模塊九下2定理

1、定理【知識精要】AD定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩組對邊的乘積之和等于兩條對角線的乘積即圓內(nèi)接四邊形 ABCD 滿足，AC BD = AB CD + AD BC 證明：如圖，在 BD 上取點(diǎn) E ，使得BAE = CAD ，A 、 B 、C 、 D 四點(diǎn)共圓，ABE = ACD ，又BAE = CAD ，DABE DACD ，OBCAD AB = BE ACCD，即 AB CD = AC BE ，E OB又BAC = EAD ， ACB = ADE ， DABC DAED ，C BCAC ，即 BC AD = AC DE ，=DEAD+ 可得，AB CD + AD BC=AC (BE + DE )

2、= AC BD ，故定理得證其中定理的逆用來證明四點(diǎn)共圓，即：若四邊形 ABCD 滿足 AC BD = AB CD + AD BC ，則四邊形為圓內(nèi)接四邊形定理：任意凸四邊形 ABCD 中，均有 AC BD AB CD + AD BC 廣義證明：如圖，在四邊形 ABCD 內(nèi)取點(diǎn) E ， 使得BAE = CAD ， ABE = ACD ， 連接 AE 、 BE 、 DE ，則有，DABE DACD ，ADE AB = BE ACCD又 AB = AE，即 AB CD = AC BE ，CB， BAC = EAD ，ACAD DABC DAED ， BCAC ，即 BC AD = AC DE ，=

3、DEAD+ 可得，AB CD + AD BC=AC (BE + DE ) AC BD ，當(dāng)且僅當(dāng) E 在 BD 上時等號成立，此時 A 、 B 、C 、 D 四點(diǎn)共圓1【典型例題】（2011 上海中學(xué)自招）如圖，已知銳角DABC 中， BAC = 45 ， CE 、 AD 分別是邊 AB 、BC 上的高，聯(lián)結(jié) DE ，求證：AD - CD = 2DE 1.A【名師點(diǎn)撥】本題求證線段之間的等量關(guān)系，可考慮將CD 、AD 轉(zhuǎn)化到同一直線上比較，也可以運(yùn)用題中CE 、AD 分別為高的條件，對于圓內(nèi)接四邊形 AEDC 用定理解決問題下面提供兩種解法以供參考E【】略BCD【】解法一：三角形全等如圖，過點(diǎn)

4、 E 作 ED 的垂線交 AD 于點(diǎn) F ， 已知CE AB ， AD BC ， EF ED ，EAF + ABD = ECD + ABD = 90 ，EAF = ECD ，同理可證AEF = 90 - FEC = CED ， 又BAC = 45，EAC = ACE = 45 AE = CE ，DAEF DCED ，EF = ED ， AF = CD ， AD - CD = FD = 2DE 得證；AFEBCD解法二：定理AEC = ADC = 90 ，A 、 E 、 D 、C 四點(diǎn)共圓，對四邊形 AEDC 用定理有，AE DC + DE AC = AD EC ，ACE = CAE = 45

5、， AE = EC =2 AC ，2 2 AC DC + DE AC = AD 2 AC ，2 AD - CD = 2DE 得證2已知 D 為正DABC 外接圓上劣弧 BC 上一點(diǎn)，求證： AD = BD + CD A2.【】略【】由得，AD BC = AC BD + AB CD ， 而 AB = BC = AC ， AD = BD + CD BCD2a、b、x、y 為正實(shí)數(shù)，且 a2 + b2 = 1， x2 + y2 = 1，求證： ax + by 1 3.【】略】構(gòu)造四邊形 ABCD 內(nèi)接于直徑 BC = 1 的圓，A【且 AB = a ， AC = b ， CD = x ， BD =

6、y ，由得，AD BC + AC BD = AB CD ，AD 1 = ax + by ，圓中的弦 AD BC = 1 ， 即 ax + by 1 BCD已知DABC 如圖，以 BC 為一邊4.作等邊三角形 BCD ，（1） 當(dāng) AB = 2 ， AC = 3 ， BAC = 120 時，求 AD 的長；（2） 當(dāng) AB = a ， AC = b ， BAC 不定時，求 AD 長度的最大值D【名師點(diǎn)撥】本題的模型為定理中的常見結(jié)論，即對于圓內(nèi)接四邊形 ABCD ，當(dāng)DBCD 為正三角形時，AD = AB + AC ，且 AD 過DABC 的內(nèi)心B】（1） 5 ；（2） a + b 】（1）已知

7、 DBCD 為等邊三角形，【CA【BDC = 60 ，又 BAC = 120 ，BAC + BDC = 180 ，A 、 B 、 D 、C 四點(diǎn)共圓，對圓內(nèi)接四邊形 ABDC 用AD BC = AB CD + AC BD ，BC = BD = CD ， AD = AB + AC = 2 + 3 = 5 ；定理有，（2）當(dāng) AB = a ， AC = b ， BAC 不定時，A 、 B 、 D 、C 不一定四點(diǎn)共圓，根據(jù)廣義AD BC AB CD + AC BD ，BC = BD = CD ， AD AB + AC = a + b ，定理有，當(dāng)且僅當(dāng) A 、 B 、 D 、C 四點(diǎn)共圓時，即BAC = 120 時，取到最大值3（2015 新知杯）如圖，在DABC 中， BC = a ，5.DCA = b ，ACB = 60 ，DABD 是正三角形， P 是其中心，求CP 的長度AP3 (a + b) 【】3CB【】如圖，連接 AP 、 BP ，DABD 是正三角形， P 是其中心，APB = 2ADB = 120，又A