高等數(shù)學(xué)第四講（4學(xué)分）

1、編輯ppt1 第一章 1、和差積商的極限等于極限的和差積商、和差積商的極限等于極限的和差積商第三講主要內(nèi)容回顧：第三講主要內(nèi)容回顧：2、復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則3、分式函數(shù)的極限：、分式函數(shù)的極限：)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR編輯ppt2x趨于無窮大時(shí)，分式函數(shù)的極限：趨于無窮大時(shí)，分式函數(shù)的極限：為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)編輯ppt34、兩個(gè)重要的極限、兩個(gè)重要的極限1sinlim0 xxxex

2、xx)1 (lim15、無窮小量的階：重點(diǎn)掌握等價(jià)無窮小、無窮小量的階：重點(diǎn)掌握等價(jià)無窮小6、求極限時(shí)的等價(jià)無窮小因式代替規(guī)則、求極限時(shí)的等價(jià)無窮小因式代替規(guī)則:編輯ppt4第四節(jié)第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 第一章 編輯ppt5函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x4.1、連續(xù)函數(shù)的概念、連續(xù)函數(shù)的概念定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfAxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件

3、連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;且且有定義有定義 ,存在存在 ;1、函數(shù)在點(diǎn)、函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的概念處連續(xù)的概念編輯ppt6若若x0不是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，不是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，則稱則稱x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn) ，函，函數(shù)在此點(diǎn)是間斷的。數(shù)在此點(diǎn)是間斷的。編輯ppt7考察函數(shù)考察函數(shù)討論討論 0 x處的連續(xù)性的連續(xù)性 . xyo11 xy11 xy解解:因?yàn)橐驗(yàn)?(lim0 xfx不存在不存在 .1,0( )0,01,0 xxf xxxx所以上述函數(shù)在所以上述函數(shù)在0處不連續(xù)處不連續(xù)。編輯ppt8自變量在自變量在x0的增量的增量,0 xxx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x0的增量：的增量：)()(0 xf

4、xfy)()(00 xfxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx函數(shù)函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)有下列連續(xù)有下列等價(jià)命題等價(jià)命題:函數(shù)在函數(shù)在 x0處連續(xù)的處連續(xù)的增量定義增量定義編輯ppt9結(jié)論：函數(shù)在結(jié)論：函數(shù)在 x0處連續(xù)的充要條件處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在此點(diǎn)處的增量是無窮小。是函數(shù)在此點(diǎn)處的增量是無窮小。編輯ppt10函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x0處單側(cè)連續(xù)處單側(cè)連續(xù)左連續(xù)：左連續(xù)：右連續(xù)：右連續(xù)：, )()0()(lim000 xfxfxfxx, )()0()(lim000 xfxfxfxx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件是函數(shù)處連續(xù)的充要條

5、件是函數(shù)在此點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。在此點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。編輯ppt11例：設(shè)函數(shù)例：設(shè)函數(shù)1/13)(xxaxxxf問：當(dāng)問：當(dāng)a取何值時(shí)，函數(shù)在取何值時(shí)，函數(shù)在1處連續(xù)？處連續(xù)？解解：.41)/(lim)(lim4)3(lim)(lim1111aaxaxfxxfxxxx處有極限，則欲使函數(shù)在。的函數(shù)值恰好是時(shí)，414xa處連續(xù)。時(shí)，函數(shù)在時(shí)，當(dāng)14) 1 (4)(lim41afxfax編輯ppt12函數(shù)在區(qū)間連續(xù)的概念函數(shù)在區(qū)間連續(xù)的概念若若)(xf在某開區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)在某開區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上則稱它在該區(qū)間上連續(xù)連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

6、連續(xù)函數(shù) .編輯ppt13證明：證明：nnxaxaaxP10)(在),(上連續(xù)上連續(xù) .證明：證明： 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù).編輯ppt14函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在函數(shù)在a,b 連續(xù)指：函數(shù)在右端點(diǎn)處左連續(xù)，連續(xù)指：函數(shù)在右端點(diǎn)處左連續(xù)，而在左端點(diǎn)處右連續(xù)及相應(yīng)的開區(qū)間連續(xù)。而在左端點(diǎn)處右連續(xù)及相應(yīng)的開區(qū)間連續(xù)。編輯ppt15在在在在函數(shù)的間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）：函數(shù)的間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）：(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim

7、0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,符合上述情形之一的點(diǎn)符合上述情形之一的點(diǎn)0 x雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在在無定義無定義 ;編輯ppt16例：例：x=1/2是函數(shù)是函數(shù)12142)( xxxf的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)例：考察例：考察x=0是不是符號(hào)函數(shù)是不是符號(hào)函數(shù) 010001sgn)(xxxxxf的間斷點(diǎn)。的間斷點(diǎn)。編輯ppt17間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):左右極限都存在的間斷點(diǎn)。左右極限都存在的間斷點(diǎn)。, )()

8、(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)。左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)。為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn):屬于第二類間斷點(diǎn)。屬于第二類間斷點(diǎn)。)(lim0 xfxx或或)(lim0 xfxx, )()(00 xfxf若若稱稱0 x為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .編輯ppt181) 1 (1)(lim1fxfx顯然顯然1x為其可去間斷點(diǎn)為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfyxoy211 考察考察y=tanx的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)xytan2xyo編輯ppt19連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章

9、第一章 編輯ppt20定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增(遞減遞減) 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增也連續(xù)單調(diào)遞增(遞減遞減).一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)有限個(gè)函數(shù)經(jīng)函數(shù)經(jīng)有限次有限次和和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商商(分母不為分母不為 0) 運(yùn)算運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .(證明略證明略)編輯ppt21xey 在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.因?yàn)橐?/p>

10、為 xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)xx cos,sin因?yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)橐驗(yàn)閤ysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin在在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.結(jié)論：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)結(jié)論：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)編輯ppt22函數(shù)函數(shù)f(u)在在u0連續(xù)連續(xù)，則，則)()(lim)(lim000ufufxgfuuxx)(lim(0 xgfxx若若函數(shù)函數(shù)g(x)在在x0連續(xù)連續(xù)，)(0 xgf連續(xù)函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算法則連續(xù)函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算法則00)()(lim0uxgxgxx編輯ppt23例如例如,xy1sin是由

11、連續(xù)函數(shù)是由連續(xù)函數(shù)),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,編輯ppt24二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)處單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)處單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間只要求定義域求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間只要求定義域即可。

12、即可。編輯ppt25利用連續(xù)性求極限利用連續(xù)性求極限例：求例：求xxxxarctan4)2ln(12lim 322lim xxe)ln(arctanlimxx編輯ppt26閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 編輯ppt27注意注意: 若函數(shù)在若函數(shù)在開區(qū)間開區(qū)間上連續(xù)上連續(xù),結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在在閉區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)即即: 設(shè)設(shè), ,)(baCxf則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值值和最小值. .或在閉區(qū)間內(nèi)或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)有間斷點(diǎn) 在該區(qū)間上一定有最大

13、在該區(qū)間上一定有最大(證明略證明略)編輯ppt28例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值也無最大值和最小值 又如又如, 編輯ppt29推論推論. 二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 證明略證明略 )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 編輯ppt30中間值定理中間值定理設(shè)設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對(duì)則對(duì) A 與與

14、 B 之間的任一數(shù)之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn)一點(diǎn), ),(ba證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)Cxfx)()(則則,)(baCx 且且)()(ba)(CBCA0故由零點(diǎn)定理知故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),(ba使,0)(即即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最必取得介于最小值與最大值之間的任何值大值之間的任何值 .編輯ppt31例例. 證明方程證明方程01423 xx一個(gè)根一個(gè)根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423在區(qū)間在區(qū)間)1 ,0(內(nèi)至少有內(nèi)至少有編輯ppt32)15)(1()3)(2)(1(2lim nnnnnn1、求下列數(shù)列的極限、求下列數(shù)列的極限習(xí)題選講習(xí)題選講)1(limnnn1sin3limnnnn115)2(5)2(limnnnnn編輯ppt33)(lim442122xxx1cos102limxexxxxxsinlim2、求下列函數(shù)的極限、