MDSP第四章維納濾波和卡爾曼濾波

1、第二章 維納濾波和卡爾曼濾波2.1 引言 2.2 維納濾波器的離散形式時(shí)域解2.3 離散維納濾波器的z域解2.4 維納預(yù)測(cè)2.5 卡爾曼(Kalman)濾波2.1 引 言 在生產(chǎn)實(shí)踐中，我們所觀測(cè)到的信號(hào)都是受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，并將有用信號(hào)分離出來(lái)，是信號(hào)處理中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。換句話說(shuō)，信號(hào)處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號(hào)。相應(yīng)的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，我們只考慮加性噪聲的影響，即觀測(cè)數(shù)據(jù)是信號(hào)與噪聲之和（如圖2.1.1所示），即 我們的目的是為了得到不含噪聲的信號(hào)，也稱為期望信號(hào)，若濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為（如圖2.1.2所示），系統(tǒng)的期望輸出用表示，應(yīng)等于信

2、號(hào)的真值；系統(tǒng)的實(shí)際輸出用表示，是的逼近或估計(jì)，用公式表示為，。因此對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，可以看成是對(duì)期望信號(hào)的估計(jì)，這樣可以將看作是一個(gè)估計(jì)器，也就是說(shuō)，信號(hào)處理的目的是要得到信號(hào)的一個(gè)最佳估計(jì)。那么，采用不同的最佳準(zhǔn)則，估計(jì)得到的結(jié)果可能不同。所得到的估計(jì)，在通信中稱為波形估計(jì)；在自動(dòng)控制中，稱為動(dòng)態(tài)估計(jì)。假若已知，要估計(jì)當(dāng)前及以后時(shí)刻的信號(hào)值，這樣的估計(jì)問(wèn)題稱為預(yù)測(cè)問(wèn)題；若已知，要估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值，稱為過(guò)濾或?yàn)V波；根據(jù)過(guò)去的觀測(cè)值，估計(jì)過(guò)去的信號(hào)值，稱為平滑或內(nèi)插。維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來(lái)解決這樣一類從噪聲中提取信號(hào)的過(guò)濾或預(yù)測(cè)問(wèn)題，并以估計(jì)的結(jié)果與信號(hào)真值

3、之間的誤差的均方值最小作為最佳準(zhǔn)則。維納濾波是在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事的需要由維納提出的。1950年，伯特和香農(nóng)給出了當(dāng)信號(hào)的功率譜為有理譜時(shí)，由功率譜直接求取維納濾波器傳輸函數(shù)的設(shè)計(jì)方法。維納濾波器的求解，要求知道隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律（自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度），得到的結(jié)果是封閉公式。采用譜分解的方法求解，簡(jiǎn)單易行，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值，并且物理概念清楚，但不能實(shí)時(shí)處理；維納濾波的最大缺點(diǎn)是僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。這是由于采用頻域設(shè)計(jì)法所造成的，因此人們逐漸轉(zhuǎn)向在時(shí)域內(nèi)直接設(shè)計(jì)最佳濾波器的方法。早在20世紀(jì)40年代，開(kāi)始有人用狀態(tài)變量模型來(lái)研究隨機(jī)過(guò)程，到60年代初，由于空間技術(shù)的

4、發(fā)展，為了解決對(duì)非平穩(wěn)、多輸入輸出隨機(jī)序列的估計(jì)問(wèn)題，卡爾曼提出了遞推最優(yōu)估計(jì)理論。它用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)，即已知前一狀態(tài)的估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)，采取遞推的算法估計(jì)當(dāng)前的狀態(tài)值。由于卡爾曼濾波采用遞推法，適合于計(jì)算機(jī)處理，并且可以用來(lái)處理多維和非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域，并取得了很好的結(jié)果，但它只是維納濾波的一種算法。卡爾曼濾波已經(jīng)出現(xiàn)，就受到人們的很大重視，并在實(shí)踐中不斷豐富和完善，其中一個(gè)成功的應(yīng)用是設(shè)計(jì)運(yùn)載體的高精度組合導(dǎo)航系統(tǒng)5。前面講到，維納濾波和卡爾曼濾波都是采用最小方差估計(jì)，即采用最小均方誤差準(zhǔn)則（MMSE，Minimum Mean Square Error）。一

5、般來(lái)講，均方誤差準(zhǔn)則對(duì)大誤差抑制能力強(qiáng)，而對(duì)小誤差不敏感。下面我們首先介紹維納濾波的時(shí)域和復(fù)頻域的求解方法，然后介紹維納預(yù)測(cè)、特別是純預(yù)測(cè)問(wèn)題的求解，最后介紹卡爾曼濾波的內(nèi)容。2.2 維納濾波器的離散形式時(shí)域解設(shè)計(jì)維納濾波器的任務(wù)，實(shí)際上就是選擇，使其輸出信號(hào)與期望信號(hào)誤差的均方值為最小，即維納濾波器是一個(gè)均方誤差最小準(zhǔn)則下的最小濾波器。維納濾波最初是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)以模擬濾波器的形式出現(xiàn)的，爾后才有離散形式，這兩種形式解決問(wèn)題的思路是基本一致的。在這里我們只討論離散維納濾波器，模擬維納濾波器的設(shè)計(jì)以習(xí)題的形式出現(xiàn)，共大家練習(xí)。假設(shè)濾波系統(tǒng)是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)和輸入信號(hào)都是復(fù)函

6、數(shù)，設(shè)定 2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，并考慮到系統(tǒng)的因果性，可以得到濾波器的輸出, 設(shè)期望信號(hào)為，誤差信號(hào)及其均方值分別為 要使均方誤差為最小，須滿足 這里，表示；同理，可以用分別表示。由于誤差的均方值是一標(biāo)量，因此（2.2.5）式是一個(gè)標(biāo)量對(duì)復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，它等價(jià)于 記 則(2.2.6)式可以寫(xiě)為 將(2.2.8)式展開(kāi) 又根據(jù)(2.2.1)(2.2.3)式 將(2.2.10)(2.2.13)式代入（2.2.9）式，得 因此 上式說(shuō)明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是通常所說(shuō)的正交性原理。它的重要意義在于提供了一個(gè)數(shù)

7、學(xué)方法，用以判斷線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)。下面計(jì)算輸出信號(hào)與誤差信號(hào)的互相關(guān)函數(shù) 假定濾波器工作于最佳狀態(tài)，濾波器的輸出與期望信號(hào)的誤差為，把(2.2.15)式代入上式，得到 這樣，在濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，期望信號(hào)、估計(jì)值與誤差信號(hào)的幾何關(guān)系如圖2.2.1所示。圖中，用表示誤差信號(hào)所構(gòu)成的向量，表示濾波器處于最佳工作狀態(tài)時(shí)，誤差信號(hào)所構(gòu)成的向量。同理，表示期望信號(hào)所構(gòu)成的向量，表示濾波器處于最佳工作狀態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)所構(gòu)成的向量。這樣的向量表示方法在第三章介紹最小二乘濾波器時(shí)，還要用到。圖2.2.1表明濾波器處于最佳工作狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值加上估計(jì)偏差等于期望信號(hào)，即 注意我們所研究的是隨機(jī)信

8、號(hào)，圖2.2.1中各矢量的幾何表示應(yīng)理解為相應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)平均或者是數(shù)學(xué)期望。再?gòu)哪芰康慕嵌葋?lái)看，假定輸入信號(hào)和期望信號(hào)都是零均值，應(yīng)用正交性原理，則，因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值的能量總是小于等于期望信號(hào)的能量。2.2.2 維納霍夫方程將（2.2.15）式展開(kāi)，可以得到 將輸入信號(hào)分配進(jìn)去，得到對(duì)上式兩邊取共軛，利用相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：(或)，得到 (2.2.20)式稱為維納霍夫(WienerHopf)方程。當(dāng)是一個(gè)長(zhǎng)度為的因果序列(即是一個(gè)長(zhǎng)度為的FIR濾波器)時(shí)，維納霍夫方程表述為 把的取值代入(2.2.21)式，得到 定義 （2.2.22）式可以寫(xiě)成矩陣的形式，即 對(duì)上式求逆，得到 上式表

9、明已知期望信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)矩陣求逆運(yùn)算，得到維納濾波器的最佳解。同時(shí)可以看到，直接從時(shí)域求解因果的維納濾波器，當(dāng)選擇的濾波器的長(zhǎng)度M較大時(shí)，計(jì)算工作量很大，并且需要計(jì)算的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器的長(zhǎng)度是由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定的，如果想通過(guò)增加長(zhǎng)度提高逼近的精度，就需要在新M基礎(chǔ)上重新進(jìn)行計(jì)算。因此，從時(shí)域求解維納濾波器，并不是一個(gè)有效的方法。2.2.3 估計(jì)誤差的均方值假定所研究的信號(hào)都是零均值的，濾波器為FIR型，長(zhǎng)度等于，將(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到 上式可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到 可以看出，

10、均方誤差與濾波器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)為維向量，因此均方誤差是一個(gè)超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點(diǎn)存在。當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，均方誤差取得最小值。將(2.2.24)式，即，代入(2.2.26)式，得到最小均方誤差 下面舉一個(gè)具體的數(shù)值例子，說(shuō)明維納濾波器的求解方法。例2.2.1 設(shè)，是一白噪聲，方差。期望信號(hào)的信號(hào)模型如圖2.2.2(a)所示，其中白噪聲的方差，且。的信號(hào)模型如圖2.2.2(b)所示，。假定與、與不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器，得到該信號(hào)的最佳估計(jì)，要求濾波器是一長(zhǎng)度為2的FIR濾波器。解 這個(gè)問(wèn)題屬于直接應(yīng)用維納霍夫方程的典型問(wèn)題，

11、其關(guān)鍵在于求出觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。 根據(jù)題意，畫(huà)出這個(gè)維納濾波器的框圖，如圖2.2.3所示。 用和分別表示和的信號(hào)模型，那么濾波器的輸入信號(hào)可以看作是通過(guò)和級(jí)聯(lián)后的輸出，和級(jí)聯(lián)后的等效系統(tǒng)用表示，輸出信號(hào)就等于和之和。因此求出輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣和輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)矩陣是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。相關(guān)函數(shù)矩陣由相關(guān)函數(shù)值組成，已知與不相關(guān)，那么(1) 求出期望信號(hào)的方差。根據(jù)圖2.2.2(a)，期望信號(hào)的時(shí)間序列模型所對(duì)應(yīng)的差分方程為也即這里，由于的均值為零，其方差與自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的值相等。 其中，這是因?yàn)榕c不相關(guān)。 (2) 計(jì)算輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的自相關(guān)

12、函數(shù)矩陣。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和時(shí)間序列信號(hào)模型的等價(jià)關(guān)系，已知時(shí)間序列信號(hào)模型，就可以求出自相關(guān)函數(shù)。這里，信號(hào)的模型可以通過(guò)計(jì)算得到。這是一個(gè)二階系統(tǒng)，所對(duì)應(yīng)的差分方程為 式中，。由于和的均值為零，因此，的均值為0。方程兩邊同乘以，并取數(shù)學(xué)期望，得到式中，這是因?yàn)闉閷?shí)信號(hào)。對(duì)方程（1）取m=1, 2，得到方程（2）、（3）、（4）聯(lián)立求解，得至此，輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣可以寫(xiě)出：是一個(gè)零均值的白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)矩陣呈對(duì)角形，且，因此，輸出信號(hào)的自相關(guān)為(3) 計(jì)算輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)矩陣。由于兩個(gè)信號(hào)都是實(shí)信號(hào)，故根據(jù)圖2.2.2系統(tǒng)的輸入與輸出的關(guān)系，有推出這樣將代入上

13、式，可得因此，輸出信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)為 求出輸出信號(hào)自相關(guān)矩陣的逆，并乘以，就得到維納濾波器的最佳解：把代入（2.2.27）式，可以計(jì)算出該維納濾波達(dá)到最佳狀態(tài)時(shí)均方誤差，即取得了最小值，2.3 離散維納濾波器的z域解下面從復(fù)頻域研究維納濾波器的求解方法。若不考慮濾波器的因果性，（2.2.20）式可以寫(xiě)為設(shè)定，對(duì)上式兩邊做Z變換，得到 假設(shè)信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即，則 （2.3.2）式可以寫(xiě)成 （2.3.5）式表示，當(dāng)噪聲為0時(shí)，信號(hào)全部通過(guò)；當(dāng)信號(hào)為0時(shí)，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。把信號(hào)的頻譜用表示，噪聲的頻譜用表示，那么非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性如圖2.3

14、.1所示。 然而實(shí)際的系統(tǒng)都是因果的。對(duì)于一個(gè)因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的原因是由于輸入信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)序列是一個(gè)因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非因果問(wèn)題，求解方法將大大簡(jiǎn)化。那么怎樣把一個(gè)因果序列轉(zhuǎn)化為一個(gè)非因果序列呢？ 回顧前面講到的時(shí)間序列信號(hào)模型，假設(shè)的信號(hào)模型已知（如圖2.3.2(a)所示），求出信號(hào)模型的逆系統(tǒng)，并將作為輸入，那么逆系統(tǒng)的輸出為白噪聲。一般把信號(hào)轉(zhuǎn)化為白噪聲的過(guò)程稱為白化，對(duì)應(yīng)的濾波器稱為白化濾波器（如圖2.3.2(b)所示）。 (a) (b)圖 2.3.2 x(n)的時(shí)間序列信號(hào)模型及其白化濾波器具體思路如圖2.3.3所示。用白噪聲作

15、為待求的維納濾波器的輸入，設(shè)定為信號(hào)的白化濾波器的傳輸函數(shù)，那么維納濾波器的傳輸函數(shù)的關(guān)系為 因此，維納濾波器的傳輸函數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為的求解。 圖 2.3.3 維納濾波解題思路下面仍然根據(jù)非因果維納濾波器和因果維納濾波器兩種情況進(jìn)行分析。在下面的分析中，假定信號(hào)為實(shí)信號(hào)。首先，來(lái)看非因果維納濾波器的求解。2.3.1 非因果維納濾波器的求解假設(shè)待求維納濾波器的單位脈沖響應(yīng)為，期望信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)，是的逆Z變換，如圖2.3.3所示。 其中，?？梢钥闯?，均方誤差的第一和第三項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)，要使均方誤差為最小，當(dāng)且僅當(dāng)  因此g(n)的最佳值為 對(duì)上式兩邊同時(shí)做Z變換，得到 這樣，非因果維納

16、濾波器的最佳解為 因?yàn)?，且，根?jù)相關(guān)卷積定理(1.4.15)式, 得到 其中，。對(duì)上式兩邊做Z變換，得到因此 將上式代入(2.3.13)式，并根據(jù)的信號(hào)模型，得到非因果的維納濾波器的復(fù)頻域最佳解的一般表達(dá)式 假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即當(dāng)Es(n)v(n)=0時(shí)，有 對(duì)上邊兩式做Z變換，得到 把(2.3.17)式代入(2.3.15)式，得到 將（2.3.18）式和（2.3.19）式代入（2.3.16）式，得到信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí)，非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解和頻率響應(yīng)分別為 下面我們推出該濾波器的最小均方誤差的計(jì)算，重新寫(xiě)出(2.3.9)式的最佳解根據(jù)圍線積分法求逆Z變換的公式，用下式表示： 得出

17、 由復(fù)卷積定理 取，有 因此 把(2.3.23)式和(2.3.26)式代入(2.3.9)式，得到 將（2.3.19）式代入上式，得到 因?yàn)閷?shí)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即，因此 假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，則 由上式可以看出，維納濾波器的最小均方誤差不僅與輸入信號(hào)的功率譜有關(guān)，而且與信號(hào)和噪聲的功率譜的乘積有關(guān)，也就是說(shuō)，最小均方誤差與信號(hào)和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關(guān)。2.3.2 因果維納濾波器的求解若維納濾波器是一個(gè)因果濾波器，要求 則濾波器的輸出信號(hào) 估計(jì)誤差的均方值類似于（2.3.9）式的推導(dǎo)，得到 要使均方誤差取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng) 令 又由（2.3.15）式得到 所以因果維納濾波器的復(fù)頻域

18、最佳解為 維納濾波的最小均方誤差為 比較（2.3.28）式和（2.3.39）式，可以看出因果維納濾波器的最小均方誤差與非因果維納濾波器的最小均方誤差的形式相同，但公式中的的表達(dá)式不同，分別參見(jiàn)(2.3.16)式和(2.3.38)式。前面已經(jīng)導(dǎo)出，對(duì)于非因果情況，對(duì)于因果情況，比較兩式，它們的第二項(xiàng)求和域不同，因?yàn)橐蚬闆r下，因此可以說(shuō)明非因果情況的一定小于等于因果情況。在具體計(jì)算時(shí)，可以選擇單位圓作為積分曲線，應(yīng)用留數(shù)定理，計(jì)算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)得到。通過(guò)前面的分析，因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般方法可以按下面的步驟進(jìn)行： (1) 根據(jù)觀測(cè)信號(hào)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，

19、即采用譜分解的方法得到。具體方法為，把單位圓內(nèi)的零極點(diǎn)分配給，單位圓外的零極點(diǎn)分配給，系數(shù)分配給。 (2)求的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得。 (3) 積分曲線取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計(jì)算，。例 2.3.1 已知信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即，噪聲是零均值、單位功率的白噪聲()，求和。 解 根據(jù)白噪聲的特點(diǎn)得出，由噪聲和信號(hào)不相關(guān)，得到。對(duì)上式兩邊做Z變換，并代入已知條件，對(duì)進(jìn)行功率譜分解：考慮到必須是因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到(1) 首先分析物理可實(shí)現(xiàn)情況，應(yīng)用公式（2.3.38）：令，的極點(diǎn)為0.8和2，考慮到因果性、穩(wěn)定性，僅取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，為

20、的Z反變換。用Res表示留數(shù)，應(yīng)用留數(shù)定理，有取因果部分，其中，。令 單位圓內(nèi)只有極點(diǎn)，未經(jīng)濾波器的均方誤差(2) 對(duì)于非物理可實(shí)現(xiàn)情況，應(yīng)用公式(2.3.20)和(2.3.28)，有令單位圓內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)0.8和0.5，應(yīng)用留數(shù)定理，有 比較兩種情況下的最小均方誤差,可以看出非物理可實(shí)現(xiàn)情況的最小均方誤差小于物理可實(shí)現(xiàn)情況的均方誤差。2.4 維納預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)是根據(jù)觀測(cè)到的過(guò)去數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)當(dāng)前或?qū)?lái)的信號(hào)值。維納預(yù)測(cè)是已知以前時(shí)刻的個(gè)數(shù)據(jù)，估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻，或者未來(lái)時(shí)刻的信號(hào)值，即估計(jì)，估計(jì)得到的結(jié)果仍然要求滿足均方誤差最小的準(zhǔn)則。下面我們首先說(shuō)明信號(hào)是可以預(yù)測(cè)的，并介紹預(yù)測(cè)的特點(diǎn)，然后討論維納預(yù)測(cè)的計(jì)算

21、方法，重點(diǎn)是純預(yù)測(cè)及一步線性預(yù)測(cè)問(wèn)題的分析。首先，信號(hào)可以預(yù)測(cè)是由于信號(hào)內(nèi)部存在著關(guān)聯(lián)性。預(yù)測(cè)是利用數(shù)據(jù)前后的關(guān)聯(lián)性，根據(jù)其中一部分推知其余部分。顯然，數(shù)據(jù)間關(guān)聯(lián)越密切，預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確；完全不關(guān)聯(lián)，則無(wú)法預(yù)測(cè)。以周期信號(hào)為例，只要知道一個(gè)周期，那么以后的信號(hào)就可以按照第一個(gè)周期完全無(wú)誤地預(yù)測(cè)出來(lái)。這表明周期信號(hào)是強(qiáng)關(guān)聯(lián)的。而白噪聲信號(hào)，其前后數(shù)據(jù)毫無(wú)關(guān)聯(lián)，使預(yù)測(cè)無(wú)所依據(jù)，因而無(wú)法預(yù)測(cè)。我們所研究的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，說(shuō)明信號(hào)內(nèi)部是關(guān)聯(lián)的，因此可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。其次，系統(tǒng)是有慣性的。一個(gè)具有有理譜密度函數(shù)的信號(hào)，可以看作是白噪聲激勵(lì)一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出。由此可以看到，輸入

22、是一個(gè)無(wú)關(guān)聯(lián)的信號(hào)，而輸出卻是一個(gè)關(guān)聯(lián)信號(hào)，或者說(shuō)是非白色的信號(hào)，表明系統(tǒng)是有慣性的。因此，隨機(jī)信號(hào)之所以能夠預(yù)測(cè)，在于信號(hào)存在某些統(tǒng)計(jì)上的規(guī)律，對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)，也只能利用隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律作為預(yù)測(cè)的依據(jù)，因而不能做到精確預(yù)測(cè)，使預(yù)測(cè)誤差等于0，但可以從統(tǒng)計(jì)意義上做到最優(yōu)預(yù)測(cè)。這里我們選擇使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小作為最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)?？紤]到實(shí)際獲得的信號(hào)是帶噪聲干擾的，這使得預(yù)測(cè)和濾波緊密相連，成為帶濾波的預(yù)測(cè)，或簡(jiǎn)單地說(shuō)，是預(yù)測(cè)濾波，而把不考慮噪聲干擾時(shí)的預(yù)測(cè)或不帶濾波的預(yù)測(cè)稱為純預(yù)測(cè)。下面首先來(lái)看維納預(yù)測(cè)的計(jì)算。2.4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算在維納濾波中，期望的輸出信號(hào)，實(shí)際的輸出為。在維納預(yù)測(cè)

23、中，期望的輸出信號(hào)，實(shí)際的輸出。前面已經(jīng)推導(dǎo)得到維納濾波的最佳解為 其中，是觀測(cè)數(shù)據(jù)的功率譜；是觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互功率譜，即互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換 對(duì)應(yīng)于維納預(yù)測(cè)器， 其輸出信號(hào)和預(yù)測(cè)誤差信號(hào)分別為 同理，要使預(yù)測(cè)誤差的均方值為最小，須滿足 其中，表示。觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望的輸出的互相關(guān)函數(shù)和互譜密度分別為 這樣，非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為 因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為 維納預(yù)測(cè)的最小均方誤差為 從上面分析可以看出，維納預(yù)測(cè)的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。下面我們著重討論無(wú)噪聲的純預(yù)測(cè)問(wèn)題2.4.2 純預(yù)測(cè)假設(shè)，式中是噪聲，且，期望信號(hào)為，此種情況稱為純預(yù)測(cè)。假定維納預(yù)測(cè)器是因果的，仍設(shè)與不相

24、關(guān)，純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)的功率譜及維納預(yù)測(cè)器的最佳解分別為 純預(yù)測(cè)器的最小均方誤差為 應(yīng)用復(fù)卷積定理 取，可得 將上式代入(2.4.13)式，并考慮到是因果系統(tǒng)，得到 可以看到，隨著增加，也增加。這一點(diǎn)也容易理解，當(dāng)預(yù)測(cè)的距離越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)的效果越差，偏差越大，因而越大。例2.4.1 已知其中， 求：(1) 最小均方誤差下的；(2) 。解 首先對(duì)進(jìn)行功率譜分解。因?yàn)樗?其次，求出的Z反變換然后，應(yīng)用Z變換的性質(zhì)，得到 由，此時(shí)可以把純預(yù)測(cè)的維納濾波器看作是一個(gè)線性比例放大器（如圖2.4.1所示）。那么信號(hào)通過(guò)純預(yù)測(cè)維納濾波器，可以得到根據(jù)的信號(hào)模型可以寫(xiě)出的時(shí)間序列模型所對(duì)應(yīng)的輸入輸出方程 即

25、那么可得可以看出上式與（2.4.16）式相同。將信號(hào)通過(guò)純預(yù)測(cè)維納濾波器，隨著時(shí)間的遞增，可以得到 以上推導(dǎo)結(jié)果相當(dāng)于在時(shí)刻，即去掉噪聲時(shí)的結(jié)果。設(shè)時(shí)，則 此時(shí)，從統(tǒng)計(jì)意義上講，當(dāng)時(shí)，白噪聲信號(hào)對(duì)無(wú)影響。這一結(jié)論還可以推廣，對(duì)于任何均值為零的，要估計(jì)時(shí)，只需要考慮的慣性，即可認(rèn)為，這樣估計(jì)出來(lái)的結(jié)果將有最小均方誤差。終值定理表明一個(gè)信號(hào)的功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)與信號(hào)均值等于0等價(jià)，因此對(duì)于功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)的信號(hào)，要估計(jì)時(shí)，可認(rèn)為，即僅需要考慮的慣性，這樣估計(jì)出來(lái)的結(jié)果將有最小均方誤差。2.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解已知，預(yù)測(cè)，假設(shè)噪聲，這樣的預(yù)測(cè)稱為一步線性預(yù)測(cè)。設(shè)定系統(tǒng)的單位脈沖

26、響應(yīng)為，根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，輸出信號(hào)令，則 預(yù)測(cè)誤差 其中， 要使均方誤差為最小值，要求同維納濾波的推導(dǎo)過(guò)程一樣，可以得到 把(2.4.22)式代入(2.4.24)式，得到 由于預(yù)測(cè)器的輸出是輸入信號(hào)的線性組合，參見(jiàn)（2.4.21)式, 得到 (2.4.24)式說(shuō)明誤差信號(hào)與輸入信號(hào)滿足正交性原理，(2.4.26)式說(shuō)明預(yù)測(cè)誤差與預(yù)測(cè)的信號(hào)值同樣滿足正交性原理。預(yù)測(cè)誤差的最小均方值 將(2.4.25)式和(2.4.27)式聯(lián)立，得到下面的方程組： 將方程組寫(xiě)成矩陣形式 這就是有名的Yule-Walker方程，可以看出Yule-Walker方程具有以下特點(diǎn)：(1) 除了第一個(gè)方程外，其余都是

27、齊次方程；(2) 與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)。該方程組有個(gè)方程，對(duì)應(yīng)地，可以確定和，共計(jì)個(gè)未知數(shù)，因此可用來(lái)求解AR模型參數(shù)。這就是后面要介紹的AR模型法進(jìn)行功率譜估計(jì)的原理，它再一次揭示了時(shí)間序列信號(hào)模型、功率譜和自相關(guān)函數(shù)描述一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的等價(jià)性。下面舉例說(shuō)明，應(yīng)用Yule-Walker方程，求解模型參數(shù)的問(wèn)題。例2.4.2 已知為AR模型，求AR模型參數(shù)。解 求解AR模型參數(shù)包括確定AR模型的階數(shù)及系數(shù)。首先對(duì)做傅里葉反變換，得到的自相關(guān)函數(shù)，采用試驗(yàn)的方法確定模型階數(shù)。首先取，各相關(guān)函數(shù)值由上式計(jì)算，并代入(2.4.29)式計(jì)算上式得到如果取，可計(jì)算

28、出，說(shuō)明AR模型的階數(shù)只能是一階的。采用譜分解的方法，即對(duì)進(jìn)行譜分解，得到的模型也是一階的，其時(shí)間序列模型和差分方程為2.5 卡爾曼(Kalman)濾波卡爾曼濾波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程所組成。卡爾曼濾波用前一個(gè)狀態(tài)的估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)狀態(tài)變量的當(dāng)前值，并以狀態(tài)變量的估計(jì)值的形式給出?？柭鼮V波具有以下的特點(diǎn)：(1) 算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器的方法，因而適用于多維隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)；離散型卡爾曼算法適用于計(jì)算機(jī)處理。(2) 用遞推法計(jì)算，不需要知道全部過(guò)去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，因此信號(hào)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，即

29、卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過(guò)程。(3) 卡爾曼濾波采取的誤差準(zhǔn)則仍為估計(jì)誤差的均方值最小?？柭鼮V波是在克服以往濾波方法的局限性的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，是濾波方法的重大演進(jìn)。卡爾曼濾波比維納濾波有以下優(yōu)點(diǎn)：在卡爾曼濾波中采用物理意義較為直觀的時(shí)間域語(yǔ)言，而在維納濾波中則采用物理意義較為間接的頻率域語(yǔ)言?？柭鼮V波僅需要有限時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，而維納濾波則需要用過(guò)去的半無(wú)限時(shí)間內(nèi)的全部觀測(cè)數(shù)據(jù)?？柭鼮V波可使用比較簡(jiǎn)單的遞推算法，而維納濾波則需要求解一個(gè)積分方程?？柭鼮V波可以推廣到非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的情況，而維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程?？柭鼮V波所需數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量較小，便于用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，而維納濾波的計(jì)算

30、復(fù)雜，步驟冗長(zhǎng)，不便于實(shí)時(shí)處理。2.5.1 卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測(cè)方程假設(shè)某系統(tǒng)時(shí)刻的狀態(tài)變量為，狀態(tài)方程和量測(cè)方程（也稱為輸出方程）表示為 其中，表示時(shí)間，這里指第步迭代時(shí)，相應(yīng)信號(hào)的取值；輸入信號(hào)是一白噪聲，輸出信號(hào)的觀測(cè)噪聲也是一個(gè)白噪聲，輸入信號(hào)到狀態(tài)變量的支路增益等于1，即；表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間發(fā)生變化，用表示第步迭代時(shí)，增益矩陣的取值；表示狀態(tài)變量與輸出信號(hào)之間的增益矩陣，可以隨時(shí)間變化， 第步迭代時(shí)，取值用表示，其信號(hào)模型如圖2.5.1所示。將狀態(tài)方程中時(shí)間變量用代替，得到的狀態(tài)方程和量測(cè)方程如下所示： 其中，是狀態(tài)變量；表示輸入信號(hào)是白噪聲；是觀測(cè)噪聲；是

31、觀測(cè)數(shù)據(jù)。為了后面的推導(dǎo)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)狀態(tài)變量的增益矩陣不隨時(shí)間發(fā)生變化，都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是和，并且初始狀態(tài)與都不相關(guān)，表示相關(guān)系數(shù)。即其中2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波是采用遞推的算法實(shí)現(xiàn)的，其基本思想是先不考慮輸入信號(hào)和觀測(cè)噪聲的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號(hào)（即觀測(cè)數(shù)據(jù)）的估計(jì)值，再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計(jì)值，使?fàn)顟B(tài)變量估計(jì)誤差的均方值最小。 因此, 卡爾曼濾波的關(guān)鍵是計(jì)算出加權(quán)矩陣的最佳值。當(dāng)不考慮觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)，狀態(tài)方程和量測(cè)方程為 顯然，由于不考慮觀測(cè)噪聲的影響，輸出信號(hào)的估計(jì)值與實(shí)際值是有誤差的，用 表示 為了提高狀態(tài)估計(jì)的質(zhì)

32、量，用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差來(lái)校正狀態(tài)變量 其中，為增益矩陣，實(shí)質(zhì)是一加權(quán)矩陣。經(jīng)過(guò)校正后的狀態(tài)變量的估計(jì)誤差及其均方值分別用和表示，把未經(jīng)校正的狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值用表示 卡爾曼濾波要求狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值為最小，因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵就是要得到與的關(guān)系式，即通過(guò)選擇合適的，使取得最小值。首先推導(dǎo)狀態(tài)變量的估計(jì)值和狀態(tài)變量的估計(jì)誤差，然后計(jì)算的均方值，并通過(guò)化簡(jiǎn)，得到一組卡爾曼濾波的遞推公式。將（2.5.4）、(2.5.6)式代入（2.5.8）式 同理，狀態(tài)變量的估計(jì)誤差為 由上式可以看出，狀態(tài)變量的估計(jì)誤差由三部分組成，可記為 其中 那么，狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值就由9項(xiàng)組成： 其

33、中， 下面化簡(jiǎn)的表達(dá)式，根據(jù)假設(shè)的條件，狀態(tài)變量的增益矩陣不隨時(shí)間發(fā)生變化，起始時(shí)刻為，則（2.5.3）式經(jīng)過(guò)迭代，得到令，得到取，得到所以僅依賴于，與不相關(guān)，即又據(jù)(2.5.8)式和(2.5.4)式，得所以僅依賴于，而與不相關(guān)，即把（2.5.15）（2.5.19）式代入(2.5.14)式，中的9項(xiàng)可以分別化簡(jiǎn)為 書(shū)上有誤也就是說(shuō)，僅有其中的三項(xiàng)不為零，化簡(jiǎn)成 為了進(jìn)一步化簡(jiǎn)，推導(dǎo)未經(jīng)誤差校正的狀態(tài)估計(jì)誤差的均方值，由下面推導(dǎo)結(jié)果可以看出，是一對(duì)稱矩陣，滿足。 將(2.5.32)式代入(2.5.31)式，即把代入， 其中，是正定陣，記 令 將上式代入（2.5.33）式，得 將(2.5.26)式

34、后三項(xiàng)配對(duì) 第二項(xiàng)和第三項(xiàng)均與無(wú)關(guān)，第一項(xiàng)為一半正定陣，因此使最小的應(yīng)滿足 將代入，得到最小均方誤差陣 將(2.5.7)、(2.5.22)、(2.5.29)式和(2.5.30)式聯(lián)立，得到一組卡爾曼遞推公式 假設(shè)初始條件已知，其中，那么，遞推流程見(jiàn)圖2.5.2。圖2.5.2 卡爾曼濾波遞推流程例2.5.1 已知信號(hào)與噪聲不相關(guān)，,求卡爾曼信號(hào)模型中的和。 解 由知道，。對(duì)進(jìn)行譜分解，確定的信號(hào)模型，從而確定。根據(jù)，得出上式與卡爾曼狀態(tài)方程相比，不同之處在于輸入信號(hào)的時(shí)間不同，因此將改寫(xiě)為再對(duì)進(jìn)行譜分解，得到卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)濾波的，但維納濾波是在信號(hào)進(jìn)入了

35、穩(wěn)態(tài)后的分析，卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進(jìn)行濾波。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束以后，卡爾曼濾波與維納濾波的結(jié)果間存在什么關(guān)系呢？下面舉一例說(shuō)明。例2.5.2 已知在時(shí)開(kāi)始觀察，用卡爾曼過(guò)濾的計(jì)算公式求，并與維納過(guò)濾的方法進(jìn)行比較。解 (1) 由功率譜及量測(cè)方程，確定卡爾曼遞推算法。首先對(duì)進(jìn)行功率譜分解，由例2.5.1的結(jié)果，得到卡爾曼濾波的狀態(tài)方程為,確定由量測(cè)方程,確定，將參數(shù)矩陣代入卡爾曼遞推公式（2.5.30），得到 (2) 求出卡爾曼濾波的輸出。由卡爾曼遞推公式，以及，可得到（表示迭代次數(shù)），迭代流程為：。由具體迭代結(jié)果可以看出，原先的增益矩陣，由于只選擇了一個(gè)狀態(tài)變量，

36、變成了加權(quán)系數(shù)。見(jiàn)表2.5.1。表2.5.1 Kalman濾波迭代結(jié)果(3) 求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解。將(2.5.46)式代入方程(2.5.48)，得到第5個(gè)方程 將方程(2.5.47)、(2.5.49)代入方程(2.5.48)，消去，可以得到的遞推關(guān)系：化簡(jiǎn)上式，得到要求的是穩(wěn)態(tài)解，因此將都用代替，得到根據(jù)，可以確定達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的卡爾曼濾波的狀態(tài)方程： (4) 用維納濾波的方法分析。采用功率譜分解的方法，得到的時(shí)間序列信號(hào)模型的傳輸函數(shù)：上式說(shuō)明是一階AR模型，對(duì)做反變換得到 比較（2.5.33）式和（2.5.50）式，可以看出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解與維納解是相等的。(解畢) 通過(guò)上面的例題，可以

37、看出維納濾波是已知前個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)及信號(hào)與噪聲的相關(guān)函數(shù)，通過(guò)建立模型的方法分析的?？柭鼮V波要求已知前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值和當(dāng)前的觀測(cè)值，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程遞推得到結(jié)果。維納濾波的解以的形式給出，卡爾曼濾波是以狀態(tài)變量的估計(jì)值給出解的形式。它們都采用均方誤差最小的準(zhǔn)則, 但卡爾曼濾波有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程，其結(jié)果與維納濾波不完全相同，但到達(dá)穩(wěn)態(tài)后， 結(jié)果相同。2.5.3 應(yīng)用舉例 下面舉一個(gè)雷達(dá)跟蹤目標(biāo)物的例子說(shuō)明卡爾曼濾波的應(yīng)用。 雷達(dá)跟蹤目標(biāo)的基本原理是通過(guò)發(fā)射脈沖，根據(jù)接收到的脈沖與發(fā)射脈沖的時(shí)間間隔，來(lái)確定目標(biāo)物的距離和速度。 由于干擾的影響，接收到的脈沖波形變化很大，那么一次的測(cè)量結(jié)果可能存

38、在很大的誤差。為了減小誤差，往往采取發(fā)射一串脈沖的方法進(jìn)行測(cè)量。 我們知道，空間中的一點(diǎn)需要由徑向距離和方位角來(lái)確定。 假設(shè)雷達(dá)跟蹤的目標(biāo)為飛行器，發(fā)射的脈沖時(shí)間間隔為T，在時(shí)間k，徑向距離為R+(k)，在時(shí)間k+1，距離為R+(k+1)， 兩者之間有秒的延時(shí)，因此T表示空間一次掃描的時(shí)間間隔。 平均距離用R表示，(k)和(k+1)表示對(duì)平均值的偏差。 假定偏差是統(tǒng)計(jì)隨機(jī)的，均值為零, 那么可以寫(xiě)出距離方程 式中，表示速度。用u表示加速度，則可以得到加速度方程 假定加速度u(k)是零均值的平穩(wěn)白噪聲，即滿足 為了后面敘述方便，定義x(k)表示第k個(gè)雷達(dá)回波脈沖獲得的目標(biāo)距離，z(k)表示在第k

39、個(gè)雷達(dá)脈沖進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之后的目標(biāo)距離估計(jì)，z(k)表示在第k個(gè)雷達(dá)脈沖進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之后的目標(biāo)速度估計(jì)。設(shè)定狀態(tài)變量為x(k)，選擇的狀態(tài)變量有4個(gè)， 分別表示徑向距離、徑向速度、方位角和方位角速度，即  根據(jù)狀態(tài)變量的物理含義，得到以下方程： 式中，u1(k)和u2(k)表示在區(qū)間T徑向速度和方向的變化。 將上式寫(xiě)成矩陣形式 由此得到卡爾曼濾波信號(hào)模型的狀態(tài)方程 再來(lái)看量測(cè)方程， 距離和方向的估計(jì)值為 這里v1(k), v2(k)為觀測(cè)偏差，將上兩式分別寫(xiě)成向量形式和矩陣形式: Z(k)=CX(k)+V(k) 觀測(cè)噪聲V(k)假定為高斯噪聲，均值為0，方差為2和2 。 狀態(tài)方程激勵(lì)信

40、號(hào)的協(xié)方差陣為 其中， ,為徑向加速度在T時(shí)刻的方差； , 為角加速度在T時(shí)刻的方差。 量測(cè)方程的噪聲協(xié)方差陣 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定在各個(gè)方向，加速度服從均勻分布， 其概率密度函數(shù) ，并將u的值限制在±M之間， 那么， 加速度的方差 根據(jù)誤差信號(hào)協(xié)方差陣P(k)的定義 P(k)=Ee(k)eT(k) 可以計(jì)算出，單個(gè)信號(hào)的均方誤差和兩個(gè)信號(hào)的協(xié)方差矩陣分別為 根據(jù)接收到的相鄰兩個(gè)回波脈沖，可以測(cè)量出飛行器的距離z1(1)和z2(2)，方位角z2(1)和z2(2)。根據(jù)這四個(gè)數(shù)據(jù)，用(2.5.35)式計(jì)算狀態(tài)變量 因此，k時(shí)刻的狀態(tài)向量 可以寫(xiě)為 取k=2,將上式中的觀測(cè)信號(hào)z1(1),

41、z1(2),z2(1),z2(2)用(2.5.37)式代入，得到狀態(tài)變量 根據(jù)(2.5.35)式, k=2時(shí)的狀態(tài)向量為 計(jì)算k=2時(shí)刻的協(xié)方差陣 式中，因此，誤差協(xié)方差陣是4×4階矩陣，假設(shè)噪聲源u和v是獨(dú)立的， 則協(xié)方差陣為 其中，2.5.4 發(fā)散問(wèn)題及其抑制 從理論上講，卡爾曼濾波的遞推算法可以無(wú)限地繼續(xù)下去。 然而在實(shí)際問(wèn)題中的某些條件下，可能產(chǎn)生發(fā)散問(wèn)題。也就是說(shuō)， 實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)估計(jì)誤差大大地超過(guò)了理論誤差的預(yù)測(cè)值， 而且誤差不但不減小，反而越來(lái)越大，即不收斂。 導(dǎo)致發(fā)散的一個(gè)原因是舍入誤差的影響以及遞推算法使得舍入誤差積累的影響。計(jì)算機(jī)存貯單元的長(zhǎng)度有限， 使得舍入誤差

42、不可避免地存在，它相當(dāng)于在狀態(tài)方程和量測(cè)方程中又加入了噪聲，帶來(lái)的后果是有可能改變某些矩陣的性質(zhì)， 引起誤差矩陣失去正定性和對(duì)稱性。如果均方誤差陣受到擾動(dòng)而離開(kāi)穩(wěn)定解，只要它沒(méi)有失去正定性，那么仍可能返回穩(wěn)定解。 舍入誤差引起的發(fā)散現(xiàn)象可以采用雙精度運(yùn)算得以改善， 但運(yùn)算量要增加許多。目前多采用平方根法， 即把遞推公式中的均方誤差陣P改用其平方根P1/2實(shí)現(xiàn)。具體的分析參見(jiàn)文獻(xiàn)16。 另一種類型的發(fā)散問(wèn)題是由于待估計(jì)過(guò)程模型的不精確引起的。人們?cè)谠O(shè)計(jì)卡爾曼濾波時(shí)，認(rèn)為分析過(guò)程是按某一規(guī)律發(fā)展的，但實(shí)際上是按另一規(guī)律演變的。如假定待分析過(guò)程的模型是一隨機(jī)數(shù)，而實(shí)際過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)斜面，這樣濾波器將連續(xù)地試著用錯(cuò)誤曲線去擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果導(dǎo)致發(fā)散。 當(dāng)選擇系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確時(shí)，由于新觀測(cè)值對(duì)估計(jì)值的修正作用下降，陳舊觀測(cè)值的修正作用相對(duì)上升，是引發(fā)濾波發(fā)散的一個(gè)重要因素。 因此逐漸減小陳舊觀測(cè)值的權(quán)重，相應(yīng)地增大新觀測(cè)值的權(quán)重，是抑制這類發(fā)散的一個(gè)可行途徑。常用的方法有衰減記憶法、限定記憶法、限定下界法