側(cè)向思維法指變換思維的角度、方向,避免鉆牛角尖的思維方

1、1 側(cè)向思維法指變換思維的角度、方向，側(cè)向思維法指變換思維的角度、方向，避免鉆牛角尖的思維方法。比如過(guò)去的圓珠避免鉆牛角尖的思維方法。比如過(guò)去的圓珠筆，寫(xiě)到一定程度之后就會(huì)漏油，原因是筆筆，寫(xiě)到一定程度之后就會(huì)漏油，原因是筆珠的磨損造成了間隙，人們想了許多辦法，珠的磨損造成了間隙，人們想了許多辦法，增加筆珠的耐磨性等都不能解決。后來(lái)增加筆珠的耐磨性等都不能解決。后來(lái)中田中田藤三郎藤三郎發(fā)現(xiàn)總是在寫(xiě)到大約兩萬(wàn)字的時(shí)候開(kāi)發(fā)現(xiàn)總是在寫(xiě)到大約兩萬(wàn)字的時(shí)候開(kāi)始漏油，于是把筆芯做得只能容許寫(xiě)一萬(wàn)五始漏油，于是把筆芯做得只能容許寫(xiě)一萬(wàn)五千字，油墨沒(méi)有了還漏什么？于是，問(wèn)題徹千字，油墨沒(méi)有了還漏什么？于是，問(wèn)

2、題徹底解決。這是側(cè)向思維的典型例子。底解決。這是側(cè)向思維的典型例子。2dxuvuvdxvu 則則vduuvudv 則則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)及及設(shè)設(shè),xvxu證證uvvuvuvuuvvuvduuvudvxdxcosxxsinxdxdxsinxsinxCxxxcossinxdxxcos求求例例1 1設(shè)設(shè),ux ,dvxsindxdxcosdx v即即. vxsin 解：解：1 1、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo)32 2、實(shí)際操作步驟：、實(shí)際操作步驟： 上例中，要湊出上例中，要湊出dvdv，是個(gè)逆向思維的過(guò)程，這里試給出一，是個(gè)逆向思維的過(guò)程，這里試給出一個(gè)個(gè)“程序程序”，使思維更加流暢。，使思維更加流暢。

3、 （1 1）使用第一類換元積分法湊微分（見(jiàn)上節(jié)）使用第一類換元積分法湊微分（見(jiàn)上節(jié)） （2 2）如果結(jié)果可以用換元法解，則求出原函數(shù)；若不能積如果結(jié)果可以用換元法解，則求出原函數(shù)；若不能積出，則試用分部積分公式代入。出，則試用分部積分公式代入。 （3 3）要注意優(yōu)先湊微分的順序：要注意優(yōu)先湊微分的順序： 指數(shù)函數(shù)、弦函數(shù)指數(shù)函數(shù)、弦函數(shù) 優(yōu)先于優(yōu)先于 冪函數(shù)；冪函數(shù)； 冪函數(shù)冪函數(shù) 優(yōu)先于優(yōu)先于 對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)。如，例如，例1 1中：若先把中：若先把x湊微分，則有：湊微分，則有：dxxxxx)sin(2cos222xdxxxxsin212sin22 xdxxcos)

4、2(cos2 xxd)(cos2cos222xdxxx 可以看出：最后面的積分與原來(lái)的積分屬于同一種類型，而可以看出：最后面的積分與原來(lái)的積分屬于同一種類型，而且冪函數(shù)因式的次數(shù)還增高了，積分結(jié)果將難以求出。且冪函數(shù)因式的次數(shù)還增高了，積分結(jié)果將難以求出。4dxxex求求例例3 3dxxex解解：xxdedxexexxCexexx被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或者弦函數(shù)的乘積，被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或者弦函數(shù)的乘積，應(yīng)該先將指數(shù)函數(shù)或者弦函數(shù)湊微分。應(yīng)該先將指數(shù)函數(shù)或者弦函數(shù)湊微分。解解dxexx2xdex2xdxeexxx22Cexeexxxx22Cxxex222dxexx2求求例例4 4例

5、例2 2 求求 xdxx2tan解：解： xdxx2tandxxx1sec2xdxxdxx2sec221tanxxxd221tantanxdxxxxCxxxx221coslntan5xdxxln求求解解xdxxln2ln2xxddxxxxx12ln222xdxxx21ln22Cxxx4ln222例例5 5被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)的乘積，被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或者反三角函數(shù)的乘積， 應(yīng)該先將冪函數(shù)湊微分。應(yīng)該先將冪函數(shù)湊微分。xdxxarctan2求求例例6 6解解xdxxarctan22arctan xdxdxxxxx2221arctanCxxxxarctanarctan2

6、dxxxx22111arctandxxxxx11) 1(arctan2226例例7 7* * xdxarcsin求求Cxxx21221arcsin2211121arcsinxdxxxCxxx21arcsin解解dxxxxx21arcsinxdxarcsin例例8 8 xdxxxarctan122求求解解xdxxxdxxxarctan111arctan1222xxdxdxarctanarctanarctan22arctan211arctanxdxxxxxCxxxx22arctan211ln21arctan7xdxsinex求求例例9 9xdxexsinxdexcosxxdexexxcoscosx

7、dexexxsincosxdxexexexxxsinsincos解解 法法1 是不是優(yōu)先湊微分的順序出了問(wèn)題？換過(guò)來(lái)試一下：是不是優(yōu)先湊微分的順序出了問(wèn)題？換過(guò)來(lái)試一下： 法法2 xdxsinexxxdesinxdxexexxcossinxxexdxecossinxdxexexexxxsincossin 兩種方法都出現(xiàn)了兩種方法都出現(xiàn)了“循環(huán)循環(huán)”，移項(xiàng)可以把該積分，移項(xiàng)可以把該積分“解解”出來(lái)。出來(lái)。 Cxxexdxexxcossin21sin移項(xiàng)時(shí)應(yīng)該給等式的右邊添加任意常數(shù)移項(xiàng)時(shí)應(yīng)該給等式的右邊添加任意常數(shù) C 被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與弦函數(shù)的乘積，可選任一函數(shù)湊微分。被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與弦

8、函數(shù)的乘積，可選任一函數(shù)湊微分。8xdxex3cos2求求例例1010解解 xxxdexdxeI223cos213cosxdxexexx3sin33cos2122xxxdexe223sin433cos21dxexexxexxx2223cos3433sin433cos21Ixexexx493sin433cos2122移項(xiàng)得移項(xiàng)得 CxexeIxx3sin1333cos13222CbxbbxabaebxdxeCbxbbxabaebxdxeaxaxaxaxcossinsinsincoscos22229下面也是出現(xiàn)下面也是出現(xiàn)“循環(huán)循環(huán)”的例子。的例子。xdxsec3求求解解xdxsec3xtanxd

9、secxxdtanxsecxtanxsec2xdxsecxsecxtanxsec12xdxsecxsecxtanxsec3xtanxseclnxxdsecxtanxsec3Cxxxxxxdtanseclntansec21sec3移項(xiàng)、兩邊同除以系數(shù)，得移項(xiàng)、兩邊同除以系數(shù)，得例例11 11 10 NnInaxxnaInnn )12(212221證明遞推公式證明遞推公式解解dxaxInn221nnaxxdaxx22221 1222221 nnaxxnax122222)( nnnInanIaxxdxaxnadxaxnaxxnnn122222221212dxaxaaxnaxxnn122222222d

10、xaxnxaxxnn1222222 nnnInaxxnaI)12(212221解得：解得：nnaxdxI22若：若：例例121211CaxaaxxaIaaxxaI arctan1212121222122222進(jìn)而可遞推出進(jìn)而可遞推出In CaxarctanaaxdxI1221由例由例1111、例、例1212：很多不屬于基本題型：很多不屬于基本題型、的的 不定積分，根據(jù)具體情況可以用分部積分法，使不定積分不定積分，根據(jù)具體情況可以用分部積分法，使不定積分變得簡(jiǎn)單。變得簡(jiǎn)單。12dxex求求例例13解解tx 令令tdtdx,tx22則則dxexdttet2Ctet12Cxex12分部積分法分部積分法解解例例14求求 dxxxxxex23sincossincosdxxxxxex23sincossincos xdxxexdxxexxsectancossinsinxdexdexxsecsinsindxexexxsinsinxdxexxexxco