微積分(上)知識(shí)點(diǎn)重點(diǎn)復(fù)習(xí)整理交大

1、微積分（上）復(fù)習(xí)第一部分（第一章，第二章）函數(shù)、極限與連續(xù)一、要求1 .函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見(jiàn)函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）2 .極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系夾逼定理和單調(diào)有界定理會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小和洛必達(dá)法則求極限3 .連續(xù)函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷理解并會(huì)應(yīng)用有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）二、題型與解法A.極限的求法（1）用定義求（2）代入法（對(duì)連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個(gè)重要極限法（5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（6）等價(jià)無(wú)窮小量替換法（7）洛必達(dá)法則與Taylor展式法（8）其他（

2、微積分性質(zhì)，數(shù)列的性質(zhì)）1. li xarctan x - xln(1 2x3)lixarctan x - x2x3-1 （等價(jià)小量與洛必達(dá)）62.已知f（x）三階可導(dǎo)sin 6x xf (x)=0,求 limx . 06 f(x)lim解：xT0sin 6x xf (x)=limx _ 06cos6x f(x) xy'3x2-216cos6x 3y' xy'''limx _ 0-36sin6x 2y' xy''=lim -6x-216 3y''(0)=0. y''(0)=72lix6 f(x)=

3、lim-limEx02x XT0 22必=36（洛必達(dá)）3. xim1(2x2x（重要極限）ax b)x4 .已知a、b為正常數(shù)， 求lim （x 一 0'解：令t =（)x,lnt =3 -ln(axxbx) -ln2lim ln t = lim xx-0 x-0 a ，bx(axln a bx3ln b) = 一 ln(ab)2(變量替換)3/2 . t = (ab)5. limo(cosx)ln(1 x)解：令 t = (cosx)ln(1 x) ,ln t =2ln(1 x )ln(cos x)lim ln t = limx T0x T0-tan x2xl，t=e，/2 （變量

4、替換）26.設(shè) f'(x)連續(xù)，f (0) = 0, f'(0)¥0,求 lim xf0x20 f(t)dt二 1o xx2 0 f(t)dt（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）7.已知 f(x), /、一2j cln(cosx)x ,x = 0在x=0連續(xù), ax = o解：令a = lim ln(cosx)/x2 =-1/2 (連續(xù)性的概念) x - 0三、補(bǔ)充練習(xí)x1.-3 （洛必達(dá)） e -1 - x limx-0 1 - x - cos . x-11.2. lim ctgx(-)(洛必達(dá)或 Taylor)x° sin xxx t2x e，出3. lim 0一-

5、=1(洛必達(dá)與微積分性質(zhì))x-0 1 .e'第二部分（第三章）導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用一、理論要求1.導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會(huì)求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)） 會(huì)求平面曲線的切線與法線方程2.微分中值定理理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 會(huì)用定理證明相關(guān)問(wèn)題3.應(yīng)用會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線問(wèn)題，能畫(huà)簡(jiǎn)圖 會(huì)計(jì)算曲率（半徑）二、題型與解法A.導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1 .y=y（x）由Qylya黑叱5決定，求詈2 . y = y(x)由 ln(x2 + y)

6、= x y =y(x)由2xy =x + y決定,則 dy |x = (ln2-1)dxy +sin x決定，求 6 |x=0=1 dx解：兩邊微分得 x=0時(shí)y'= ycosx = y，將x=0代入等式得y=1B.曲線切法線問(wèn)題4.求對(duì)數(shù)螺線P = e% （P,日）="71/21/2）處切線的直角坐標(biāo)方程。解：x = e cos 00 凸，(x, y) |e=n/2 y = e - sin ?(0e：/2),yj-1/ 2y -e =-x5 .f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在 x=1可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求

7、f(x)在(6, f(6)處的切線方程。解：需求f(6), f'(6)或f(1), f'(1),等式取x->0的極限有：f(1)=0lim f (1 + sin x) - 3 f (1 - sin x)IT0sin xsx f(1 t)-f(1)f(1_t).f(1)二 lim 3t-0ttC.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題= 4f'(1) =8. f'(1) =2. y = 2(x-6)6 .已知 y = f (x)對(duì)一切 x滿足xf''(x) +2x f '(x)2 = 1 -e,若f'(xo) =0(x0 #0),求(xo, y0)點(diǎn)的

8、性質(zhì)。- -ax0/0, Xh >0解：令x = x0代入，f''(x0)=f=0,故為極小值點(diǎn)。ex°x0(>0,Xo <03 x 7 . y =2,求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線。(x-1)解：定義域 x (-二,1) (1, ,二)y'=0=駐點(diǎn) x = 0及 x = 3y'' = 0=拐點(diǎn)x=0; x=1:鉛垂；y = x + 2:斜8 .求函數(shù)y = (x1"加2+rctanx的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。2_解 ：y' = -XeH/2rctanx 駐點(diǎn) x = 0與x = 11 x2漸：y

9、= e"(x-2)與y = x-29.求f (x) = x2 ln(1 + x)在x = 0處的n階導(dǎo)數(shù)f(0)23n -2行 22, X Xn4 X' nq斛：x ln(1 x) = x (x -一 一 - (-1) o(x )23n -245nx3 -(-1)n4 o(xn)23n - 2(n)(°) =(-1尸n!n。2E.不等式的證明11.x (0,1),22 1111求證(1 x)ln (1 x) ： x ,-1 ： -一 ：；-ln 2 ln(1 x) x 2證：1)令 g(x) =(1 x)ln24(1 x) -x2,g(0) =0g'(x),

10、g''(x),g'''(x) =-2ln(1 6:二 0,g'(0) =g''(0) =0(1 x), xW (0,1)時(shí)g''(x)單調(diào)下降，g''(x) <0,g'(x)單調(diào)下降g'(x) < 0, g(x)單調(diào)下降,g(x)<0；得證。11F.中值定理問(wèn)題2 )令卜3=1，xW (0,1),h'(x) <0,單倜下降，得證。 ln(1 x) x12.設(shè)函數(shù)f(x)在-1,1具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 f(1) =0, f (1)=1, f'（0

11、） = 0,求證：在（-1,1）上存在一點(diǎn) 與 使f''不）=31 21 3證:f(x)=f(0) f'(0)xf''(0)x2f'''( )xln b - ln a (b - a) e2!3!其中 (0,x),x -1,1一 一1 一 1 一0 = f(-1) = f(0) - f''(0) - f'''( 1)將x=1, x=-1代入有26- 一 1 _1 _1 = f(1) = f (0) f''(0)f'''( 2)26兩式相減：f'&

12、#39;'( 1) f'''( 2) =6韭包” ”2,弓廣)=2''。1)+''() = 32. .22413. e<a<b<e，求證：ln b -ln a > (b - a) e證：Lagrange ifb垣) = f'()b -a2令 f (x) = lnx,ln 2 b - ln2 ab - a21n二 0( )：(e2)-小用（關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）e三、補(bǔ)充練習(xí)43,*y''(0) = -2.曲線x = S sin 2t 4 小，,、，t在(0,1)處切線為y +2x1 =0y

13、 = e cos2t113. y =xln(e )(x - 0)的漸進(jìn)線方程為y =x4.證明 x>0 時(shí)(x2 -1)ln x 之(x -1)2證：令 g(x) =(x2 -1)ln x-(x -1)2,g'(x), g''(x), g'''(x)=2(x2 -1)g(1) =g'(1) =0, g''(1) = 2 .0x (0,1),g''，0,g'' 2x (1,二)，g''' 0,g'' 2.g''>0./

14、3;(01),g'<0,g>0 、xw(1嚴(yán)),g'>0 ”第三部分（第四章，第七章）不定積分與定積分一、理論要求1.不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會(huì)求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）2.定積分理解定積分的概念與性質(zhì)理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法會(huì)求定積分、廣義積分會(huì)用定積分求幾何問(wèn)題會(huì)用定積分求物理問(wèn)題（長(zhǎng)、面、體）（功、引力、壓力）二、題型與解法A.積分計(jì)算dxdx1.x(4 - x)44 - (x - 2)=arcsin-2 C22B.積分性質(zhì)C.積分的應(yīng)用3.設(shè) f (ln x) = n-x)，求

15、f f (x)dx x解：f(x)dx= indx ex=e ' ln(1 ex)(1 - e x )dx = x -(1 e") ln(1 ex) C1 e, 二arctanx ,1b,1 x 、， 二 1 ,八4 .dx = - arctanx |1 lim (- ) dx = - - ln 21 x2xb-；1 x 1 x24 21f (x).5 . f (x)連續(xù)，9(x) = f f (xt)dt ,且 lim -(-) = A，求中(x)并討論 0x 一 0 xW(x)在x = 0的連續(xù)性。xo f(y)dy解：f(0)= (0) =0, y =xt=(x)=xx

16、xf(x) - f(y)dya'(x) =02 '(0)= lim '(0) = A/2'(0)x22 x-0dx22 dx22226 .dx0tf(x t2)dt = -五0f(x2t2)d(t2-x2)d x22費(fèi)0")7 .設(shè) f (x)在0 , 1連續(xù)，在(0 , 1 )上 f (x) >0 ,且. 3a 2xf' (x) = f (x) 十 1 x，又 f (x)與 x=1,y=0 所圍面積 S=2。求 f (x), 且a=?時(shí)S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解：(f )=3a : f (x) = 3a x2 cx f (x)dx = 2

17、 c = 4 -adx x 220. 3a 21 2f(x) = x (4 -1)x V'=(二 ° y dx)' = 0 a - -5三、補(bǔ)充練習(xí)1.2.lnsinx .2dx = -cotxln sin2x。cotx -x C sin2 xx2 -6x 13dxc arcsin % x ,3.x dx第四部分(第五章)常微分方程一、理論要求1 .一階方程2 .高階方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法會(huì)求 y(n) = f (x), y, = f (x,y')(y'= p(xD, y''= f (y, y')

18、(y'= p(y)3.二階線性常系數(shù)2y'' py' q = 0"p.；，丁q 二 0儲(chǔ) ¥ K2 T yi =Ge*x +c2e'2x、1212、(齊次)=(%=K2T y1 =(c1+c2x)e"九=ot ± i P t y1 =ecx(c1 cos Px + c2 sin Px)0 豐、qT V2 = Qn (x)e"f (x) = Pn (x)ea =九10r兒2 t y2 = Qn (x)xe°x(非齊次)a =%and2 t y2 =Qn(x)x2e空f(shuō) (x) =e：x(Pi (x

19、)cos x pj (x)sin ：x)&土iP#九t y2 =ea(qn(x)cosPx + rn(x)sinPx(非二a ±iPy2 =xecx(qn(x)cosPx + rn(x)sinPx(n = max(, j)齊次)二、題型與解法A.微分方程求解1.利用代換 y = u化簡(jiǎn) y''cosx - 2y'sin x +3ycosx= ex 并求通 cosx解。(u''+4ux cos2x c .ex、=e , y = G+ 2c2 sin x +)cosx5cosx2.設(shè)y = y(x)是上凸連續(xù)曲線，(x, y)處曲率為 1,

20、且過(guò)(0,1)處.1 y,2切線方程為y=x+1 ,求y = y(x)及其極值。.2二11 ,八斛：y'' y' 1=0= y = In | cos(- x) | 1 ln2,ymax=1 ln 2 422三、補(bǔ)充練習(xí)1.已知函數(shù)y = y(x)在任意點(diǎn)處的增量 Ay =上當(dāng)+ o(Ax), y(0) = %求y(1)1 , x(二 e4)2 .求 y''dy = e2x的通解。(y =Ge/x +c2e2x +二xe2x)4一 ，、，一221 23 .求(y+yx +y )dx xdy = 0(x >0), y(1) = 0 的通解。(y=,(x

21、 1)114 .求 y''_2y'£2x =0,y(0) =y'(0) =1 的特解。(y = 1 1 (3 + 2x)e2x4 4第五部分補(bǔ)充1.極限求解變量替換(100作對(duì)數(shù)替換)，洛必達(dá)法則，其他(重要極限，微積分性質(zhì)，等價(jià)小量替換)1. lim 1(x a) +(x + 2a) + . + (x + (n -1)a) = x +-(幾何級(jí)n± m n nn2數(shù))22. limo( arccosx)1/x =e/2 (對(duì)數(shù)替換)tan-3. lim (2 -x) 2x 一 14.3 X Wlim () 2xf' 6 ' x5.limx - an _ nn 1(x a ) 一 na (x - a)(x-a)26.f (x)1 - co