第七章動態(tài)數(shù)列

1、一、動態(tài)數(shù)列的概念一、動態(tài)數(shù)列的概念 動態(tài)數(shù)列又稱時間數(shù)列。它是將某種統(tǒng)計指標，動態(tài)數(shù)列又稱時間數(shù)列。它是將某種統(tǒng)計指標，在不同時間上的不同數(shù)值，按時間先后順序排列在不同時間上的不同數(shù)值，按時間先后順序排列所形成的數(shù)列，以便于研究其發(fā)展變化的水平和所形成的數(shù)列，以便于研究其發(fā)展變化的水平和速度，并以此來預測未來的一種統(tǒng)計方法。速度，并以此來預測未來的一種統(tǒng)計方法。例例 時間，即現(xiàn)象所屬的時間；時間，即現(xiàn)象所屬的時間； 不同時間上的統(tǒng)計指標數(shù)值，即不同時間上該現(xiàn)不同時間上的統(tǒng)計指標數(shù)值，即不同時間上該現(xiàn)象的發(fā)展水平。象的發(fā)展水平。動態(tài)數(shù)列按照所列入指標的不同可分為：動態(tài)數(shù)列按照所列入指標的不同可

2、分為：絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列相對數(shù)動態(tài)數(shù)列相對數(shù)動態(tài)數(shù)列平均數(shù)動態(tài)數(shù)列平均數(shù)動態(tài)數(shù)列時期數(shù)列時期數(shù)列時點數(shù)列時點數(shù)列數(shù)數(shù)列中各個指標值是可加的；列中各個指標值是可加的；數(shù)數(shù)列中每個指標值的大小隨著時期的長列中每個指標值的大小隨著時期的長短而變動；短而變動；數(shù)數(shù)列中每個指標值通常是通過連續(xù)不斷列中每個指標值通常是通過連續(xù)不斷的登記而取得。的登記而取得。數(shù)數(shù)列中各個指標值是不能相加的；列中各個指標值是不能相加的；數(shù)數(shù)列中每個指標值的大小與時間間隔列中每個指標值的大小與時間間隔的長短沒有直接關系；的長短沒有直接關系；數(shù)數(shù)列中每個指標值通常是按期登記一列中每個指標值通常是按期登記一次取得的。次取

3、得的。全國城鄉(xiāng)居民儲蓄存款例例單位：億元我國各年國內(nèi)生產(chǎn)總值增長率例例單位：%上海職工2001 - 2005年年平均工資例例單位：元具體說有以下幾點：具體說有以下幾點： 注意時間的長短應統(tǒng)一；注意時間的長短應統(tǒng)一；總體范圍應該一致；總體范圍應該一致；指標的經(jīng)濟內(nèi)容應該相同；指標的經(jīng)濟內(nèi)容應該相同；指標的計算方法和計量單位應該一致。指標的計算方法和計量單位應該一致。屬屬于現(xiàn)象發(fā)展的水平分析指標有：于現(xiàn)象發(fā)展的水平分析指標有：發(fā)展水平發(fā)展水平平均發(fā)展水平平均發(fā)展水平增長量增長量平均增長量。平均增長量。 在動態(tài)數(shù)列中，每個絕對數(shù)指標數(shù)值叫做發(fā)在動態(tài)數(shù)列中，每個絕對數(shù)指標數(shù)值叫做發(fā)展水平或動態(tài)數(shù)列水平

4、。展水平或動態(tài)數(shù)列水平。如果用如果用a a0 0，a a1 1，a a2 2，a a3 3，a an n，代表數(shù)列中，代表數(shù)列中各個發(fā)展水平，則其中各個發(fā)展水平，則其中a a0 0即最初水平，即最初水平，a an n即即最末水平最末水平。平均發(fā)展水平是對不同時期的發(fā)展水平求平平均發(fā)展水平是對不同時期的發(fā)展水平求平均數(shù)，統(tǒng)計上又叫序時平均數(shù)均數(shù)，統(tǒng)計上又叫序時平均數(shù)。某車間各月工業(yè)增加值例例二者都是將現(xiàn)象的個別數(shù)量差異抽象化，二者都是將現(xiàn)象的個別數(shù)量差異抽象化，概括地反映現(xiàn)象的一般水平。概括地反映現(xiàn)象的一般水平。-計算方法不同；計算方法不同； -差異抽象化不同；差異抽象化不同；-序時平均數(shù)還可解

5、決某些可比性問題。序時平均數(shù)還可解決某些可比性問題。不同點不同點 相同點相同點 絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列的序時平均數(shù)絕對數(shù)動態(tài)數(shù)列的序時平均數(shù) 123123n , nnaaaaaannaa aaa LL式式中中：序序時時平平均均數(shù)數(shù)各各時時期期發(fā)發(fā)展展水水平平時時期期項項數(shù)數(shù)1. 1. 時期數(shù)列的序時平均數(shù)時期數(shù)列的序時平均數(shù))26.5( 6293028282024萬件則上半年平均月產(chǎn)例例(1) (1) 如果是連續(xù)時點資料，可分為二種情況：如果是連續(xù)時點資料，可分為二種情況：2)2)對對非連續(xù)變動的連續(xù)時點數(shù)列非連續(xù)變動的連續(xù)時點數(shù)列( (即分組資料即分組資料) )afaf 1)1)對對連續(xù)變動的連續(xù)時

6、點數(shù)列連續(xù)變動的連續(xù)時點數(shù)列( (即未分組資料即未分組資料) )aan 某廠7月份的職工人數(shù)自7月1日至7月10日為258人，7月11日起至7月底均為279人，則該廠7月份平均職工人數(shù)為：)(272312792125810人a例例1) 1) 對間隔相等的間斷時點資料對間隔相等的間斷時點資料例例現(xiàn)假定：每天變化是均勻的；本月初與上月末的庫存量相等。則各月平均庫存量為：)(2960)274029903150(31)(27402280026806)(29902268033005)(31502330030004件第二季度平均庫存量件月份件月份件月份aaa)(29603274029903150 3228

7、002680226803300233003000件第二季度平均庫存量：上面計算可合并簡化為 122 1222132132211首末折半法這種計算方法稱為般公式：上面計算過程概括為一naaaaanaaaaaaannnn2311212111222nnnniiaaaaaafffaf L某城市2003年各時點的人口數(shù))(83.257123094534524 .2593 .258323 .2581 .257421 .2572 .256萬人年平均人口數(shù)為：該市則，2003 例例1. 1. 由由兩個時期數(shù)列對比組成的相對數(shù)動態(tài)兩個時期數(shù)列對比組成的相對數(shù)動態(tài)數(shù)列的序時平均數(shù)數(shù)列的序時平均數(shù) banbnaba

8、c 一般公式為：某廠7-9月份生產(chǎn)計劃完成情況 810941904601 31760128011503197813671256%./ )(/ )( 程度第三季度平均計劃完成例例2222122122 321321321321nnnnbbbbaaaanbbbbnaaaabac )/()()/()(一般公式為：某廠第三季度生產(chǎn)工人與職工人數(shù)資料%.18825248552042 2845830826280527106956702645 全體職工的平均比重第三季度生產(chǎn)工人數(shù)占例例2311212123112121222222nnnnnnaaaaaafffacbbbbbbbfff LLaa cbb 連連續(xù)續(xù)

9、變變動動時時點點：用用簡簡單單平平均均，即即afa cbfb 非非連連續(xù)續(xù)變變動動時時點點：用用加加權權平平均均，即即122bac 321 nbbbbnan一般公式為：某商業(yè)企業(yè)商品銷售額與庫存額情況)(.)(.)/()(/ )(次月數(shù)月平均商品流轉次數(shù)季度的商品流轉次數(shù)次商品流轉次數(shù)第一季度月平均3993133 133507156 142655545235324015080 例例1.1.由一般平均數(shù)組成的平均數(shù)動態(tài)數(shù)列由一般平均數(shù)組成的平均數(shù)動態(tài)數(shù)列 的序時平均數(shù)。的序時平均數(shù)。 bac 一般公式：某廠某年1-6月每一工人平均產(chǎn)值)(.萬元人平均月產(chǎn)值上半年每一工62040529251 70

10、72706865603488461444439653933 例例某企業(yè)某年各季平均月產(chǎn)值情況)(25.2012243 3333392312317314 萬元全年平均每月產(chǎn)值以時間為權數(shù)：可見，當時期相等時，可直接用簡單算術平均法計算。可見，當時期相等時，可直接用簡單算術平均法計算。 若時期或間隔不等時，應使用加權算術平均法計算若時期或間隔不等時，應使用加權算術平均法計算。例例說明某種現(xiàn)象在一定時期內(nèi)所增長的絕對數(shù)量。說明某種現(xiàn)象在一定時期內(nèi)所增長的絕對數(shù)量。基期水平報告期水平增長量 因為基期有兩種因為基期有兩種前一時期前一時期某一固定時期某一固定時期增長量增長量0aai 累計增長量：累計增長量

11、：逐期增長量逐期增長量：1 iiaa011aaaanniii )( 說明社會現(xiàn)象在一段時期內(nèi)平均每期增加的說明社會現(xiàn)象在一段時期內(nèi)平均每期增加的絕對數(shù)量。絕對數(shù)量。1 逐逐期期增增長長量量之之和和累累計計增增長長量量平平均均增增長長量量逐逐期期增增長長量量個個數(shù)數(shù)動動態(tài)態(tài)數(shù)數(shù)列列項項數(shù)數(shù)某省2000-2005年某工業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量例例單位：萬臺)(.)(.萬臺或萬臺年平均年增長量34439572196163110403301 344395428.6656.9508.5355.9246.8 20052000 動態(tài)數(shù)列的速度指標有動態(tài)數(shù)列的速度指標有：發(fā)展速度發(fā)展速度增長速度增長速度平均發(fā)展速度平均發(fā)展

12、速度平均增長速度平均增長速度 反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象發(fā)展程度的動態(tài)相對指標。反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象發(fā)展程度的動態(tài)相對指標。報報 告告 期期 水水 平平發(fā)發(fā) 展展 速速 度度基基 期期 水水 平平定定 基基 發(fā)發(fā) 展展 速速 度度 ：可可 分分 為為 ：環(huán)環(huán) 比比 發(fā)發(fā) 展展 速速 度度 ：01100%iiiaaaa 110iininaaaa 推推 理理 ：1i001 iiiaaaaaa 反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象增長程度的動態(tài)相對指標。反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象增長程度的動態(tài)相對指標。增增長長速速度度發(fā)發(fā)展展速速度度 - - 定定基基增增長長速速度度無無關關系系環(huán)環(huán)比比增增長長速速度度增增長長量量前前一一時時期期水水平平增增

13、長長的的絕絕對對值值增增長長百百分分比比基基期期水水平平或或 1 (100%) 1%100 100 某省2000-2005年某工業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量例例單位：萬臺平均發(fā)展速度是各個環(huán)比發(fā)展速度的動態(tài)平均平均發(fā)展速度是各個環(huán)比發(fā)展速度的動態(tài)平均數(shù)數(shù)( (序時平均數(shù)序時平均數(shù)) )，說明某種現(xiàn)象在一個較長時，說明某種現(xiàn)象在一個較長時期中逐年平均發(fā)展變化的程度期中逐年平均發(fā)展變化的程度； 平均增長速度是各個環(huán)比增長速度的動態(tài)平均平均增長速度是各個環(huán)比增長速度的動態(tài)平均數(shù)，說明某種現(xiàn)象在一個較長時期中逐年平均數(shù)，說明某種現(xiàn)象在一個較長時期中逐年平均增長變化的程度增長變化的程度。 1. 1. 幾何平均法，又稱水平

14、法幾何平均法，又稱水平法。nXX nnXXXX321 nnnaaaaaaaa1231201 nnaa0 nR 某企業(yè)總產(chǎn)值資料例例%75.1042614. 1%75.104261385. 11 .2707 .340%75.104261268. 10571. 10251. 155555XX 1.08711.01621.0137X 或或平均發(fā)展速度 在實踐中，如果長期計劃按累計法制定，則要求用在實踐中，如果長期計劃按累計法制定，則要求用 方程法計算平均發(fā)展速度方程法計算平均發(fā)展速度。 niinaaaaa1321 niinaXaXaXaXa1030200naXXXXniinn 121解這樣的高次方程

15、，用查表法。104.40%X 01.570%31.5701 .2704 .1540 1 .2707 .3403 .3224 .3142 .2898 .273 01i近似，見表中仍用前例數(shù)據(jù)：aaniXX平均增長速度平均增長速度= =平均發(fā)展速度平均發(fā)展速度-1 (100%)-1 (100%)平均發(fā)展速度大于平均發(fā)展速度大于“1”1”，平均增長速度就為正值。，平均增長速度就為正值。 則稱則稱“平均遞增速度平均遞增速度”或或“平均遞增率平均遞增率”。平均發(fā)展速度小于平均發(fā)展速度小于“1”1”，平均增長速度就為負值。，平均增長速度就為負值。 則稱則稱“平均遞減速度平均遞減速度”或或“平均遞減率平均遞

16、減率”。注意注意: 時間序列的構成因素時間序列的構成因素時間序列構成因素的組合模型時間序列構成因素的組合模型乘法模型: Y = TSCI 加法模型: Y = T + S + C + I長期趨勢就是指某一現(xiàn)象在一個相當長長期趨勢就是指某一現(xiàn)象在一個相當長的時期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的趨勢。的時期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的趨勢。( (向上或向上或向下變化向下變化) ) 把握現(xiàn)象的趨勢變化；把握現(xiàn)象的趨勢變化； 從數(shù)量方面研究現(xiàn)象發(fā)展的規(guī)律性，探求從數(shù)量方面研究現(xiàn)象發(fā)展的規(guī)律性，探求合適趨勢線；合適趨勢線； 為測定季節(jié)變動的需要。為測定季節(jié)變動的需要。 直直線趨勢；線趨勢；非非直線趨勢，即趨勢曲線。直線趨勢，即趨勢曲

17、線。間隔擴大法；間隔擴大法；移動平均法；移動平均法；最小平方法。最小平方法。 某工廠某年各月增加值完成情況 單位：萬元例例 通過擴大時間間隔，編制成如下新的動態(tài)數(shù)列： 仍用上例資料： 趨勢值項數(shù)=原數(shù)列項數(shù)-移動平均項數(shù)+1 =12-3+1=10注注1 1： 若采用奇數(shù)項移動平均若采用奇數(shù)項移動平均( (如上例如上例“三三項項”) )，則平均值是對準在奇項的居中時間，則平均值是對準在奇項的居中時間處。一次可得趨勢值；處。一次可得趨勢值； 若采用偶數(shù)項移動平均，則平均值也居若采用偶數(shù)項移動平均，則平均值也居中，因未對準原來的時間，還要再計算一次中，因未對準原來的時間，還要再計算一次平均數(shù)，故可以

18、的情況下一般都用奇數(shù)項移平均數(shù)，故可以的情況下一般都用奇數(shù)項移動平均。動平均。 注注2 2： 修勻后的數(shù)列，較原數(shù)列項數(shù)少。修勻后的數(shù)列，較原數(shù)列項數(shù)少。( (在在進行統(tǒng)計分析時，若需要兩端數(shù)據(jù)，則此方進行統(tǒng)計分析時，若需要兩端數(shù)據(jù)，則此方法不宜使用法不宜使用) )注注3 3： 取幾項進行移動平均為好，一般若現(xiàn)象取幾項進行移動平均為好，一般若現(xiàn)象有周期變動，則以周期為長度。有周期變動，則以周期為長度。例，季度資料可用四項移動平均；各年月資例，季度資料可用四項移動平均；各年月資料，可用十二項移動平均；五年一周期，可料，可用十二項移動平均；五年一周期，可用五項移動平均。用五項移動平均。因此移動平均

19、法可以消除周期變動。因此移動平均法可以消除周期變動。用四項移動平均后的資料作圖，趨勢更明顯，上升得更均勻，可見修勻的項數(shù)越多，效果越可見修勻的項數(shù)越多，效果越好好, ,但丟掉的數(shù)據(jù)相應要多一些但丟掉的數(shù)據(jù)相應要多一些, ,須慎重選擇。須慎重選擇。仍用上例資料：404550556065123456789101112原始資料三項移動后的趨勢四項移動后的趨勢由此可見，該廠的增加值趨勢是上升的。圖示圖示2c()min y ycyy 實實際際值值，即即原原數(shù)數(shù)列列值值趨趨勢勢值值或或理理論論值值即對原有動態(tài)數(shù)列配合一條適當?shù)内厔菥€來即對原有動態(tài)數(shù)列配合一條適當?shù)内厔菥€來進行修勻。這條趨勢線可以是直線，也

20、可以進行修勻。這條趨勢線可以是直線，也可以是曲線；這條趨勢線必須滿足最基本的要求。是曲線；這條趨勢線必須滿足最基本的要求。即：即：當現(xiàn)象的發(fā)展，其逐期增長量大體上相等時。當現(xiàn)象的發(fā)展，其逐期增長量大體上相等時。該方程的一般形式為：該方程的一般形式為：cyabt 用高等數(shù)學求偏導數(shù)方法，得到以下聯(lián)立方程組： tbNay 2tbtaty為使計算方便，可設t: 奇數(shù)項奇數(shù)項：,3210123 偶數(shù)項偶數(shù)項：,531135 這樣使0 t，即上述方程組可簡化為：Nay 2tbty仍用上例資料：該方程配合得較好 57. 025.5457. 025.54 5724 .32612651 2ccyytybaba

21、tbtyNay)(.萬元862155702554 cy若預測明年二月份增加值，則：0)( 222 tnyntbnytbyattyttnyttynb)(導出：由聯(lián)立方程也可直接推 50 69 90 110 19 21 20 逐逐期期增增長長量量：二二級級增增長長量量：則則給給該該資資料料配配合合拋拋物物線線方方程程例例 當現(xiàn)象的發(fā)展，其二級增長量大體上當現(xiàn)象的發(fā)展，其二級增長量大體上相等時相等時。2c2233224yabtct (abc) yNabtcttyatbtctt yatbtct 該該方方程程的的一一般般形形式式為為：、 、 均均為為未未定定參參數(shù)數(shù)同同樣樣用用求求偏偏導導數(shù)數(shù)的的方方法

22、法，導導出出以以下下聯(lián)聯(lián)立立方方程程組組：某地區(qū)1997-2005年國內(nèi)生產(chǎn)總值的動態(tài)數(shù)列配合拋物線計算過程如下表：例例)(.,.萬元則：年若預測該地區(qū)7115523 51771165617117526741200617711661711752674117711661711756741.2a 7086048672760705376096764222 ccyGDPttycbcabca2lglglglg , lg , lg (,0)ccyatbYyAaBbYABtYNABttYAtBttt 先先對對上上述述方方程程兩兩邊邊各各取取對對數(shù)數(shù)：設設則則：應應用用最最小小平平方方法法求求得得的的聯(lián)聯(lián)立立

23、方方程程組組為為：同同樣樣設設 使使例題見教材例題見教材當現(xiàn)象的發(fā)展，環(huán)比增長速度大體上相等時。當現(xiàn)象的發(fā)展，環(huán)比增長速度大體上相等時。該方程的一般形式為該方程的一般形式為：tcaby 一、季節(jié)變動分析的意義一、季節(jié)變動分析的意義季節(jié)變動是指受自然因素或社會因素影響，季節(jié)變動是指受自然因素或社會因素影響，而形成的在一年內(nèi)有規(guī)則的周期性變動。而形成的在一年內(nèi)有規(guī)則的周期性變動。測定季節(jié)變動的意義 ：分析與測定過去的季節(jié)變動規(guī)律、對未來現(xiàn)象季節(jié)變動作出預測、消除季節(jié)變動對時間序列的影響。 測定季節(jié)變動的資料時間至少要有三個周期測定季節(jié)變動的資料時間至少要有三個周期以上，如季節(jié)資料，至少要有以上，如季節(jié)資料，至少要有1212季，月度資季，月度資料至少要有料至少要有3636個月等，以避免資料太少而產(chǎn)個月等，以避免資料太少而產(chǎn)生偶然性。生偶然性。按月平均法，不考慮長期趨勢的影響按月平均法，不考慮長期趨勢的影響( (假假定不存在長期趨勢定不存在長期趨勢) )，直接利用原始動