二次曲線的方程化簡、作圖及分類畢業(yè)論文

1、本科畢業(yè)論文本科畢業(yè)論文題目： 二次曲線的方程化簡、作圖及分類 學(xué)院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 班級： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2007 級 5 班 姓名： 曹振佐 指導(dǎo)教師： 李秀蘭 職 稱： 教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日二次曲線的方程化簡、作圖及分類摘 要:本文給出二次曲線的幾種化簡方法,其中對合同變換法化簡中心二次曲線作了一點(diǎn)探討.從二次曲線的由不變量所表示的簡化方程出發(fā)給出了二次曲線作圖的一種新方法,從而彌補(bǔ)了通過計(jì)算不變量只知簡化方程而無法在原坐標(biāo)系下畫出二次曲線圖形的缺陷. 特別地我們利用了二次曲線的主直徑為新坐標(biāo)系作坐標(biāo)變換來化簡一般二次曲線的方程,從而使二次曲線的幾何

2、理論和代數(shù)理論自然地聯(lián)系在一起,使得一般二次曲線的方程化簡、作圖以及根據(jù)二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的度量分類也就比較簡捷地一起完成了. 關(guān)鍵詞:坐標(biāo)變換;不變量;主直徑;主方向;合同交換 目 錄1 引言.12 預(yù)備知識.13 二次曲線的方程的化簡.23.1 用坐標(biāo)變換化簡二次曲線.23.1.1 化簡缺少項(xiàng)的二次曲線.2xy3.1.1.1 利用坐標(biāo)軸平移化簡缺少項(xiàng)的二次曲線.2xy3.1.1.2 利用配方通過移軸化簡缺少項(xiàng)的二次曲線.3xy3.1.2 利用轉(zhuǎn)軸化簡含有項(xiàng)的二次曲線.3xy3.1.3 一般二次曲線方程的化簡.43.1.3.1 中心曲線的化簡.43.1.3.2 非中心二次曲線的化簡.53.2

3、通過主直徑, 主方向化簡二次曲線.53.2.1 中心曲線的化簡.63.2.2 無心曲線的化簡.63.2.3 線心曲線的化簡.73.3 用不變量、半不變量化簡二次曲線.8 中心曲線的化簡.83.3.2 無心曲線的化簡.83.3.3 線心曲線的化簡.93.4 正交變換化簡二次曲線.93.5 合同變換法化簡有心二次曲線.104 二次曲線的方程的作圖.124.1 中心二次曲線的作圖方法.124.2 無心二次曲線的作圖方法.134.3 線心二次曲線的作圖方法.155 二次曲線的方程分類.16二次曲線的分類.16參考文獻(xiàn).171 引言我們展開一般二次曲線的幾何理論的研究,討論一般二次曲線的漸近方向、中心、

4、漸近線、切線、直徑與主直徑等重要概念與性質(zhì),也導(dǎo)出了二次曲線按不同角度的分類和作圖.以及完全可以畫出二次曲線的形狀大小,因此研究二次曲線的不變量也就321III，1K成為解析幾何的一個(gè)十分重要的中心問題.在這樣的意義下,不變量也就最深刻地反映方程與曲線的關(guān)系,它也把我們對數(shù)形結(jié)合的問題提高到一個(gè)新的認(rèn)識.2 預(yù)備知識在平面直角坐標(biāo)系上,由二元一次方程xyO 022233231322212211ayaxayaaxa) 1 (所表示的曲線,叫做二次曲線.我們討論二次曲線的幾何性質(zhì)以及二次曲線方程的化簡,最后對二次曲線進(jìn)行分類和作圖.為了方便起見,我們引進(jìn)下面一些記號: ,3323132221221

5、1222),(ayaxayaxyaxayxF ,1312111),(ayaxayxF ,2322122),(ayaxayxF ,3323133),(ayaxayxF ,222122112),(yaxyaxayx這樣我們?nèi)菀昨?yàn)證,下面的恒等式成立 ,),(),(),(),(321yxFyxyFyxxFyxF式也就可以寫成) 1 ( .),(),(),(),(321yxFyxyFyxxFyxF我們把的系數(shù)所排成的矩陣),(yxF332313232212131211aaaaaaaaaA叫做二次曲線的矩陣.）（ 1的系數(shù)所排成的矩陣），（yx22121211*aaaaA叫做的矩陣.），（yx顯然二次曲

6、線的矩陣的第一、第二與第三行（或列）的元素分別是) 1 (A的系數(shù).),(),(),(321yxFyxFyxF下面我們引用加個(gè)符號 , , , .22111aaI221212112aaaaI3323132322121312113aaaaaaaaaI33232322331313111aaaaaaaaK這里的是矩陣的主對角元素的和,是矩陣的行列式,是矩陣的1I*A2I*A3IA行列式.3 二次曲線的方程的化簡3.1 用坐標(biāo)變換化簡二次曲線 化簡缺少項(xiàng)的二次曲線xy.1 利用坐標(biāo)軸平移化簡缺少項(xiàng)的二次曲線xy方法 將坐標(biāo)原點(diǎn)移至二次曲線的中心,的坐標(biāo)由中心方程組),(00yx00, yx 給出. ,

7、 0, 0232212131211ayaxaayaxa)2(這樣將變換公式 代入原方程,即可化簡原二次曲線.,00yyyxxx例1 化簡二次曲線方程.01162422yxyx解 二次曲線的系數(shù)矩陣 .101048181A因?yàn)?,所以 此曲線是中心二次曲線. .0440012I由中心方程組得 )2(，084, 01yx解 .2, 100yx可得 變換公式 ，2, 1yyxx代入原方程, 整理得 .(橢圓)016422yx.2 利用配方通過移軸化簡缺少項(xiàng)的二次曲線xy例 2 化簡二次曲線方程.010036409422yxyx解 將方程的左端配方,得: .036)2(9)5(422yx令 , 2,

8、5yyxx可得 變換公式 , 2, 5yyxx于是方程化為.(橢圓)0369422yx 利用轉(zhuǎn)軸化簡含有項(xiàng)的二次曲線xy方法 轉(zhuǎn)軸化簡二次曲線方程,只要是旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?就可使方程中的乘積項(xiàng)消去,而由公式 給出.12221122cotaaa) 3(然后將變換公式 代入原方程.,cossin,sincosyxyyxx例3 化簡二次曲線方程.080609241622yxyxyx解 這里.242 , 9,16122211aaa由得 ,) 3(247249162cot,257)247(12472cos2,542257122cos1sin,532257122cos1cos所以 轉(zhuǎn)軸公式為 ),34(51

9、cossin),43(51sincosyxyxyyxyxx代入原方程,整理得.(拋物線)24xy 一般二次曲線方程的化簡.1 中心曲線的化簡方法 一般采用先移軸后轉(zhuǎn)軸較為簡便. 例4 化簡二次曲線方程.0211010322yxyxyx解 因?yàn)?即此曲線為中心曲線.0541232312I先移軸,由中心方程組得 , 0523, 0523yxyx解得 . 2, 200yx故移軸公式為 , 2, 2yyxx代入原方程,整理得. 0132 2 yyxx)4(對方程進(jìn)行轉(zhuǎn)軸 .)4(1, 1,23, 133221211aaaa , 即 .031122cot122211aaa4故轉(zhuǎn)軸公式為 代入方程),(2

10、2),(22 yxyyxx)4(整理得最簡方程為 .(雙曲線)0125212 2 yx.2 非中心二次曲線的化簡方法 一般采用先轉(zhuǎn)軸后移軸進(jìn)行化簡例5 化簡二次曲線方程.0168222yyxyx解 因?yàn)?, 所以此曲線是非中心曲線. 01111112I先進(jìn)行轉(zhuǎn)軸 , 即 .02112cot4故轉(zhuǎn)軸公式為 ),(22),(22yxyyxx代入原方程,得 . 016242422 yxy)5(對進(jìn)行移軸( 實(shí)質(zhì)配方),得:)5(.)23(22)2(2xy令 則變換公式為 ,23,2 xxyy,23,2 xxyy則原方程化簡為 .(拋物線) 2 22xy3.2 通過主直徑,主方向化簡二次曲線方法 一坐

11、標(biāo)軸與二次曲線主方向平行,則化簡后二次曲線方程中不含項(xiàng).xy 中心曲線的化簡方法 取它唯一一對相互垂直的主直徑為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,即原點(diǎn)是曲線的中心.例6 化簡二次曲線方程.0122422yxyxyx解 因?yàn)?, , 2111I0312212I所以 此曲線是中心曲線.其特征方程為,0322因此兩特征根為, .1132由, 分別對應(yīng)的兩個(gè)主方向?yàn)?,.11321:1:11YX1:1:22YX由兩主方向決定的主直徑分別為和取二主直徑為新坐標(biāo)系軸, 02 yx0 yx得 ,2,22yxyyxx解得, 1)(22, 1)(22yxyyxx代入原方程,化簡得 .(雙曲線)132 2 yx 無心曲線的化簡

12、方法 取它的唯一的一個(gè)主直徑為軸,過頂點(diǎn)垂直于主直徑的直線為軸建xy立坐標(biāo)系(頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))例7 化簡二次曲線方程.0168222xyxyx解 這里.0, 4, 1, 1, 12313221211aaaaa因?yàn)?,所以 此曲線是無心曲線.231322121211aaaaaa因?yàn)?.其特征方程為0, 221II,022因此兩特征根為 .0, 221對應(yīng)于的非漸近主方向?yàn)?211:1:11YX取主直徑為 為新坐標(biāo)系軸,主直徑與曲線的交點(diǎn)即頂點(diǎn)為02 yxx)21,25(過頂點(diǎn)且以非漸近主方向?yàn)榉较虻闹本€方程為即11:YX)25(21xy. 03 yx則變換公式為 ,22,23yxyyxx解得 ,

13、21)(22,25)(22yxyyxx代入原方程,整理得 .(拋物線)2 22xy 線心曲線的化簡方法 取它的中心直線為軸,任取垂直它的直線為軸,建立坐標(biāo)系.xy例8 化簡二次曲線方程.0322222yxyxyx解 因?yàn)?所以此曲線是線心曲線. ,231322121211aaaaaa唯一的主直徑為 .01 yx取主直徑為新系的軸,取任一垂直它的直線如為軸,這時(shí)變換公式為 x0 yxy,21,2yxyyxx解得,21)(22,21)(22yxyyxx代入原方程,得.(兩條平行直線)22y3.3 用不變量、半不變量化簡二次曲線 中心曲線的化簡方法 用不變量、半不變量化簡中心曲線,它的最簡形式為02

14、32 22 1IIyx例9 化簡二次曲線方程.0121252522yxyxyx解 特征方程為,288,24,10321III.024102因此兩特征根為. 4, 621可知最簡形式為 .024288462 2yx即 .(橢圓)1322 2 yx 無心曲線的化簡方法 用不變量,半不變量化簡無心曲線,它的最簡形式為.02132 1xIIyI例10 化簡二次曲線方程.048222xyxyx解 因?yàn)?.016404011411, 01111, 2321III它的最簡形式為 .0216222 xy即 .(拋物線)0222 xy 線心曲線的化簡方法 用不變量、半不變量化簡線心曲線,它的最簡形式為: 011

15、2 1IKyI例11 化簡二次曲線方程.0322222yxyxyx解 這里 即此曲線是線心曲線.,231322121211aaaaaa.831113111, 211KI所以 它的最簡形式為:.02822 y即 .(兩條平行的直線)2y3.4 正交變換化簡二次曲線方法 任意實(shí)二次型,AXXxxaxxxfTijiijnn1n1j21),(都可以用正交變換化為平方和.QYX 2222211nnyyyf這里是的全部特征根.), 2 , 1(niiA例12 化簡二次曲線方程.024241222yxyxyx解 上式中所有二次項(xiàng)構(gòu)成實(shí)二次型.它的系數(shù)矩陣.2212),(yxyxyxf1661A特征矩陣. )

16、5)(7(1661)(Af即 的特征根為 .A5, 721當(dāng)時(shí),的特征向量分別為單位化得5, 721A) 1 , 1(),1 , 1 (21. )21,21(),21,21(21以為列向量,作正交矩陣21,21212121Q正交變換為 ,2121,2121yxyyxx代入原方程,得 .08572 yyx配方得 .0516)45(572yx令,45, yyxx則坐標(biāo)交換為,5222121,5222121 yxyyxx得標(biāo)準(zhǔn)方程為.(雙曲線)516572 2 yx3.5 合同變換法化簡有心二次曲線方法 對矩陣A作合同變換,即.333231232221131211321.000000cccccccc

17、cdddEA所作變換為 ,232221131211cycxcycycxcx這樣式就化簡成 ) 1 (0),(32221dydxdyxF例13 化簡二次曲線方程.0211010322yxyxyx解 系數(shù)矩陣 .215551235231A 因?yàn)?,451232312I所以 此曲線為中心曲線.10510031001555552500004242341555200152104225521333121001015222010012010010001001001001AE這樣經(jīng)變換, 2, 223yyyxx使原方程化為 .(雙曲線)01452 2 yx檢驗(yàn) 把變換, 2, 223yyyxx代入原方程,并整

18、理得 .01452 2 yx經(jīng)檢驗(yàn),此方法對中心曲線是成立的.4 二次曲線的方程的作圖4.1 中心二次曲線的作圖方法對中心二次曲線利用不變量可將其簡化方程表為0),(:yxFC. 0232 22 1IIyx)6(其中是曲線的兩特征根,且軸分別沿和對應(yīng)的主方向.因此21,C, yx12軸關(guān)于原坐標(biāo)系中軸的傾角滿足. xx2212112111tanaaaaXY可見要從中心二次曲線的簡化方程作出其圖形,只需以過的中心C)6(C且與原坐標(biāo)系中軸的傾角為直線作為軸,建立直角坐標(biāo)系,然),(00yxOxxyxO 后在該坐標(biāo)系下作出所表示的曲線即可.)6(例14 求二次曲線的簡化方程,并作042226565

19、:22yxyxyxC出其圖形.解 因?yàn)?不變量. 128,16,10321III所以解特征方程 .016102即得曲線的兩特征根且由.C, 8, 221823II圖 1 橢圓：142 2 yx得曲線的簡化方程為 .08822 2 yx即 (橢圓)142 2 yx另外通過解中心方程組 , 0253, 02335yxyx可得曲線的中心 .)241,243(O過作與軸的傾角的直線 ,并以此作為軸建立Ox41arctan22 yxx直角坐標(biāo)系,且在該坐標(biāo)系下作出方程(橢圓)所表示的曲線,yxO 142 2 yx如圖1所示.142 2 yxooxxyy4.2 無心二次曲線的作圖方法對無心二次曲線,由于

20、同號,不妨設(shè)它們均非負(fù).利用不0),(:CyxF2211,aa變量可將其簡化方程為其中號可任選, 這里不妨取-號, 即簡化方程為0121312 xIIIy 0121312 xIIIy)7(不難驗(yàn)證新坐標(biāo)系的軸是該二次曲線的對稱軸(主直徑),原點(diǎn)是曲線的xO頂點(diǎn)(主直徑與曲線的交點(diǎn)).對任意點(diǎn),若設(shè)其在舊、新坐標(biāo)系的坐標(biāo)為和P),(yx,則數(shù)與至多差一個(gè)正數(shù)倍,所以若主直徑上某),(yx),(yxF0121312 xIIIy一點(diǎn)或的坐標(biāo)使或則向量便指向)0 ,(xP（), 0(yP）0)0 ,(xF（0), 0(yF）PO軸的正向 因軸正向上的點(diǎn)使為負(fù) , 否則,便指向x（x)0 ,(xP131

21、2 12xIIIy)軸的負(fù)向.可見要從簡化方程畫出無心二次曲線的圖形,只需x)7(0),(:CyxF先求出曲線的主直徑和頂點(diǎn),并選取主直徑上一點(diǎn)或若),(00yxO)0 ,(xP（), 0(yP）或,則以作為原點(diǎn),以向量的正向作為軸正向建0)0 ,(xF（0), 0(yF）OPOx立直角坐標(biāo)系;若或則以作為原點(diǎn),以向量yxO 0)0 ,(xF（0), 0(yF）O的正向作為軸正向建立直角坐標(biāo)系,并在該坐標(biāo)系下作出方程OP xyxO 所表示的曲線即可.)7(例15 求二次曲線的簡化方程,并作出其圖0256102:22yxyxyxC形.解 對所給二次曲線由于.0),(:yxFC2313221212

22、11aaaaaa所以 曲線是無心的.因?yàn)?曲線的不變量,6402321III，所以曲線的簡化方程為 . 0242 xy)8(又曲線的主直徑為,頂點(diǎn)為.取主直徑上一點(diǎn),由于01 yx) 1 , 2(O)0 , 1 (P,所以只需以作為原點(diǎn),以向量的正向作為軸正向建立直角坐標(biāo)0)0 , 1 (FOOP x系并在該坐標(biāo)系下作出方程所表示的曲線即可,如圖2所示.yxO )8(圖 2 拋物線：2 24xyx2 24xyoyoxy4.3 線心二次曲線的作圖方法對線心二次曲線利用不變量可將其簡化方程表為0),(:CyxF . （9）02112 IKy不難驗(yàn)證新坐標(biāo)系的軸是該二次曲線的對稱軸 主直徑 ,所以若

23、曲線的不x（）變量,則要作出曲線的圖形,只需作出主直徑即可;若,只需作出與主01K01K直徑平行的二直線 即0131211ayaxa012211211131211aaIKayaxa可.例16 求二次曲線的簡化方程,并作出其圖形.03222:22yxyxyxC解 對所給二次曲線由于0),(:yxFC.231322121211aaaaaa所以曲線是線心的.因?yàn)槎吻€的不變量,又曲線的主直徑為802321III，,所以只需在原坐標(biāo)系下作出直線,即為要作的曲線的01 yx021 yx圖形,如圖3所示.圖 3 兩平行直線：021 yxx03 yx01 yxoy5 二次曲線的方程分類 二次曲線的分類通過

24、適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系,二次曲線的方程總可以寫成下面九中標(biāo)準(zhǔn)方程的一種形式:1(橢圓)；12222byax2(虛橢圓)；12222byax3(雙曲線)；12222byax4(點(diǎn)或稱兩相交于實(shí)點(diǎn)的共軛虛直線)；02222byax5(兩相交直線)；02222byax6(拋物線)；pxy227(兩條平行直線)；22ay 8(兩平行共軛虛直線)；22ay9(兩重合直線)；02y 參考文獻(xiàn):1呂林根,許子道.解析幾何M.第4版.北京:高等教育出版社,2006.2甘浪舟.利用不變量化簡二次曲線方程的作圖問題J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004,10(2):45-47.3呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書M北京:高等教育出版社

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