第一章測(cè)量誤差與實(shí)驗(yàn)不確定度

1、 一、測(cè)量及其分類一、測(cè)量及其分類 1 1 測(cè)量測(cè)量 在一定條件下使用具有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)單位的計(jì)量?jī)x器對(duì)在一定條件下使用具有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)單位的計(jì)量?jī)x器對(duì)被測(cè)物理量進(jìn)行比較，從而確定被測(cè)量的數(shù)值和單位。被測(cè)物理量進(jìn)行比較，從而確定被測(cè)量的數(shù)值和單位。 2 2 測(cè)量分類測(cè)量分類 1)1)直接測(cè)量與間接測(cè)量直接測(cè)量與間接測(cè)量 2) 2)等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量 3) 3)單次測(cè)量與重復(fù)測(cè)量單次測(cè)量與重復(fù)測(cè)量 直接測(cè)量直接測(cè)量直接測(cè)量直接測(cè)量: : 使用儀器或量具，直接使用儀器或量具，直接測(cè)得被測(cè)量的量值的測(cè)測(cè)得被測(cè)量的量值的測(cè)量。由直接測(cè)量所得的量。由直接測(cè)量所得的物理量，稱為直接測(cè)量

2、物理量，稱為直接測(cè)量量量 。 間接測(cè)量間接測(cè)量 間接測(cè)量間接測(cè)量: : 通過(guò)直接測(cè)量量，再根據(jù)某一函數(shù)關(guān)系把通過(guò)直接測(cè)量量，再根據(jù)某一函數(shù)關(guān)系把待測(cè)量計(jì)算出來(lái)的測(cè)量。待測(cè)量計(jì)算出來(lái)的測(cè)量。 間接測(cè)量間接測(cè)量 用單擺測(cè)量某地的重力用單擺測(cè)量某地的重力加速度加速度g g，是根據(jù)用米尺直是根據(jù)用米尺直接測(cè)得單擺的擺長(zhǎng)接測(cè)得單擺的擺長(zhǎng)l和用秒和用秒表直接測(cè)得周期表直接測(cè)得周期T，再通過(guò)再通過(guò)單擺公式：?jiǎn)螖[公式： g=（4 2l）/T2 把重力加速度把重力加速度g g計(jì)算出來(lái)。計(jì)算出來(lái)。 l 和和 T 是直接測(cè)量量，是直接測(cè)量量，g g 稱為間接測(cè)量量。稱為間接測(cè)量量。lT 等精度、不等精度測(cè)量等精度、

3、不等精度測(cè)量 等精度測(cè)量等精度測(cè)量: : 對(duì)同一類物理量的測(cè)量都是在相同條件（包括測(cè)量對(duì)同一類物理量的測(cè)量都是在相同條件（包括測(cè)量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下進(jìn)行的測(cè)量。進(jìn)行的測(cè)量。 不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量: : 不滿足上述條件的測(cè)量。不滿足上述條件的測(cè)量。 重復(fù)測(cè)量與單次測(cè)量重復(fù)測(cè)量：重復(fù)測(cè)量： 在相同條件（包括測(cè)量方法、使用的儀器、外界環(huán)境在相同條件（包括測(cè)量方法、使用的儀器、外界環(huán)境條件和觀察者都不變）下對(duì)同一狀態(tài)的物理量進(jìn)行的多條件和觀察者都不變）下對(duì)同一狀態(tài)的物理量進(jìn)行的多次測(cè)量。次測(cè)量。 當(dāng)實(shí)際情況不能滿足重復(fù)測(cè)

4、量所要求的條件或不需當(dāng)實(shí)際情況不能滿足重復(fù)測(cè)量所要求的條件或不需要多次重復(fù)測(cè)量（例如每次重復(fù)測(cè)量示值都完全一致）要多次重復(fù)測(cè)量（例如每次重復(fù)測(cè)量示值都完全一致）時(shí)，才采取單次測(cè)量的處理方式。時(shí)，才采取單次測(cè)量的處理方式。 二、測(cè)量誤差及其分類二、測(cè)量誤差及其分類 （一）（一）誤差的定義誤差的定義 被測(cè)量的物理量在特定條件下客觀存在的真實(shí)量值被測(cè)量的物理量在特定條件下客觀存在的真實(shí)量值稱為該物理量的真值，記作稱為該物理量的真值，記作X0。 測(cè)量值測(cè)量值X和真值和真值X0的差定義為測(cè)量誤差，記為的差定義為測(cè)量誤差，記為X 即：即： X = X X0 它反映了測(cè)量值偏離真值的大小和方向。它反映了測(cè)量

5、值偏離真值的大小和方向。 （二）（二）誤差的分類誤差的分類 1 1 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 1 1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差 由于實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的原因，在測(cè)量過(guò)程中造成的誤差。由于實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的原因，在測(cè)量過(guò)程中造成的誤差。 2 2）誤差來(lái)源）誤差來(lái)源 儀器誤差、環(huán)境誤差、理論儀器誤差、環(huán)境誤差、理論( (方法方法) )誤差、個(gè)人習(xí)慣誤誤差、個(gè)人習(xí)慣誤差。差。 3 3）誤差特點(diǎn)）誤差特點(diǎn) 誤差的大小和符號(hào)總是保持恒定，或按一定規(guī)律以誤差的大小和符號(hào)總是保持恒定，或按一定規(guī)律以可約定的方式變化可約定的方式變化 。 4 4）誤差消除方法）誤差消除方法 找出原因，在實(shí)驗(yàn)前或?qū)嶒?yàn)后加以修正。找出原因，在實(shí)驗(yàn)前或?qū)嶒?yàn)后加以修

6、正。系統(tǒng)誤差的修正舉例儀器誤差儀器誤差 如電表的零點(diǎn)誤差如電表的零點(diǎn)誤差修正：接入電路前，修正：接入電路前，先調(diào)機(jī)械零點(diǎn)。先調(diào)機(jī)械零點(diǎn)。電表指針不在零點(diǎn)機(jī)械零點(diǎn)調(diào)節(jié)螺釘機(jī)械零點(diǎn)調(diào)節(jié)螺釘操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線偏左操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法操作者偏視習(xí)慣造成的系統(tǒng)誤差及其消除方法視線正確2 2 隨機(jī)誤差（偶然誤差）隨機(jī)誤差（偶然誤差）1 1）隨機(jī)誤差）隨機(jī)誤差 由某些偶然的或不確定的因素，在測(cè)量過(guò)程中造成由某些偶然的或不確定的因素，在測(cè)量過(guò)程中造成的誤差。的誤差。2 2）誤差誤差來(lái)源來(lái)源 環(huán)境和實(shí)驗(yàn)條件的無(wú)規(guī)則變化。環(huán)境和

7、實(shí)驗(yàn)條件的無(wú)規(guī)則變化。3 3）誤差誤差特點(diǎn)特點(diǎn) 誤差的量值和符號(hào)以不可約定的方式變化著誤差的量值和符號(hào)以不可約定的方式變化著，對(duì)每，對(duì)每次測(cè)量值來(lái)說(shuō)，其變化是無(wú)規(guī)則的，但對(duì)大量測(cè)量值，次測(cè)量值來(lái)說(shuō)，其變化是無(wú)規(guī)則的，但對(duì)大量測(cè)量值，其變化則服從確定的統(tǒng)計(jì)分布（正態(tài)分布）規(guī)律。其變化則服從確定的統(tǒng)計(jì)分布（正態(tài)分布）規(guī)律。 隨機(jī)誤差服從的正態(tài)分布特點(diǎn)xP-3 -2 0 2 3 隨機(jī)誤差正態(tài)分布的特點(diǎn) *單峰性單峰性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對(duì)值大的誤差絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，而絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小。出現(xiàn)的概率小。 *對(duì)稱性對(duì)稱性 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致相等。絕對(duì)值相

8、等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致相等。 *有界性有界性 絕對(duì)值非常大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。絕對(duì)值非常大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零。 *抵償性抵償性 誤差算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)增加而趨于零。誤差算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)增加而趨于零。 標(biāo)準(zhǔn)誤差：標(biāo)準(zhǔn)誤差：nnii12 標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計(jì)意義 系統(tǒng)誤差已消除的條件下，重復(fù)測(cè)量次數(shù)系統(tǒng)誤差已消除的條件下，重復(fù)測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，足夠大時(shí)，任一次測(cè)量隨機(jī)誤差的絕對(duì)值小于任一次測(cè)量隨機(jī)誤差的絕對(duì)值小于的概率為的概率為68.3%，小，小于于2 的概率為的概率為95.4%，小于，小于3 的概率為的概率為99.7% 標(biāo)準(zhǔn)誤差可描述偶然誤差的可能范圍與可信程度

9、！標(biāo)準(zhǔn)誤差可描述偶然誤差的可能范圍與可信程度！ixi式中：式中：是測(cè)量列和算術(shù)平均值是測(cè)量列和算術(shù)平均值 4) 4) 減小隨機(jī)誤差的方法減小隨機(jī)誤差的方法 A) 增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)增加重復(fù)測(cè)量次數(shù) 一般重復(fù)一般重復(fù)510次即可。測(cè)量值波動(dòng)范圍越大，則需重次即可。測(cè)量值波動(dòng)范圍越大，則需重復(fù)次數(shù)越多。復(fù)次數(shù)越多。 B) 以標(biāo)準(zhǔn)以標(biāo)準(zhǔn)偏差偏差代替標(biāo)準(zhǔn)代替標(biāo)準(zhǔn)誤差誤差來(lái)評(píng)估隨機(jī)誤差的范圍與來(lái)評(píng)估隨機(jī)誤差的范圍與可信度?？尚哦取?C) 用測(cè)量平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值。用測(cè)量平均值作為測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)值。 3 粗大誤差（過(guò)失誤差）粗大誤差（過(guò)失誤差） 1 ) 粗大誤差粗大誤差 測(cè)量值明顯偏離正常值

10、的異常誤差。測(cè)量值明顯偏離正常值的異常誤差。 2 ) 誤差來(lái)源誤差來(lái)源 儀器使用方法錯(cuò)誤、粗心大意、記錄出錯(cuò)等。儀器使用方法錯(cuò)誤、粗心大意、記錄出錯(cuò)等。 3 ) 誤差消除方法誤差消除方法 用用3準(zhǔn)則（萊特準(zhǔn)則）鑒別并剔除。準(zhǔn)則（萊特準(zhǔn)則）鑒別并剔除。 當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，若某測(cè)量值與算術(shù)平均值的偏差當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，若某測(cè)量值與算術(shù)平均值的偏差絕對(duì)值大于絕對(duì)值大于3倍標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，可認(rèn)為該值是壞值而剔除。倍標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，可認(rèn)為該值是壞值而剔除。 一、測(cè)量結(jié)果的表達(dá)方式 測(cè)量的目的是要獲得被測(cè)物理量的真值！測(cè)量的目的是要獲得被測(cè)物理量的真值！ 由于測(cè)量誤差不可避免，真值也就無(wú)法確定，也無(wú)由于測(cè)量誤差不

11、可避免，真值也就無(wú)法確定，也無(wú)法確定誤差的大小。法確定誤差的大小。 只能通過(guò)科學(xué)的方法確定的最佳估計(jì)值及其不確定只能通過(guò)科學(xué)的方法確定的最佳估計(jì)值及其不確定度，把測(cè)量結(jié)果表達(dá)為：度，把測(cè)量結(jié)果表達(dá)為： 物理量最佳估計(jì)值不確定度)(單位 XX 測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果 的含義的含義 表示真值以一定的概率存在于 范圍內(nèi)； 同一項(xiàng)測(cè)量結(jié)果對(duì)應(yīng)不同的置信概率要求，不確定度的估算值也不同，通常要求的概率值越高，對(duì)應(yīng)的值越大。 值通常只保留最大一位非零數(shù)，尾數(shù)一般只進(jìn)不舍，例如計(jì)算結(jié)果是0.051，保留結(jié)果是0.06。 保留的末位數(shù)與的非零數(shù)位同數(shù)量級(jí)，例： L = 3.566 0.007(mm) XXXX 二、

12、不確定度基本概念二、不確定度基本概念 1 不確定度 不確定度是表征測(cè)量結(jié)果具有離散性的一個(gè)參數(shù) 。 2 不確定度分類 根據(jù)估算方法將不確定度分量分為兩類： A類不確定度 用統(tǒng)計(jì)方法估算的分量， 記為A 。 B類不確定度 用其他方法估算的分量，記為B 。jBjiAi22 3 總不確定度 總不確定度是以上兩類所有分量的合成。 若各Ai、Bi 相互獨(dú)立，并具有相同置信概率，則 一 儀器誤差儀器誤差( (限限) ) 正確使用儀器時(shí)，儀器的示值與被測(cè)量真值之間可正確使用儀器時(shí)，儀器的示值與被測(cè)量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對(duì)值被稱為儀器誤差能產(chǎn)生的最大誤差的絕對(duì)值被稱為儀器誤差( (限限) )，用，用

13、 儀儀表示。表示。 儀儀的含義：在正常使用下儀器示值的最大可能誤差，的含義：在正常使用下儀器示值的最大可能誤差，置信概率通常為置信概率通常為95%95%99%99%。常用物理實(shí)驗(yàn)儀器的誤差限儀儀名稱量程最小分度(精度等級(jí))儀儀鋼尺300mm1 mm0.5mm(最小分度的1/2)螺旋測(cè)微計(jì) 20mm0.005 mm最小分度的1/2游標(biāo)卡尺150mm0.02mm（50分度）0.02mm機(jī)械表12h1s最小分度值水銀溫度計(jì)1001 最小分度值磁電式電表NmK A K % 二 B B類類不確定度的估算不確定度的估算 評(píng)定評(píng)定 B需結(jié)合誤差分布規(guī)律、參照標(biāo)準(zhǔn)、估算誤差需結(jié)合誤差分布規(guī)律、參照標(biāo)準(zhǔn)、估算誤

14、差限等因素，故限等因素，故 B有多項(xiàng)分量，評(píng)定方法也有多種。有多項(xiàng)分量，評(píng)定方法也有多種。 常用評(píng)定方法有：根據(jù)測(cè)量條件估算誤差限；根據(jù)常用評(píng)定方法有：根據(jù)測(cè)量條件估算誤差限；根據(jù)理論公式或?qū)嶒?yàn)推算誤差限；根據(jù)儀器誤差限評(píng)定理論公式或?qū)嶒?yàn)推算誤差限；根據(jù)儀器誤差限評(píng)定 B 。 我們約定：在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，我們約定：在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，近似近似使用儀器誤差使用儀器誤差限來(lái)確定限來(lái)確定 B 。即。即: : B B 儀儀 數(shù)字萬(wàn)用表誤差限，數(shù)字萬(wàn)用表誤差限，儀儀 = 讀數(shù)讀數(shù)A% + N，其，其中中:A為精度等級(jí)，為精度等級(jí)，N為顯示末位上的字?jǐn)?shù)。為顯示末位上的字?jǐn)?shù)。 某萬(wàn)用表某萬(wàn)用表20k量程的電阻

15、檔量程的電阻檔A = 0.8，N =0.03，用該檔，用該檔測(cè)量某電阻，讀數(shù)為測(cè)量某電阻，讀數(shù)為5.36 k，這次測(cè)量結(jié)果是多少？，這次測(cè)量結(jié)果是多少？ 解：解： =儀儀= 5.360.8 % + 0.03=0.073 (k) 測(cè)量結(jié)果表示為：測(cè)量結(jié)果表示為： R=5.360.08 （ k ） 檢定一塊檢定一塊1.51.5級(jí)，級(jí)，10 10 mAmA的電流表，發(fā)現(xiàn)在的電流表，發(fā)現(xiàn)在5 5 mAmA處它的誤差最大，為處它的誤差最大，為0.13 0.13 mAmA，而在其它刻度處，誤差，而在其它刻度處，誤差均小于均小于0.13 0.13 mAmA，試問(wèn)，這塊電表是否合格？，試問(wèn)，這塊電表是否合格？

16、 解：解：該級(jí)別的電流表儀器誤差限為：該級(jí)別的電流表儀器誤差限為： 儀儀= 10= 10（mAmA）1.5% = 0.15 1.5% = 0.15 （mAmA） 該電流表在所有刻度上，最大誤差為該電流表在所有刻度上，最大誤差為0.13 0.13 mAmA，均，均小于儀器誤差，故這塊電表是合格產(chǎn)品。小于儀器誤差，故這塊電表是合格產(chǎn)品。一 單次直接測(cè)量的不確定度單次直接測(cè)量的不確定度 實(shí)際情況不允許重復(fù)測(cè)量或不需要多次測(cè)量時(shí)，可實(shí)際情況不允許重復(fù)測(cè)量或不需要多次測(cè)量時(shí)，可采取單次測(cè)量的方式。采取單次測(cè)量的方式。 若單次測(cè)量的主要誤差來(lái)源是儀器誤差時(shí)，以儀器若單次測(cè)量的主要誤差來(lái)源是儀器誤差時(shí)，以儀

17、器誤差限誤差限儀儀作為單次測(cè)量不確定度。作為單次測(cè)量不確定度。 = =儀儀 注意：注意：這是一種很粗略很近似的估算。這是一種很粗略很近似的估算。 二二 多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)1 1、用算術(shù)平均值作為待測(cè)量用算術(shù)平均值作為待測(cè)量X的最佳估計(jì)值的最佳估計(jì)值 設(shè)對(duì)某物理量設(shè)對(duì)某物理量 X 進(jìn)行進(jìn)行 n n 次等精度測(cè)量，得一列測(cè)次等精度測(cè)量，得一列測(cè)量值：量值： x1 、 x2 、 xn， 這一列測(cè)量值的算術(shù)平均值為：這一列測(cè)量值的算術(shù)平均值為：niinXnnxxxX1211. 2.2.多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)多次測(cè)量時(shí)隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)估計(jì) 1）先計(jì)算殘差（偏差）

18、：）先計(jì)算殘差（偏差）： 2）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）： 3）計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差）計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： 1)(21nxxnii) 1()(21nnxxnniix * * 3. 3.異常數(shù)據(jù)的剔除異常數(shù)據(jù)的剔除 1 1）萊特準(zhǔn)則（）萊特準(zhǔn)則（33準(zhǔn)則）準(zhǔn)則） 若第若第 k 次測(cè)量值次測(cè)量值 x k 滿足條件：滿足條件： | x k - |3 則可判斷則可判斷x k 是壞值。是壞值。 2 2）萊特準(zhǔn)則的適用范圍）萊特準(zhǔn)則的適用范圍 萊特準(zhǔn)則以測(cè)量次數(shù)較多（大樣本）為前提，一般萊特準(zhǔn)則以測(cè)量次數(shù)較多（大樣本）為前提，一般適合于測(cè)量值呈正態(tài)分布（即高斯分布）的情況。適合于測(cè)

19、量值呈正態(tài)分布（即高斯分布）的情況。 xix （P P18 18 例例1.4.11.4.1）對(duì)某物理量進(jìn)行了）對(duì)某物理量進(jìn)行了1515次等精度的次等精度的測(cè)量，測(cè)量值如表所示。設(shè)這些測(cè)量值已經(jīng)消除了系統(tǒng)誤測(cè)量，測(cè)量值如表所示。設(shè)這些測(cè)量值已經(jīng)消除了系統(tǒng)誤差，試判斷在下列測(cè)量值中是否含有壞值？差，試判斷在下列測(cè)量值中是否含有壞值？ 解解: : 由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均值由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均值: :404.20151nxxii 由測(cè)量數(shù)據(jù)和算術(shù)平均值，可以計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差：由測(cè)量數(shù)據(jù)和算術(shù)平均值，可以計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差： 由標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出由標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出33： 3 = 33 = 30.033 = 0.099 0

20、.033 = 0.099 第八測(cè)量值的殘差：第八測(cè)量值的殘差： 由萊特準(zhǔn)則知：第八測(cè)量值是一個(gè)壞值，應(yīng)預(yù)以剔除由萊特準(zhǔn)則知：第八測(cè)量值是一個(gè)壞值，應(yīng)預(yù)以剔除。 033. 01)(1512nxxii099. 0014. 18v對(duì)剩余的對(duì)剩余的1414個(gè)數(shù)據(jù)重新計(jì)算：個(gè)數(shù)據(jù)重新計(jì)算：新的算術(shù)平均值（剔除了第八測(cè)量值）為：新的算術(shù)平均值（剔除了第八測(cè)量值）為：新的標(biāo)準(zhǔn)差為：新的標(biāo)準(zhǔn)差為： 411.20141nxxii016. 01)(1412nxxii 新的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出新的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出33： 3 = 33 = 30.016 = 0.0480.016 = 0.048 再檢查各測(cè)量值的殘差，沒(méi)有再出現(xiàn)再

21、檢查各測(cè)量值的殘差，沒(méi)有再出現(xiàn)| |x xk k | |3 3 的情況，可認(rèn)為，剩余數(shù)據(jù)中，沒(méi)有壞值存在。的情況，可認(rèn)為，剩余數(shù)據(jù)中，沒(méi)有壞值存在。x 4. 4.多次測(cè)量時(shí)多次測(cè)量時(shí)A A類不確定度的估算類不確定度的估算 重復(fù)測(cè)量次數(shù)為重復(fù)測(cè)量次數(shù)為5 51010次，置信概率在次，置信概率在95%95%左右時(shí)，左右時(shí)， A A類不確定度類不確定度A可按下式可按下式近似近似估算。估算。 叫標(biāo)準(zhǔn)偏差叫標(biāo)準(zhǔn)偏差( (或簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差或簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差) )計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式叫計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式叫貝塞爾公式貝塞爾公式. .1)(2nxxiiA 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)當(dāng)測(cè)量次數(shù)5 n 10

22、 5 n 10 時(shí)，時(shí)，合成不確定度可這樣合成不確定度可這樣近似近似計(jì)算計(jì)算: : A類分量類分量:A ，置信概率置信概率95% ； B類分量類分量:B 儀儀，置信概率，置信概率95% ； 測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的合成合成不確定度不確定度為為:2222儀BA 用游標(biāo)卡尺對(duì)某物體長(zhǎng)度進(jìn)行等精度測(cè)量用游標(biāo)卡尺對(duì)某物體長(zhǎng)度進(jìn)行等精度測(cè)量1010次，次，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表，設(shè)儀器誤差限為測(cè)量數(shù)據(jù)如下表，設(shè)儀器誤差限為0.00.02 2mm。求不確定求不確定度并表示測(cè)量結(jié)果。度并表示測(cè)量結(jié)果。 解解: : 1 1 求出算平均值求出算平均值: : 1234567891083.5483.5883.5283.5683

23、.6083.6483.5483.5683.5883.50mm 6538101101.xxii 2 求出標(biāo)準(zhǔn)偏差求出標(biāo)準(zhǔn)偏差 利用科學(xué)計(jì)算器統(tǒng)計(jì)功能可快速得到上述結(jié)果！利用科學(xué)計(jì)算器統(tǒng)計(jì)功能可快速得到上述結(jié)果！ 3 計(jì)算合成不確定度計(jì)算合成不確定度 取取B 儀儀 4 測(cè)量結(jié)果為：測(cè)量結(jié)果為： X = 83.56 0.05 (mm) （P = 0.95）)mm(50 . 00.020.042222儀(mm) 040. 01)(1012nxxii 一一 間接測(cè)量值的算術(shù)平均值 設(shè)間接測(cè)量量設(shè)間接測(cè)量量 N 是直接測(cè)量量是直接測(cè)量量x，y，z的函數(shù)，即：的函數(shù)，即： 各直接測(cè)量量的測(cè)量結(jié)果為：各直接測(cè)

24、量量的測(cè)量結(jié)果為：),(zyxfN zyxzzyyxx, 間接測(cè)量量間接測(cè)量量 N 的算術(shù)平均值為的算術(shù)平均值為: 測(cè)量出金屬圓環(huán)的外直徑測(cè)量出金屬圓環(huán)的外直徑D2 =（3.600 0.004）cm ；內(nèi)直徑；內(nèi)直徑 D1 =（2.880 0.004）cm ；高度；高度 h =（2.575 0.004）cm ；試求出這個(gè)金屬圓環(huán)體積；試求出這個(gè)金屬圓環(huán)體積V 的的平均值？平均值？ ),(zyxfN 解：解：計(jì)算金屬圓環(huán)體積計(jì)算金屬圓環(huán)體積V 的函數(shù)表達(dá)式為：的函數(shù)表達(dá)式為： 則金屬圓環(huán)體積則金屬圓環(huán)體積V平均值的函數(shù)表達(dá)式為：平均值的函數(shù)表達(dá)式為： 代入各直接測(cè)量量的平均值，可得圓環(huán)體積算術(shù)平

25、均值：代入各直接測(cè)量量的平均值，可得圓環(huán)體積算術(shù)平均值： hDDV)(42122hDDV)(42122)(436. 9575. 2)880. 2600. 3(4322cmV 二二 間接測(cè)量量的不確定度的合成間接測(cè)量量的不確定度的合成 如前述如前述:各直接測(cè)量量表示為：各直接測(cè)量量表示為： 每個(gè)直接測(cè)量量的誤差都會(huì)傳遞給每個(gè)直接測(cè)量量的誤差都會(huì)傳遞給 N , 若各直接測(cè)量若各直接測(cè)量量完全獨(dú)立，則量完全獨(dú)立，則N 對(duì)應(yīng)每個(gè)直接測(cè)量誤差來(lái)源都對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)每個(gè)直接測(cè)量誤差來(lái)源都對(duì)應(yīng)有一個(gè)獨(dú)立分量，分別記為有一個(gè)獨(dú)立分量，分別記為Nx，Ny，Nz。zyxzzyyxx, 其中其中Nxx，比例系數(shù)是函數(shù)，比例

26、系數(shù)是函數(shù) f ( x, y, z ) 對(duì)自變量對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，即的偏導(dǎo)數(shù)，即:xNxxfzNzyNyyfyf;同理， 則間接測(cè)量量則間接測(cè)量量N 的不確定度可以用下式合成：的不確定度可以用下式合成： 稱為稱為不確定度不確定度傳遞系數(shù)，傳遞系數(shù)，它反映了它反映了各直接測(cè)量量的不確定度對(duì)間接測(cè)量量不確定度的各直接測(cè)量量的不確定度對(duì)間接測(cè)量量不確定度的貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)（權(quán)重）。（權(quán)重）。 222222)()()(zyxNzfyfxfzfyfxf,:式中 常用函數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（一）常用函數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（一）, yxN22yxN22)()(;,yxNyxNyxNyxNxNkkxN, 常用函

27、數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（二）常用函數(shù)不確定度合成計(jì)算公式（二）)(,xnNxNxNnxxNxNcos,sin222222)()()(,zcybxaNzyxNzyxNcba 用單擺測(cè)量重力加速度。用單擺測(cè)量重力加速度。 已知擺長(zhǎng)和周期的測(cè)量結(jié)果分別為：已知擺長(zhǎng)和周期的測(cè)量結(jié)果分別為： 試求重力加速度的測(cè)量結(jié)果。試求重力加速度的測(cè)量結(jié)果。 解：解：重力加速度的函數(shù)表達(dá)式為重力加速度的函數(shù)表達(dá)式為 %)95()001. 0001.100(PcmLLL%)95()0002. 00002. 2(PsTTT224TLg 則重力加速度的平均值為：則重力加速度的平均值為： 先求重力加速度相對(duì)不確定度先求重力加

28、速度相對(duì)不確定度22222/8677. 90002. 2001.100)14159. 3(44smTLg22)2()(TLgETLgg%)95(0002. 0)0002. 20002. 02()001.100001. 0(22P 重力加速度的合成不確定度為重力加速度的合成不確定度為 重力加速度的測(cè)量結(jié)果為重力加速度的測(cè)量結(jié)果為%)95(/002. 00002. 08677. 92PsmEggg%)95(/)002. 0868. 9(2Psmg 實(shí)驗(yàn)中得到的測(cè)量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)實(shí)驗(yàn)中得到的測(cè)量值都是含有誤差的數(shù)值，這些數(shù)值的尾數(shù)不能任意取舍，應(yīng)反映出測(cè)量的準(zhǔn)確度。值的尾數(shù)不能任意取舍

29、，應(yīng)反映出測(cè)量的準(zhǔn)確度。 一一 有效數(shù)字的概念有效數(shù)字的概念 1 1 有效數(shù)字的定義有效數(shù)字的定義 在測(cè)量結(jié)果中，所有可靠數(shù)字再加上末位的存疑數(shù)在測(cè)量結(jié)果中，所有可靠數(shù)字再加上末位的存疑數(shù)字，統(tǒng)稱為測(cè)量結(jié)果的字，統(tǒng)稱為測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字有效數(shù)字。 有效數(shù)字中所有位數(shù)的個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。有效數(shù)字中所有位數(shù)的個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字的位數(shù)。 2、有效數(shù)字的讀取規(guī)則、有效數(shù)字的讀取規(guī)則 1）記錄測(cè)量?jī)x器的精度、級(jí)別、最小分度值（最小刻）記錄測(cè)量?jī)x器的精度、級(jí)別、最小分度值（最小刻度值）；度值）； 2）估計(jì)測(cè)量?jī)x器的儀器誤差限；）估計(jì)測(cè)量?jī)x器的儀器誤差限； 3）記錄有效數(shù)字時(shí)）記錄有效數(shù)字時(shí)要記錄到誤差

30、所在位要記錄到誤差所在位。 用用300mm長(zhǎng)的毫米分度鋼尺測(cè)量長(zhǎng)度，應(yīng)如何長(zhǎng)的毫米分度鋼尺測(cè)量長(zhǎng)度，應(yīng)如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？讀取并記錄數(shù)據(jù)？ 解：解：該鋼尺最小分度值為該鋼尺最小分度值為1mm，儀器誤差限取最小分儀器誤差限取最小分度值的一半，即度值的一半，即 正確記錄數(shù)據(jù)方法是正確記錄數(shù)據(jù)方法是：1）確切讀出鋼尺上有刻線的位）確切讀出鋼尺上有刻線的位數(shù)；數(shù)；2）應(yīng)估讀一位，即讀到）應(yīng)估讀一位，即讀到0.1mm位。位。 如如 22.5 mm。 mm5.0儀 伏安法測(cè)量電壓和電流值。若使用量程分別為伏安法測(cè)量電壓和電流值。若使用量程分別為10V和和10mA的的 0.5級(jí)的電壓表和電流表，應(yīng)如何讀取并

31、級(jí)的電壓表和電流表，應(yīng)如何讀取并記錄數(shù)據(jù)？記錄數(shù)據(jù)？ 解：解：由儀器誤差限計(jì)算公式（表由儀器誤差限計(jì)算公式（表1-3-1），可得：），可得： 因此讀取并記錄電壓和電流的有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)分別因此讀取并記錄電壓和電流的有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)分別記錄到記錄到0.01V和和0.01mA位。位。 如：如： 1.00V；2.00mA。05.0105.0%儀mNk 也有些儀器儀表一般不進(jìn)行估讀或不可能估讀。也有些儀器儀表一般不進(jìn)行估讀或不可能估讀。 例如：數(shù)字顯示儀表，只能讀出其顯示器上所記錄例如：數(shù)字顯示儀表，只能讀出其顯示器上所記錄的數(shù)字。當(dāng)該儀表對(duì)某穩(wěn)定的輸入信號(hào)表現(xiàn)出不穩(wěn)定的的數(shù)字。當(dāng)該儀表對(duì)某穩(wěn)定的輸入信號(hào)

32、表現(xiàn)出不穩(wěn)定的末位顯示時(shí)，表明該儀表的不確定度可能大于末位顯示末位顯示時(shí)，表明該儀表的不確定度可能大于末位顯示的的 1 1，此時(shí)可記錄一段時(shí)間間隔內(nèi)的平均值。，此時(shí)可記錄一段時(shí)間間隔內(nèi)的平均值。 3 3、有效數(shù)字在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用、有效數(shù)字在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用 1 1）有效數(shù)字的位數(shù)與儀器精度（最小分度值）有關(guān)）有效數(shù)字的位數(shù)與儀器精度（最小分度值）有關(guān) 2 2）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。 3 3）關(guān)于）關(guān)于“0”0”的處理的處理 數(shù)值中間和末尾的數(shù)值中間和末尾的“0”“0”均為有效數(shù)字，均為有效數(shù)字，如：如：50.0750.07，2.4002.400

33、。 數(shù)值前的數(shù)值前的“0”“0”不屬有效數(shù)字。不屬有效數(shù)字。如：如：0.0120.012 4）科學(xué)記數(shù)法）科學(xué)記數(shù)法 對(duì)數(shù)量級(jí)很大或較小的測(cè)量值，使用科學(xué)記數(shù)法，對(duì)數(shù)量級(jí)很大或較小的測(cè)量值，使用科學(xué)記數(shù)法，寫成寫成 的冪次形式，其中：的冪次形式，其中：a為為19之間的之間的實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)，n為任意整數(shù)。為任意整數(shù)。 例如地球半徑是例如地球半徑是6371 km，用科學(xué)記數(shù)法表示為用科學(xué)記數(shù)法表示為 6.371 106 m。 氦氖激光波長(zhǎng)為氦氖激光波長(zhǎng)為 632.8 nm，用科學(xué)記數(shù)法表示為，用科學(xué)記數(shù)法表示為6.328 107m。na10 5) 5)尾數(shù)舍入規(guī)則尾數(shù)舍入規(guī)則( (數(shù)字的截尾規(guī)則數(shù)字的

34、截尾規(guī)則) ) 為了使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單或準(zhǔn)確地表示有效數(shù)字，需要為了使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單或準(zhǔn)確地表示有效數(shù)字，需要對(duì)不應(yīng)保留的尾數(shù)進(jìn)行舍入。對(duì)不應(yīng)保留的尾數(shù)進(jìn)行舍入。 舍入規(guī)則是舍入規(guī)則是“四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶” 即：即：小于五小于五舍去舍去，大于五，大于五進(jìn)位進(jìn)位，等于五時(shí)則把尾數(shù)，等于五時(shí)則把尾數(shù)湊成偶數(shù)湊成偶數(shù)。 例如例如:對(duì)以下數(shù)據(jù)保留對(duì)以下數(shù)據(jù)保留4位有效位數(shù)字位有效位數(shù)字 1.043461.043 1.04368 1.044 5.76453 5.764（舍（舍5不進(jìn)位）不進(jìn)位） 5.76153 5.762 （舍（舍5進(jìn)位）進(jìn)位） 二二 有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則 1 有效數(shù)字運(yùn)算的基本原則有效數(shù)字運(yùn)算的基本原則 1）準(zhǔn)確數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)運(yùn)算，結(jié)果為準(zhǔn)確數(shù)。）準(zhǔn)確數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)運(yùn)算，結(jié)果