微積分課件：5-1 向量及其線性運(yùn)算

1、一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算二、向量的概念二、向量的概念三、三、向量的加減法向量的加減法四、向量與數(shù)的乘法四、向量與數(shù)的乘法五、小結(jié)五、小結(jié)x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時(shí)，大拇指的指向時(shí)，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系1、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)xyozxoy面面

2、yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M2、空間兩點(diǎn)間的距離、空間兩點(diǎn)間的距離 .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx 的距離的距離面面點(diǎn)到坐標(biāo)軸點(diǎn)到坐標(biāo)軸思考思考)(:向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，2M為

3、終點(diǎn)的有向線段為終點(diǎn)的有向線段.1M2M a21MM模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1 1的向量的向量. .0a零向量：零向量：模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚憾?、向量的概念二、向量的概念或或或? :與向量向量 同方向同方向的單位向量的單位向量. .a0a : :與向量向量 平行平行的單位向量的單位向量. .a自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向

4、徑：向徑：aba a起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量1. 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）三、三、向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 . .2. 減法減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，

5、反向，|aa aa2a21 3.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法aa 總之總之: :數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的實(shí)數(shù)一的實(shí)數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向

6、的單位向量一個(gè)與原向量同方向的單位向量.例例1 1 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMabxyzo 1MPNQR 2MijkkzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量分向量：,)(,)(,)(121212kzzjyyixx 向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)

7、表達(dá)式：,12121221zzyyxxMM 12:xxx 軸上的投影軸上的投影向量在向量在12:yyy 軸上的投影軸上的投影向量在向量在12:zzz 軸上的投影軸上的投影向量在向量在向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點(diǎn)

8、，為直線上的點(diǎn)，例例 2 2 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為兩已知為兩已知點(diǎn)，而在點(diǎn)，而在AB直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)M分有向線段分有向線段AB為為兩部分兩部分AM、MB，使它們的值的比等于某數(shù)，使它們的值的比等于某數(shù))1( ，即，即 MBAM，求分點(diǎn)的坐標(biāo)，求分點(diǎn)的坐標(biāo).ABMxyzo由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點(diǎn)點(diǎn).M為中點(diǎn)時(shí)，為中點(diǎn)時(shí)，,221xxx ,221yyy .221zz

9、z 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|12axx cos|12ayy cos|12azz 方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向. .212212212)()()(zzyyxx PQR向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM ,)()()(cos21221221212zzyyxxxx

10、,)()()(cos21221221212zzyyxxyy .)()()(cos21221221212zzyyxxzz 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式021 MM當(dāng)當(dāng)1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟樘厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟槔?3 3 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的單單位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與 同向，一個(gè)反向同向，一個(gè)反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或-0a|aa .11

11、6117116kji 解解設(shè)向量設(shè)向量21PP的方向角為的方向角為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 設(shè)設(shè)2P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 例例 5 5 設(shè)設(shè)kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x軸軸上上的的投投影影及及在在y軸軸上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦