二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法

1、二階線性常微分方程的幕級數(shù)解法從微分方程學(xué)中知道，在滿足某些條件下，可以用幕級數(shù)來表示 一個函數(shù)。因此，自然想到，能否用幕級數(shù)來表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 y xy 0的通解解：設(shè) y a0 a|X a2x2 anxn 為方程的解，這里ai(i 0,1,2,n，)是待定常系數(shù)，將它對x微分兩次,有y 2 1a232a3X卅 n(n 1)anXn2 (n 1)na.用 1 川將y , y的表達(dá)式代入方程，并比擬的同次幕的系數(shù)，得到x21a2 0, 3 2a3 %0,4 3a4 a 0,5 4a5a20,|或一般的可推得a3ka。2 3 5 6 川(3k 1) 3ka3k 1a3 4 6

2、7 川 3k (3k 1)a3k 20其中q , a2是任意的，因而代入設(shè)的解中可得:玄1III3nx2 3 5 6 |(3n 1) 3n| ax7X3 4 6 7 | 3n (3n 1)這個幕級數(shù)的收斂半徑是無限大的， 因而級數(shù)的和(其中包括兩個任 意常數(shù)a。與aj便是所要求的通解。例6求方程y 2xy 4y 0的滿足初值條件y(0) 0與y(0) 1的解。 解設(shè)級數(shù) y a0 ax a2x2 anxn 為方程的解。首先，利用初值 條件，可以得到a0 0，ai 1，因而y x a?x2 a3X3anXny 1 2a?x 3asX2n anXn 1 卅y 2a2 3 2a3xn(n 1)anX

3、n 2 卅將y , y, y的表達(dá)式帶入原方程，合并x的各同次幕的項，并令各項系數(shù)等于零，得到a20, a-i1,a4 0,|幽爭 2,|因而1a57 , a62!最后得0,a713!,a80, a9a2k 11k (k 1)!丄k!a2k0,對一切正整數(shù)k成立。將 ai (i 0,1,2,)的值代回2ya0 a1x a2xnanX就得到53 X y x x2!2k 1III42 Xx(1 X2!2kHIX；X2 xe這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其幕級數(shù)解？或者說究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用幕級數(shù)來表示呢？級數(shù)的形式怎樣？其收斂區(qū)間又如何？這些

4、問題，在微分方程解析理論中有 完滿的解答，但因討論時需要涉與解析函數(shù)等較專門的知識， 在此我 們僅表達(dá)有關(guān)結(jié)果而不加證明，假設(shè)要了解定理的證明過程，可參考有 關(guān)書籍?？紤]二階齊次線性微分方程dxdyP(x)0時,xs 1exdx ；當(dāng)S0且非整數(shù)時，由遞1 推公式(s) s定義。S具有性質(zhì)s 1 s s ； n 1 n!5n為正整數(shù)Jn是由貝塞爾方程x2d4dxxdy (X2 n2)ydx0定義的特殊函數(shù),稱為n階貝賽爾函數(shù)。因此，對于n階貝塞爾方程，它總有一個特解Jn X為了求得另一個與Jn2 d2y時方程x 2dxX線性無關(guān)的特解，我們自然想到,xdy(x22n )y 0的形如kn1 a0

5、2k n而 y1 a0xk 1 22k k! n 1k1n 2III nk x變?yōu)?k n x21k o k!n kIIIn 1n 1注意到函數(shù)的性質(zhì)，即有k1 k2k nxJn xok!n k12y2akXk 0的解，我們注意到只要 n不為非負(fù)整數(shù)，像以上對于的求解過程一樣，我們總可以求得a2k 1 0 k 1,2,川a2k1.引,2 k! n 1 n 2 川 n kk 1,2,lao 2 n20a(1)2 n20使之滿足 ak(k)2 n2 ak20 中的一系列方程，因k 2,3,|而y2axk1 a。k122k k! n 1 n 2 |2k nxn kd2ydx2dy 22X (x n)

6、y 0的一個特解。此時假設(shè)令aokn1*0 2k n貝y y2 a0x72k二Zilix 變小k 12 k! n 1 n 2 H n k叉為y2k 0 k!2k n稱J n X為階貝賽爾函數(shù)利用達(dá)朗貝爾判別法不難驗證級數(shù)yinaxk1a。i22k k! n 1 n 2 川 n2k nXky2axk1 a。y2axki22k k!2 III2k X kk1a。k 1n2 |2k nXn kx 0都是收斂的，因此，當(dāng)n不為非負(fù)整數(shù)時，Jn X和J n X2都是方程Xd2ydx2xdx(x2n2)y0的解，而且是線性無關(guān)的,因為它們可展為由X的不同幕次開始的級數(shù)，從而它們的比不可能是常數(shù)。2 d2y

7、dy22于是方程X2 X(X n)y 0的通解可寫為dxdxy GJnXC2J n X這里c1，c2是任意常數(shù)。此情形的Jn X和J n X稱為第一類貝塞爾函數(shù)。Q III例8求方程x y xy4x225 y0的通解解引入新變量t 2x，我們有dy dy dt ? dy dx dt dx dtd2ydx2d 2也 dt dtdtdx4d2ydt2將上述關(guān)系代入院方程，得到2t2啤型t2空y 0dt2 dt25，3這是，n 5的貝塞爾方程，由例7可知，方程2t2d ytdyt29t dFtdtt25y 0的通解可表為yC1J3 t5c2J代回原來變量，就得到原方程的通解y c1 J3 2x c2

8、J 3 2x其中c1,c2是任意常數(shù)。第二宇宙速度計算作為這一節(jié)的應(yīng)用，我們計算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，即所謂第二宇宙速度。在這個速度你下，物體將擺脫地球的引力，向地球一樣 繞著太陽運(yùn)行，成為人造衛(wèi)星.讓我們首先建立物體垂直上拋運(yùn)動的微分方程以M和m分別表示地球和物體的質(zhì)量.按牛頓萬有引力定律，作用于物體的引力F 空氣阻力忽略不計為mMF k2_r這里r表示地球的中心和物理體重心之間的距離,k為萬有引力常mM數(shù)。因為，物體運(yùn)動規(guī)律應(yīng)滿足下面的微分方程d2rdt2d2rdt2這里的負(fù)號表示物體的加速度是負(fù)的設(shè)地球半徑為R(R 63 1 05m)，物理發(fā)射速度為Vo，因此，當(dāng)物 體剛剛離開地球外表時，我們有r R, vo，即應(yīng)取初值條件為dtdr當(dāng) t 0時，r R, Vodt方程 生kM2不顯含自變量t,應(yīng)用431 (可降階的一些方程類dt r型)的方法，把方程降階成為一階方程dv v -drkM2r解得2 v.-1kMc2r注意到這時初值條件為v02 kM c2 R因而kMr(Vo2 kM)(T R因為物體運(yùn)動速度必須始終保持是正的，即2V2 0，而隨著r的不斷2 2 2增大，量字變得任意小。因此，由二竽(號罟)看到，條件=0要對所有的r都成立，只有不等式V2 kM2 R成