相交線垂線（提高）知識(shí)講解

1、相交線，垂線（提高）知識(shí)講解撰稿：孫景艷審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角要點(diǎn)詮釋：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°(2)鄰

2、補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：有公共頂點(diǎn)；有一條公共邊；另一邊互為反向延長線.2.對(duì)頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等要點(diǎn)詮釋：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角(2)對(duì)頂角滿足的條件：相等的兩個(gè)角；有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.3. 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：角的名稱特征性 質(zhì)相 同 點(diǎn)不 同 點(diǎn)對(duì)頂角兩條直線相交形成的角；有一個(gè)公共頂點(diǎn)；沒有公共邊.對(duì)頂角相等.都是兩條直線相交而

3、成的角；都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；都是成對(duì)出現(xiàn)的.有無公共邊；兩直線相交時(shí)，對(duì)頂角只有2對(duì)；鄰補(bǔ)角有4對(duì).鄰補(bǔ)角兩條直線相交而成；有一個(gè)公共頂點(diǎn)；有一條公共邊.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).【高清課堂：相交線403101 兩條直線垂直】知識(shí)點(diǎn)二、垂線1垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足要點(diǎn)詮釋：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：ABCD于點(diǎn)O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CDAB2垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方

4、法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)要點(diǎn)詮釋： (1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段3垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短簡(jiǎn)單說成：垂線段最短要點(diǎn)詮釋：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線

5、的存在性和唯一性（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題4點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離要點(diǎn)詮釋：（1） 點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長度【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1如圖所示，AB和CD相交于點(diǎn)O，OM平分AOC，ON平分BOD，試說明OM和ON成一條直線?！敬鸢概c解析】解：

6、OM平分AOC，ON平分BOD（已知），AOC=2AOM，BOD=2BON（角平分線定義）。AOC=BOD（對(duì)頂角相等），AOM=BON（等量代換）。AON+BON=180°（鄰補(bǔ)角定義），MON=AON+AOM=180°（等量代換），OM和ON共線。【總結(jié)升華】要得出OM和ON成一條直線，就要說明MON是平角，從圖中可以看出AON是MON和平角AOB的公共部分，所以只要證明它們的非公共部分相等，即AOM和BON相等，本題得證。2.如圖所示，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分BOD，OF平分COE，2:14:l，求【答案與解析】解：設(shè)1x，則24xOE平分BOD，BOD

7、212x2+BOD180°，即4x+2x180°， x30°DOE+COE180°，COE150°又 OF平分COE，COFCOE75°AOCBOD60°，AOFAOC+COF60°+75°135°【總結(jié)升華】涉及有比值的題設(shè)條件，如a:bm:n，在解題時(shí)設(shè)，這是常用的用方程思想解題的方法舉一反三：【變式】已知的補(bǔ)角是一個(gè)銳角，有3人在計(jì)算時(shí)的答案分別是32°、87°、58°，其中只有一個(gè)答案是正確的，求的度數(shù)【答案】解法1：的補(bǔ)角是一個(gè)銳角，是一個(gè)鈍角，即90&#

8、176;180°，由已知三人計(jì)算出的答案分別為32°、87°、58°，可知解法2：由題意可知是一個(gè)鈍角，即如果，那么，不滿足；如果，那么，不滿足；如果，那么，滿足，所以此人計(jì)算的答案正確所以【總結(jié)升華】在處理數(shù)學(xué)問題中的誤選答案問題時(shí)，常采用驗(yàn)算法，如本題的解法2：先利用假設(shè)求出相應(yīng)的的度數(shù)，再驗(yàn)證是否正確3.（1）如圖（1），已知直線a、b相交于點(diǎn) O，則（1）圖中共有幾對(duì)對(duì)頂角?幾對(duì)鄰補(bǔ)角？（2）如圖（2），已知直線a、b、c、d是經(jīng)過點(diǎn)O的四條直線，則圖（2）中共有幾對(duì)對(duì)頂角（不含平角）?幾對(duì)鄰補(bǔ)角？【答案與解析】解：（1）2對(duì)對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角。

9、（2）將圖（2）拆分為下圖：通過觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)a、b、c、d四條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，而由（1）知：每個(gè)交點(diǎn)處有兩對(duì)對(duì)頂角，有四對(duì)鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角的對(duì)數(shù)：（對(duì)）；鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù):(對(duì))答：圖中共有12對(duì)對(duì)頂角，24對(duì)鄰補(bǔ)角【總結(jié)升華】本例分析問題的方法是通過直線的移動(dòng)，將直線相交于一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線兩兩相交這樣移動(dòng)，可將抽象的問題直觀化因?yàn)閚條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)每個(gè)交點(diǎn)處有兩組對(duì)頂角，故n條直線相交于一點(diǎn)共有n(n-1)對(duì)對(duì)頂角，2n(n-1)對(duì)鄰補(bǔ)角。舉一反三：【變式】若有180條直線相交于一點(diǎn)，則可形成_對(duì)對(duì)頂角（不含平角）【答案】32220類型二、垂線4下列語句：兩條直線相交，

10、若其中一個(gè)交角是直角，那么這兩條直線垂直。一條直線的垂線有無數(shù)條?？臻g內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；兩條直線相交成四個(gè)角，如果有兩個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直。其中正確的是。【答案】【解析】解此題必須嚴(yán)格按照垂線的定義“兩條直線相交成直角”及垂線的性質(zhì)“過平面內(nèi)任意一點(diǎn)，即過直線上或直線外任意一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直”來作判斷。正確；正確，過任意一點(diǎn)都可以作；對(duì)于只有在“同一平面內(nèi)”才成立，因?yàn)榭臻g內(nèi)，當(dāng)這點(diǎn)在直線上時(shí)，過這點(diǎn)并非只有一條直線與已知直線垂直，故錯(cuò)誤；錯(cuò)誤，必須是兩個(gè)鄰角相等，如下圖：【總結(jié)升華】應(yīng)用垂線的定義及垂線的性質(zhì)時(shí)要把握其中的本質(zhì)要求：關(guān)于垂線的定

11、義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直；關(guān)于垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)，過任意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質(zhì)說明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性質(zhì)中的“任意一點(diǎn)”可能在這條已知直線上，也可能在這條已知直線外。舉一反三：【變式】在鐵路旁有一城鎮(zhèn)，現(xiàn)打算從城鎮(zhèn)修一條和鐵路垂直的道路，這種方案是唯一的，是因?yàn)?)A經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線B兩點(diǎn)之問的所有連線中，線段最短C在同一平面內(nèi)，兩直線同時(shí)垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直D在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答

12、案】D 提示：注意區(qū)分直線性質(zhì)與垂線性質(zhì) 5.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OECD，OFAB，DOF65°，求BOE與AOC的度數(shù)?！敬鸢概c解析】解：OFAB，OECD(已知)BOFDOE90°(垂直定義)BODBOFDOF90°65°25°BOEDOEBOD90°25°65°。AOCAOBBOECOE180°65°90°25°?！究偨Y(jié)升華】利用垂直的定義，及同一條直線上的三點(diǎn)組成一個(gè)平角可以幫助我們求解圖中某些角的大小。【高清課堂：相交線403101 例4變式（1）】舉

13、一反三：【變式】如圖，若OM平分AOB，且OM ON，求證：ON平分BOC.【答案】解：如圖，OM平分AOB1=2又OM ON3=90°2由圖可得：4=180°223=180°22 （90°2）=90°23=4ON平分BOC6.如圖所示，一輛汽車在直線形公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊(1)設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近，請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置(保留作圖痕跡)(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來越近?在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M越來越遠(yuǎn)?(分別用文字表述你的結(jié)論，不必說明)【答案與解析】解：(1)過點(diǎn)M作MPAB，垂足為P，過點(diǎn)N作NQAB，垂足為Q，點(diǎn)P、Q就是要畫的兩點(diǎn)，如圖所示(2)當(dāng)汽