直線與一平面垂直，確定方程。（過兩點(diǎn)與一平面垂直，確定方程。對(duì)于這種情形只要將一直兩點(diǎn)連接起來得一直線問題就轉(zhuǎn)化為上述情形。）例10、求經(jīng)過直線，且垂直于平面。分析：因?yàn)槠矫娼?jīng)過直線，則一定經(jīng)過直線上的點(diǎn)（1，2，-1）。而且平面的法矢量與直線的方向矢量垂直，又因?yàn)樗笃矫娲怪庇谝阎矫?，所以兩平面的法矢量也垂直，于是所求平面的法矢量可以?/p>

9、已知平面的法矢量與已知直線的方向適量的叉積來確定。解：取=，所求平面方程為 已知條件二：過一點(diǎn)且垂直于二平面，確定方程。（過一點(diǎn)且與而直線平行，確定方程。對(duì)于這種情形所求平面的法矢量垂直于已知二直線的方向矢量，求解過程類比上述情形。）例11、做平面通過原點(diǎn)，且垂直于兩平面和。分析：所求平面垂直于已知的二平面，則所求平面的法矢量一定垂直于已知二平面的法矢量，所以所求平面的法矢量等于已知二平面的法矢量的叉積。 解：= 由點(diǎn)法式，所求方程： 已知條件三：過一直線與另一軸或者直線平行，確定方程。（過兩點(diǎn)與一軸或者直線平行，確定方程，同樣的將該情形中已知兩點(diǎn)連接成一條直線就變成上述情形。）例12、求通過

10、直線，且平行于直線的平面方程。分析：所求平面通過直線所以所求平面的法矢量一定垂直于直線的方向矢量，而且過上的點(diǎn)（1，-2，3），平面的法矢量也垂直于的方向矢量，所以所求平面的法矢量解：=-5，-10，0由點(diǎn)法式得： 已知條件四：過一點(diǎn)和軸或者直線，確定方程。（過二平行直線，確定方程，該情形很容易轉(zhuǎn)化為上述情形。）（過二相交直線，確定方程，該情形中可以取已知兩直線上的的任一點(diǎn)為所求點(diǎn)，取這兩條直線的方向適量的叉積為平面的法矢量。） 例13、 求通過點(diǎn)（1，3，-1）和直線分析：所求的平面通過已知直線，所以一定通過直線上的點(diǎn),而且通過已知點(diǎn)，所以所求平面的法矢量與垂直，與直線的方向向量垂直。 解：= 由點(diǎn)法式得已知條件五：過三點(diǎn)，確定方程。例14、求過三點(diǎn)的平面方程。分析：所求平面過已知三點(diǎn)，則所求平面的法矢量一定垂直于和，所以所求平面的法矢量=.解：由點(diǎn)法式，所求平面方程為： 小結(jié)： 以上幾種情形都利用了點(diǎn)法式方程，所求平面在空間中的位置縱使