知識講解萬有引力理論的成就提高

1、.萬有引力理論的成就【學(xué)習(xí)目的】1理解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用2會用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量3理解并運(yùn)用萬有引力定律處理天體問題的思路、方法【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、萬有引力與重力要點(diǎn)詮釋：地球?qū)ξ矬w的引力是物體受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力這是因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨著地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動，這就需要向心力這個(gè)向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的間隔 ，是地球自轉(zhuǎn)的角速度這個(gè)向心力來自哪里?只能來自地球?qū)ξ矬w的引力F，它是引力F的一個(gè)分力，如下圖，引力F的另一個(gè)分力才是物體的重力mg 在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運(yùn)動

2、的角速度一樣，而圓周的半徑r不同，這個(gè)半徑在赤道處最大，在兩極最小等于零緯度為處的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力R為地球半徑由公式可見，隨著緯度的升高，向心力將減小，作為引力的另一個(gè)分量，重力那么隨緯度的升高而增大，在兩極處rRcos90°0，所以在兩極，引力等于重力在赤道上，物體的重力、引力和向心力在一條直線上，方向一樣，此時(shí)重力等于引力與向心力之差，即此時(shí)重力最小從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才指向地心 1重力是由萬有引力產(chǎn)生的，重力實(shí)際上是萬有引力的一個(gè)分力，物體的重力隨其緯度的增大而增大，并且除兩極和赤道上外，重力并不指向地心 2物體隨地

3、球自轉(zhuǎn)所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略計(jì)算中，可以認(rèn)為物體所受的重力等于物體所受地球的萬有引力，即要點(diǎn)二、天體質(zhì)量計(jì)算的幾種方法要點(diǎn)詮釋： 萬有引力定律從動力學(xué)角度解決了天體運(yùn)動問題天體運(yùn)動遵循與地面上物體一樣的動力學(xué)規(guī)律行星或衛(wèi)星的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，由恒星對其行星或行星對其衛(wèi)星的萬有引力提供向心力 運(yùn)用萬有引力定律，不僅可以計(jì)算太陽的質(zhì)量，還可以計(jì)算其他天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法 1假設(shè)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，半徑為r，根據(jù)萬有引力等于向心力，即，可求得地球的質(zhì)量 2假設(shè)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和月

4、球運(yùn)行的線速度v，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動的向心力，得 可得地球的質(zhì)量為 3假設(shè)月球運(yùn)行的線速度v和運(yùn)行周期T，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動的向心力，得 以上兩式消去r，解得 4假設(shè)地球的半徑R和地球外表的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得 ，解得地球的質(zhì)量為要點(diǎn)三、天體密度的計(jì)算要點(diǎn)詮釋： 1利用天體外表的重力加速度來求天體的自身密度 由和， 得 其中g(shù)為天體外表的重力加速度，R為天體半徑 2利用天體的衛(wèi)星來求天體的密度 設(shè)衛(wèi)星繞天體運(yùn)動的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑為R，那么可列出方程： 得 當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體外表運(yùn)動時(shí)，其軌道半

5、徑r等于天體半徑R，那么天體密度為要點(diǎn)四、發(fā)現(xiàn)未知天體要點(diǎn)詮釋： 發(fā)現(xiàn)海王星 天王星的“出軌現(xiàn)象，激發(fā)了法國青年天文學(xué)家勒維耶和英國劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯的濃重興趣勒維耶經(jīng)常到巴黎天文臺去查閱天王星觀察資料，并把這些資料跟自己理論計(jì)算的結(jié)果比照亞當(dāng)斯也不斷到劍橋大學(xué)天文臺去，他還得到一份英國皇家格林尼治天文臺的資料，這使他的理論計(jì)算能及時(shí)跟觀察資料比較他們兩人根據(jù)自己的計(jì)算結(jié)果，各自獨(dú)立地得出結(jié)論：在天王星的附近，還有一顆新的行星！ 1846年9月23日晚，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星這就是海王星 憑借著萬有引力定律，通過計(jì)算，在筆尖下發(fā)現(xiàn)了新的天體

6、，這充分地顯示了科學(xué)理論的威力要點(diǎn)五、解決天體運(yùn)動問題的根本思路要點(diǎn)詮釋： 1將行星繞恒星的運(yùn)動、衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動均視為勻速圓周運(yùn)動，所需向心力是由萬有引力提供的根據(jù)圓周運(yùn)動的知識和牛頓第二定律列式求解有關(guān)天體運(yùn)動的一些物理量，有如下關(guān)系： 假設(shè)環(huán)繞中心天體運(yùn)動的行星或衛(wèi)星繞恒星或行星做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的質(zhì)量 此種方法只能求解中心天體的質(zhì)量，而不能求出做圓周運(yùn)動的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量 2假設(shè)星球外表的重力加速度g和星球的半徑，忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，那么星球?qū)ξ矬w的萬有引力等于物體的重力，有，所以 其中是在有關(guān)計(jì)算中常用到的一個(gè)交換關(guān)系，被稱

7、為“黃金代換【典型例題】類型一、萬有引力的計(jì)算例1、地球的質(zhì)量大約是M6.0×1024kg，地球的平均半徑為R6370 km，地球外表的重力加速度g取9.8 m/s2求： 1地球外表一質(zhì)量為10 kg的物體受到的萬有引力； 2該物體受到的重力； 3比較說明為什么通常情況下重力可以認(rèn)為等于萬有引力【思路點(diǎn)撥】明白重力與萬有引力的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵?！窘馕觥?由萬有引力定律得：，代入數(shù)據(jù)得：F98.6 N 2該物體受到的重力為mg98N 3比較結(jié)果萬有引力比重力大原因是在地球外表上的物體所受萬有引力可分解為重力和隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力但計(jì)算結(jié)果說明物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力遠(yuǎn)小于它受到的

8、萬有引力，所以通常情況下可認(rèn)為重力等于萬有引力 【點(diǎn)評】重力是由萬有引力產(chǎn)生的，它與萬有引力能不能視為相等，關(guān)鍵要看題目的條件舉一反三【變式】兩艘輪船，質(zhì)量都是1.0×104 t，相距10 km，它們之間的引力是多大?這個(gè)力與輪船所受重力的比值是多少? 【解析】輪船之間的引力 輪船的重力Gmg1.0×107×10 N1.0×108 N 兩輪船間的引力與輪船重力的比值為 【點(diǎn)評】從計(jì)算結(jié)果看，平常分析輪船的受力根本不用考慮船與船間的萬有引力，因其遠(yuǎn)小于重力類型二、補(bǔ)償法計(jì)算萬有引力例2、如下圖，一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為R假如從球上挖去一個(gè)直徑為R的

9、球，放在相距為d的地方求以下兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大? 1從球的正中心挖去； 2從與球面相切處挖去； 并指出在什么條件下，兩種計(jì)算結(jié)果一樣?【思路點(diǎn)撥】所求萬有引力可由均質(zhì)實(shí)心球與m間的萬有引力減去所挖去的小球與m間萬有引力求得?！窘馕觥扛鶕?jù)勻質(zhì)球的質(zhì)量與其半徑的關(guān)系，兩部分的質(zhì)量分別為 1如圖甲所示，根據(jù)萬有引力定律，這時(shí)兩球之間的引力為 2如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬有引力公式計(jì)算為此，可利用等效割補(bǔ)法，先將M轉(zhuǎn)化為理想模型，即用同樣的材料將其填補(bǔ)為實(shí)心球M，這時(shí)，兩者之間的引力為 由于填補(bǔ)空心球而增加的引力為 所以，這時(shí)M與m之間的引力為 當(dāng)時(shí)，M可以視為質(zhì)點(diǎn)這時(shí)，

10、引力變?yōu)榧催@時(shí)兩種計(jì)算結(jié)果一樣 【點(diǎn)評】萬有引力定律表達(dá)式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間變力，在高中階段常見的質(zhì)點(diǎn)模型是質(zhì)量分布均勻的球體，因此利用“割補(bǔ)法構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)模型，再利用萬有引力定律與力的合成知識可求“缺失球間的引力類型三、天體外表重力加速度問題例3、宇航員在地球外表以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處；假設(shè)他在某星球外表以一樣的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處取地球外表重力加速度g10m/s2，空氣阻力不計(jì) 1求該星球外表附近的重力加速度g； 2該星球的半徑與地球半徑之比:1:4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比:【思路點(diǎn)撥】此題是平拋運(yùn)動與萬有引力知識的綜合題目?！窘?/p>

11、析】1根據(jù)豎直上拋運(yùn)動規(guī)律可知，地面上豎直上拋物體落回原地經(jīng)歷的時(shí)間為：， 在該星球外表上豎直上拋的物體落回原地所用時(shí)間為： ，所以 2星球外表物體所受的重力等于其所受星球的萬有引力，那么有， 所以，可解得:1:80 【點(diǎn)評】此題主要考察學(xué)生的類比遷移才能、對物理過程的分析才能以及運(yùn)用所學(xué)知識處理問題的理論應(yīng)用才能把豎直上拋運(yùn)動的規(guī)律遷移到星球上運(yùn)用舉一反三【變式1】假如地球外表的重力加速度為g，物體在距地面3倍的地球半徑時(shí)的重力加速度為g'。那么二者加速度之比是 。A、1：91 B、9：1 C、1：16 D、16：1【答案】D【解析】距地面的高度為3R，那么距地心為4R，根據(jù)萬有引力

12、公式有：解上述方程得類型四、天體質(zhì)量、密度的計(jì)算例5. 1976年10月，劍橋大學(xué)研究生貝爾偶爾發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的放射電源，它每隔1.337s發(fā)出一個(gè)脈沖訊號貝爾和他的導(dǎo)師曾認(rèn)為他們和外星人接上了頭，后來大家認(rèn)識到，事情沒有這么浪漫，這類天體被定名為“脈沖星，“脈沖星的特點(diǎn)是脈沖周期短，且周期高度穩(wěn)定，這意味著脈沖星一定進(jìn)展準(zhǔn)確的周期運(yùn)動，自轉(zhuǎn)就是一種很準(zhǔn)確的周期運(yùn)動 1蟹狀星云的中心星PSO53l是一顆脈沖星，其周期為0.331 s，PSO531的脈沖現(xiàn)象來自自轉(zhuǎn)，設(shè)阻止該星離心瓦解的力是萬有引力，試估算PSO531的最小密度 2假如PSO531的質(zhì)量等于太陽的質(zhì)量，該星的可能半徑最大是多少?太

13、陽的質(zhì)量是M2×1030 kg【思路點(diǎn)撥】此題中，脈沖星脈沖周期即為其自轉(zhuǎn)周期，星體上質(zhì)點(diǎn)隨其高速自轉(zhuǎn)的向心力是萬有引力，星體不離散的條件是萬有引力大于或等于向心力，這是關(guān)鍵信息在此根底上可取星體外表一物體為研究對象，建立勻速圓周運(yùn)動模型，列出方程，再與一些輔助方程聯(lián)立即可求解【解析】脈沖星周期即為自轉(zhuǎn)周期脈沖星高速自轉(zhuǎn)不瓦解的臨界條件為：該星球外表的某物體m所受星體的萬有引力恰等于向心力 1設(shè)PSO531脈沖星的質(zhì)量為M，半徑為R，最小密度為，體積為V， 那么 ， 又 ， 而 ， 解得 1.3×1012 kg/m3 2由 ， 得 7.16×105 m 【點(diǎn)評】對

14、于信息題，不少學(xué)生解題時(shí)往往大致看一下題目后，覺得這種題從沒見過就喪失信心，自動放棄，不愿仔細(xì)閱讀、認(rèn)真分析，或者在沒有明確題意的情況下，草率完成題目其實(shí)這類題完全是“大帽子嚇人帽子底下仍是同學(xué)們熟悉的老面孔解答信息題的正確方法是：仔細(xì)閱讀，明確題意，弄清原理，擅長提取題中的有用信息 舉一反三【高清課程：萬有引力定律的應(yīng)用 例1】【變式1】一宇航員為了估測一星球的質(zhì)量，他在該星球的外表做自由落體實(shí)驗(yàn)：讓小球在離地面h高處自由下落，他測出經(jīng)時(shí)間t小球落地，又該星球的半徑為R，試估算該星球的質(zhì)量?！敬鸢浮俊咀兪?】設(shè)地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，半徑為R，速率為v，那么太陽的質(zhì)量可用v、R和引力常量G

15、表示為_太陽圍繞銀河系中心的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動速率約為地球公轉(zhuǎn)速率的7倍，軌道半徑約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的2×109倍為了粗略估算銀河系中恒星的數(shù)目，可認(rèn)為銀河系中所有恒星的質(zhì)量都集中在銀河系中心，且銀河系中恒星的平均質(zhì)量約等于太陽的質(zhì)量，那么銀河系中恒星的數(shù)目約為_ 【答案】 1011 【解析】地球圍繞太陽運(yùn)動，而兩者間的萬有引力是其做勻速圓廚運(yùn)動的向心力，那么由，可得設(shè)太陽的運(yùn)動速率為v，那么v7v軌道半徑r2×109 R，那么，所以，又因?yàn)?，故個(gè) 類型五、雙星問題 例6、天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍

16、利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動特征可推算出它們的總質(zhì)量某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動，周期均為T，兩顆恒星之間的間隔 為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量引力常量為G【思路點(diǎn)撥】 雙星之間的作用力是兩星之間的萬有引力，要做穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動，只有依靠萬有引力提供向心力，又因以兩者連線上某點(diǎn)為圓心，所以半徑之和不變，故運(yùn)動過程中角速度不變，再由萬有引力定律可以解得?！窘馕觥吭O(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做勻速圓周運(yùn)動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為1、2根據(jù)題意有 12 r1+r2r 根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有 聯(lián)立式解得 根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知 聯(lián)

17、立式解得【點(diǎn)評】由于雙星做勻速圓周運(yùn)動的角速度相等，其軌道半徑和線速度均與雙星的質(zhì)量成反比舉一反三【變式1】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的間隔 保持不變，如下圖。引力常量為G，由觀測可以得到可見星A的速率和運(yùn)行周期T。1可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體視為質(zhì)點(diǎn)對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為，試求用表示2求暗星B的質(zhì)量與可見星A的速率、運(yùn)行周期T、和質(zhì)量之間的關(guān)系式?！窘馕觥?設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速度一樣，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動定律