第5講實(shí)數(shù)的完備性

1、第五講 實(shí)數(shù)的完備性I 基本概念與主要結(jié)果一 實(shí)數(shù)空間 1 無(wú)理數(shù)的定義人類最先只知道自然數(shù)，由于減法使人類認(rèn)識(shí)了負(fù)整數(shù)，又由除法認(rèn)識(shí)了有理數(shù)，最后由于開(kāi)方與不可公度問(wèn)題 畢達(dá)哥拉斯（公元前約580約500）：古希臘數(shù)學(xué)家、唯心主義哲學(xué)家，其招收300門徒組織了一個(gè)“聯(lián)盟”，后稱之為“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”，宣揚(yáng)神秘宗教和唯心主義在西方首次提出勾股定理，并把數(shù)的概念神秘化，認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，即數(shù)是萬(wàn)物的原型，也構(gòu)成宇宙的“秩序”，這里的數(shù)指的是自然然及自然數(shù)之比，即“有理數(shù)”，而且這種思想一直占統(tǒng)治地位，然而勾股定理的提出，導(dǎo)致這種理想的破滅，即以1為直角邊的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是多少？這一問(wèn)題后

2、來(lái)稱之為“不可公度”問(wèn)題，引起整個(gè)世界（哲學(xué)界和數(shù)學(xué)界）的恐慌，稱之為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，此問(wèn)題直到十九世紀(jì)末才被解決發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，可惜的是無(wú)理數(shù)不能用有理數(shù)的開(kāi)方形式主義來(lái)定義事實(shí)上，有理數(shù)開(kāi)方所得到的無(wú)理數(shù)只占無(wú)理數(shù)中很小的一部分為了讓實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，充滿全數(shù)軸，必須用別的方法方法之一是用無(wú)限小數(shù)，我們知道任何有理數(shù)都可表為無(wú)限循環(huán)小數(shù)，這樣可以把無(wú)限不循環(huán)小數(shù)定義為無(wú)理數(shù)一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，取其位小數(shù)的不足近似值與過(guò)剩近似值，與均為有理數(shù)，且（），可見(jiàn)以無(wú)限不循環(huán)小數(shù)定義無(wú)理數(shù)等價(jià)于承認(rèn)：以有理數(shù)為端點(diǎn)的閉區(qū)間套，必有且僅有唯一的公共點(diǎn)，此乃區(qū)間套定理，即承認(rèn)它是正確的歷史上引

3、進(jìn)無(wú)理數(shù)的傳統(tǒng)方法有兩種：戴德金（Dedekind）分割法和康托（Cantor）的有理數(shù)列的基本序列法戴德金分割法具有很強(qiáng)的直觀性，其思想是：每個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上已有一個(gè)確定的位置，假如在數(shù)軸上任意一點(diǎn)處將數(shù)軸截成兩段，那么全體有理數(shù)被分為左、右兩個(gè)子集如果折斷處是有理點(diǎn)，那么它不在左子集，就在右子集，這樣分割就確定了一個(gè)有理數(shù)，即的最大數(shù)或的最小數(shù)如果中沒(méi)有最大數(shù)，中也沒(méi)有最小數(shù)，這個(gè)分割就確定了直線上的一個(gè)“空隙”，稱之為無(wú)理數(shù)，顯然它是有序的，可定義其四則運(yùn)算（可參見(jiàn)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系沈燮昌編寫(xiě)的數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1986年）康托用有理數(shù)基本序列的等價(jià)類來(lái)定義實(shí)數(shù)，其方法雖沒(méi)有分割法直

4、觀，但其思想在近代數(shù)學(xué)中是十分有用的，影響深遠(yuǎn) 從古至今，數(shù)學(xué)的發(fā)展大致經(jīng)歷了五個(gè)時(shí)期：（1）萌芽時(shí)期（公元前600年以前）；（2）初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前600年到17世紀(jì)中葉）：歐氏幾何、算術(shù)、初等代數(shù)、三角等；（3）變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉到19世紀(jì)20年代）：微積分的建立、解析幾何、運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)等；（4）近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代到20世紀(jì)40年代）；（日前大學(xué)中的主要數(shù)學(xué)課程）（5）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（20世紀(jì)40年代以來(lái)）：顯著特點(diǎn)：計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用定義1 有理數(shù)列稱為是基本列，若，當(dāng)時(shí)，有 （1）定義2 兩個(gè)有理數(shù)基本序列和稱為是等價(jià)的，若 （2）將相互等價(jià)的基本列作為一類，稱為一等價(jià)類

5、有理數(shù)可表為基本列的極限，如常數(shù)列這樣可以認(rèn)為：一個(gè)等價(jià)類與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)，當(dāng)此序列對(duì)應(yīng)的不是有理數(shù)時(shí)，稱之為無(wú)理數(shù)此定義的實(shí)質(zhì)是：讓每個(gè)基本列（有理數(shù)）都有極限，這樣保證了極限運(yùn)算的封閉性，稱這種性質(zhì)為完備性2 實(shí)數(shù)空間的定義公理1 （域公理），有（1）交換律：，；（2）結(jié)合律：，；（3）分配律：；（4）兩個(gè)特殊元素0與1：，有，；（5）每個(gè)，關(guān)于“+”的逆元，關(guān)于“·”的逆元（此時(shí)），有，公理2（全序公理）與“+”、“·”運(yùn)算相容的全序公理（1），下列三種關(guān)系，有且僅有一個(gè)成立；（2）傳遞性：若，則；（3）與“+”相容性：若，則，有；（4）與“·”相容性：若，則

6、公理3（阿基米德（Archimedes）公理），使得公理4（完備性公理）有上界非空數(shù)集必有上確界由此可定義：定義3 實(shí)數(shù)空間是這樣的集合，在其上定義了“+”、“·”運(yùn)算，以及序關(guān)系“<”，滿足上述四組公理，中的元素稱為實(shí)數(shù)二 實(shí)數(shù)基本定理1 基本定理定理1（Dedekind確界定理）任何非空數(shù)集，若它有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界定理2（單調(diào)有界定理）單調(diào)有界數(shù)列必收斂定理3（Cauchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列收斂的充要條件是：，當(dāng)時(shí)，有定理4（Bolzano-Weierstrass致密性定理）有界數(shù)列必有收斂子列定理5（Weierstrass聚點(diǎn)定理）有界無(wú)窮點(diǎn)集至少有

7、一個(gè)聚點(diǎn)定理6（Cantor區(qū)間套定理）任何閉區(qū)間套必有唯一的公共點(diǎn)定理7（Heine-Borel有限覆蓋定理）閉區(qū)間上的任一開(kāi)覆蓋，必存在有限子覆蓋說(shuō)明：定理16屬于同一類型，它們都指出：在一定條件下，便有某一種“點(diǎn)”的存在這種點(diǎn)分別是：確界（點(diǎn)）、極限點(diǎn)、某子列收斂點(diǎn)、聚點(diǎn)、公共點(diǎn)定理7屬于另一類型，它是前六個(gè)定理的逆否形式，不論用前6個(gè)定理來(lái)分別證明定理7，還是用定理7分別證明前6個(gè)定理，都可用反證法來(lái)證明，而前6個(gè)定理都可以直接推出2 重要概念定義1（確界）設(shè)，若滿足：（1），即是的上界；（2），使得，即不是的上界則稱是的上確界，記為若，滿足：（1），有；（2），有；則稱是的下確界，記

8、作 即：上確界是最小的上界，下確界是最大的下界定義2 設(shè)閉區(qū)間列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）；則稱為閉區(qū)間套，簡(jiǎn)稱區(qū)間套定義3 設(shè)，若，使的任何鄰域均含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，稱為的一個(gè)聚點(diǎn)定義3 設(shè)，若的任何去心領(lǐng)域內(nèi)都含有中異于的點(diǎn)，即，稱是的一個(gè)聚點(diǎn)定義3 設(shè)，若存在彼此互異的點(diǎn)列，使得，稱為的一個(gè)聚點(diǎn)定義4 設(shè)，為開(kāi)區(qū)間構(gòu)成的集合若中任何一點(diǎn)都含在中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，即，使，稱是的一個(gè)開(kāi)覆蓋，或稱覆蓋若中開(kāi)區(qū)間的個(gè)數(shù)是無(wú)限（有限）的，稱為的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋（有限開(kāi)覆蓋）3 七個(gè)定理的環(huán)路證明例1 確界定理單調(diào)有界定理證 不妨設(shè)數(shù)列是單調(diào)增有上界，由確界定理知具有上確界，記為，顯然就是其極限事實(shí)

9、上，由上確界定義知，使，由單增性知，當(dāng)時(shí)，有，即 例2 單調(diào)有界定理閉區(qū)間套定理證 設(shè)是一區(qū)間套，則單增有上界，由單調(diào)有界定理知有極限，且，由區(qū)間套的定義知，又單減有下界，所以 ，此說(shuō)明，下證是唯一的，設(shè)變滿足上式，即，則有（）即例3 閉區(qū)間套定理有限覆蓋定理證 設(shè)為的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋，假設(shè)定理結(jié)論不成立，即不能用中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋將等分成兩個(gè)子區(qū)間，則其中至少有一個(gè)半?yún)^(qū)間不能被中有限個(gè)區(qū)間覆蓋，記之為，將等分成兩個(gè)小區(qū)間，則其中至少有一個(gè)半?yún)^(qū)間不能被中有限個(gè)區(qū)間覆蓋，記之為，如此下去便得一閉區(qū)間套，其中每一個(gè)區(qū)間不能被中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋由閉區(qū)間套定理，存在唯一的點(diǎn)，由于是的覆蓋，故，使得，由

10、保序性立得：當(dāng)充分大時(shí)，即，這與的構(gòu)造相矛盾，故命題為真例4 有限覆蓋定理聚點(diǎn)定理證 設(shè)是有界無(wú)限點(diǎn)集，則，為有限實(shí)常數(shù)，使得若存在聚點(diǎn)，則該聚點(diǎn)必屬于（容易證明之外任何一點(diǎn)都不是的聚點(diǎn)，因此只需證明：若不存在聚點(diǎn)，則矛盾事實(shí)上，假設(shè)不存在聚點(diǎn)，即中任一點(diǎn)都不是的聚點(diǎn)，由聚點(diǎn)定義，使得中只含有中有限個(gè)點(diǎn)，記，顯然是的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理知，存在有限個(gè)鄰域覆蓋，從而亦覆蓋了由的性質(zhì)立得中只有有限個(gè)點(diǎn)，矛盾例5 聚點(diǎn)定理柯西收斂準(zhǔn)則證 設(shè)是中任一數(shù)列，滿足條件：，有 （3）由此易證是有界的（事實(shí)上，對(duì) 當(dāng)時(shí)，有， 從而 ，取，則），記，則S為有界集若為有限集，則中至少有一個(gè)元素在中出現(xiàn)無(wú)限多

11、次，取此構(gòu)成一常數(shù)子列，則它是收斂的，設(shè)其極限為a，即，由條件（3）可得數(shù)列收斂于a若是無(wú)限集，則由聚點(diǎn)定理知至少有一個(gè)聚點(diǎn)，設(shè)為，則有事實(shí)上，由聚點(diǎn)的等價(jià)定義知，存在中彼此互異的點(diǎn)列（從而是的一子列），有又，由（3）式立得例6 聚點(diǎn)定理致密性定理證 設(shè)是有界數(shù)列，記，若為有限集，則由例5的證明過(guò)程知存在收斂子列若為無(wú)限集，則存在聚點(diǎn)，由聚點(diǎn)的等價(jià)定義立明（過(guò)程如例5）例7 致密性定理柯西收斂準(zhǔn)則證 設(shè)滿足柯西收斂準(zhǔn)則中的條件，則是有界數(shù)列，則必存在收斂子列，由此可證整個(gè)數(shù)列收斂（參見(jiàn)例5）例8 柯西收斂準(zhǔn)則確界定理證 設(shè)為非空有上界數(shù)列，由實(shí)數(shù)的阿基米德性質(zhì)，對(duì)任何正數(shù)，存在整數(shù)，使得為的上

12、界，而不是的上界，即，使得今分別取，則存在，使得為的上界，但不是的上界于是， （4），有， （5）由此易得，于是，有，由柯西收斂準(zhǔn)則知收斂，記下證是上確界由（4）易得是其上界其次，由得，當(dāng)，有，由（5）知：，有此說(shuō)明為的上確界4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明定理1（有界性定理）若函數(shù)在上連續(xù)，則在上有界證 由連續(xù)函數(shù)的局部有界定理：，及，有，構(gòu)造開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理立明定理2（最值定理）若函數(shù)在上連續(xù)，則在上有最大、最小值證 由定理1知在上有界，故由確界定理，在的值域有上確界，下證：，使若不然，則，有令，易見(jiàn)為上正的連續(xù)函數(shù)，故在上有上界，設(shè)為，則有，解之得 ，這與為在上的上確界矛盾定理3（零

13、點(diǎn)定理）設(shè)在上連續(xù)，且，則，使證 不妨設(shè)（則）記，顯然非空，且是有界集，從而有下確界，記下證事實(shí)上，由極限保號(hào)性知：，使，；（），；（）由此易得，即其次，若，不妨設(shè)，則由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性得：，使在其內(nèi)，特別地，這與是的下確界矛盾故必有思考題（哈爾濱工大2002）設(shè).證明：，使得定理4（一致連續(xù)定理）若在上連續(xù)，則在上一致連續(xù)證 由在上連續(xù)知，有 （5）構(gòu)造的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理，存在的一個(gè)子覆蓋，覆蓋了，記，于是，對(duì)任何，則必屬于中某個(gè)開(kāi)區(qū)間，設(shè)，即，此時(shí)有由（5）得，從而得4 例題選講例9 用區(qū)間套定理證明定理1-5證 都可用二等分方法證明（1）確界定理設(shè)為非空有上界數(shù)集，為的一個(gè)

14、上界若有最大值，則最大值即為上確界，若無(wú)最大值，任取，將二等分，若右半?yún)^(qū)間中含有中點(diǎn)，則記右半?yún)^(qū)間，否則記左半?yún)^(qū)間為，然后將二等分得，則至少有一個(gè)半?yún)^(qū)間含有E中點(diǎn)，記之為，如此下去，得一閉區(qū)間套，其每一閉區(qū)間均含有中點(diǎn)，由閉區(qū)間套定理，存在唯一的公共點(diǎn)，下證由的構(gòu)造知：，有，即是的上界；又，則，使，由的構(gòu)造知：，此說(shuō)明（2）單調(diào)有界定理設(shè)，則，用同樣的方法割分即可證之（3）Cauchy收斂準(zhǔn)則滿足Cauchy收斂準(zhǔn)則條件的數(shù)列（基本列）一定是有界數(shù)列，即，使，然后對(duì)進(jìn)行二等分，選含有無(wú)窮多項(xiàng)的那一半?yún)^(qū)間為，如此下去，由閉區(qū)間套立明（4）致密性定理同方法（3）（5）聚點(diǎn)定理同方法（3）例10 用

15、定理15證明區(qū)間套定理證（1）利用確界定理設(shè)是一區(qū)間套，則單增且有界，從而有上確界，由單調(diào)有界定理的證明知 ，（2）利用單調(diào)有界定理由單調(diào)有界定理知，且，再證唯一性即可（3）Cauchy準(zhǔn)則的充分性由知滿足柯西定理的條件（這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由區(qū)間套定義知），從而收斂，設(shè)極限為，則即為所求（4）致密性定理由致密性定理知存在收斂子列，由的單調(diào)性知收斂，從而得證（5）聚點(diǎn)定理令，則存在聚點(diǎn)，再由聚點(diǎn)的等價(jià)定義，仿（4）立明例11 用有限覆蓋定理證明定理16證 用反證法（1）證明確界定理設(shè)，且，有，任取，考慮閉區(qū)間，假若無(wú)上確界（最小的上界），那么，有當(dāng)為的上界時(shí)，必有更小的上界，因而有的開(kāi)鄰域，其中皆為

16、的上界；當(dāng)不是的上界時(shí)，自然有中點(diǎn)，于是有的開(kāi)鄰域，其中每點(diǎn)都不是上界這樣，中每點(diǎn)都可找出一個(gè)鄰域，它要么屬于第一類，要么屬于第二類，且這些鄰域構(gòu)成的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理，必存在有限子覆蓋注意，所在的區(qū)間應(yīng)為第一類的，相鄰的開(kāi)區(qū)間有公共點(diǎn)，從而也應(yīng)為第一類的，由此遞推可得所在區(qū)間也是第一類的這與矛盾（2）其它定理對(duì)定理2、3、4，每點(diǎn)可找到開(kāi)鄰域，使得中除中心點(diǎn)可能與中的項(xiàng)相同之外，其余與不相交；對(duì)定理5，每點(diǎn)可找到鄰域，除中心點(diǎn)可能屬于集合之外，再無(wú)中點(diǎn)；對(duì)定理6，每點(diǎn)可找到開(kāi)鄰域，使得至少有某一個(gè)與不交，從而當(dāng)時(shí)，與不相交然后利用有限覆蓋定理證之例12（哈爾濱工大2002，北師大免試

17、生2003，西安交大2004，武漢理工2004華東理工1998）設(shè)在上有定義，并且在上每一點(diǎn)都有極限，試證在上有界證，由極限的局部有界性定理知，當(dāng)時(shí)，有 構(gòu)造開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理知存在有限子覆蓋，不妨設(shè)為，相應(yīng)的記為，取，則 都有，即在上有界例13 設(shè)在上有定義，并且在上每一點(diǎn)的極限都存在為零試證在上可積，且證 設(shè)為任意一點(diǎn)，由條件知，即，當(dāng)時(shí)，有如此，構(gòu)成了的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理，其中存在有限子覆蓋，除有限個(gè)點(diǎn)之外，有于是，取，作一分劃，使含有的各小區(qū)間之總長(zhǎng)，則，其中表示令各小區(qū)間對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和，為其余各項(xiàng)之和由可積準(zhǔn)則知在上可積既是可積，可選取，則有，由此可得 例14 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)

18、，又有，使證明：存在，使分析：，則存在子列，其收斂，設(shè)為，則，且有例15（安徽大學(xué)2001）設(shè)在上連續(xù)，證明：對(duì)任何正整數(shù)，使得分析：當(dāng)時(shí)，取，命題成立若，令，則有若上式中每項(xiàng)均為零，則結(jié)論已成立；若不均為零，則由其和為零知其中有正有負(fù)，由零點(diǎn)定理立明例16（北京科技大學(xué)1999） 敘述數(shù)集S的上確界的定義，并證明：任意有界數(shù)列，總有 證 若滿足：（1），；（2），使得， 則稱是的上確界，記為下證不等式成立由于都是有界數(shù)列，所以它們的上確界都存在，記，則，從而，所以，例17（北京大學(xué)1994）設(shè)函數(shù)在上無(wú)界，求證：，使得，在上無(wú)界證法一 用有限覆蓋定理假設(shè)這樣的不存在，即，使得在上有界構(gòu)造開(kāi)覆

19、蓋，由有限覆蓋定理知存在有限子覆蓋，不妨設(shè)為，在其上都有界，分別記為，取，則 都有，即在上有界，這與題設(shè)矛盾，所以結(jié)論成立證法二 用區(qū)間套定理將區(qū)間等分為二，則由函數(shù)在上無(wú)界知至少在其中一個(gè)半?yún)^(qū)間上無(wú)界（如果都是則任取一個(gè)），記為，將此小區(qū)間等分為二，則至少在其中一個(gè)半?yún)^(qū)間上無(wú)界（如果都是則任取一個(gè)），記為，如此繼續(xù)下去得一區(qū)間套，在其每一個(gè)區(qū)間上都無(wú)界由區(qū)間套定理， 且，當(dāng)充分大時(shí)，有，因此，由的構(gòu)造知在上無(wú)界例18（武漢大學(xué)1994）設(shè) ，試證：必存在正整數(shù)p，使得證 取，則，當(dāng)時(shí)，有，于是有，而有限集必有最小值，因此，存在正整數(shù)p，使得例19（浙江大學(xué)2004，北京科技大學(xué)）證明：若一組

20、開(kāi)區(qū)間：，覆蓋了，則存在一，使得中任意兩點(diǎn)，滿足時(shí)，必屬于某一區(qū)間證 由有限覆蓋定理知：中存在有限個(gè)區(qū)間，不妨設(shè)為，它們也覆蓋了. 將這些區(qū)間的端點(diǎn)從小到大排成一列，相同的點(diǎn)只取其一，不妨設(shè)為，其中 令，則當(dāng)時(shí)，必存在，使得例20（天津大學(xué)1999）利用確界原理證明：若實(shí)數(shù)列單調(diào)遞減有下界，則必收斂，且證 記，則數(shù)集S有下界，由確界原理，S有下確界，記之為a，下證：事實(shí)上，a為S的下確界，則，且，使得，再由單減性假設(shè)知，當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，有，即例21（四川大學(xué)）用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得證 用反證法。假設(shè)，則由函數(shù)的連續(xù)性知：，在上恒正或恒

21、負(fù)，令，則H為的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理知存在有限子覆蓋，不妨設(shè)為，并且可設(shè)彼此不同（若相同，則只保留較大的領(lǐng)域，它們同樣覆蓋），這樣可把從小到大重心排列，不失一般性，設(shè)，于是，這樣，在上與同號(hào)。又，所以，在與同號(hào)，依次類推，在這k個(gè)領(lǐng)域內(nèi)都與同號(hào)，而，即得與同號(hào)，矛盾，因此，至少存在一點(diǎn)，使得例22（廈門大學(xué)2002）設(shè)函數(shù)在有限區(qū)間I上有定義，滿足：使得在內(nèi)有界。（1） 證明：當(dāng)時(shí)，在I上有界；（2） 當(dāng)時(shí)，在I上一定有界嗎？證（1）由有限覆蓋定理立明。（2）不一定。如函數(shù)在滿足假設(shè)，但在上無(wú)界。例23（華中師大）用閉區(qū)間套定理證明：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上有界。證 用反證法。假設(shè)在上

22、無(wú)界，將區(qū)間等分為二，則至少在其中一個(gè)半?yún)^(qū)間上無(wú)界，記這樣的區(qū)間為（若在兩個(gè)半?yún)^(qū)間上都無(wú)界，任選其一），將等分為二，則至少在其中一個(gè)半?yún)^(qū)間上無(wú)界，記這樣的區(qū)間為，如此下去得一區(qū)間套，在每一個(gè)區(qū)間上都是無(wú)界的。由區(qū)間套定理， 又在連續(xù)，則在的某領(lǐng)域內(nèi)有界，而當(dāng)n充分大時(shí)，這與的構(gòu)造矛盾，因此在上有界。例24 設(shè)單調(diào)數(shù)列。若存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且為的確界。證 不妨設(shè)是單增的。若無(wú)界，則，于是， 當(dāng)時(shí)，有.這樣，領(lǐng)域內(nèi)至多含有中有限項(xiàng)，因此A不是的聚點(diǎn)，由A的任意性知沒(méi)有聚點(diǎn)，這與假設(shè)條件矛盾，因此為有界數(shù)列，由單調(diào)有界定理知：，設(shè)是的一個(gè)聚點(diǎn)，則必存在一個(gè)子列收斂于，由海涅定理知 ，此說(shuō)明聚點(diǎn)

23、若存在，則必是唯一的，且為的確界。例25 設(shè)函數(shù)在上遞增，滿足，證明：，使得證 若 或 ，則命題已成立，故可設(shè). 記. 若，則已得證；若，則??；若，則取. 按此方法繼續(xù)下去，可得一區(qū)間套. 若在此過(guò)程中某一的中點(diǎn)，使得，則命題已成立，否則有： （1）由區(qū)間套定理， 下證：倘若，則由遞減趨于和極限的保序性得：，而，由的遞增性得，這與（1）式矛盾.類似可證時(shí)也矛盾，故命題成立.例26（北京師大2003）設(shè). 證明：存在，使得證 由上確界定義，滿足：.由此立得例27（北京大學(xué)、云南大學(xué)）設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)列，并且，數(shù)列都是有界的. 證明：在的某一非空子區(qū)間上一致有界證 反證法. 假設(shè)在內(nèi)任何非空子集上非一致有界，則，有. 又連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性知，存在