淺談“平面幾何不等關(guān)系”的證明

1、平面幾何數(shù)列關(guān)系淺談“平面幾何不等關(guān)系”的證明相對(duì)于“相等關(guān)系”而言,生活中更為廣泛的存在著“不等關(guān)系”。然縱觀初中幾何教材,似乎涉及“不等關(guān)系”的問題并不太多,因此,學(xué)生在碰到不等關(guān)系的證明時(shí),往往不知從何處下手。本文列舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子加以分析,以期對(duì)學(xué)生有所啟發(fā)。一、以點(diǎn)代面,化繁多為單一【例1】:證明:直徑是圓中最長(zhǎng)的弦?！痉治觥?這是一類“長(zhǎng)與短”的不等關(guān)系比較,在圓中直徑總要與其他弦“比一比”,才能說明是否最長(zhǎng)。那么,怎樣比呢?與其他所有的弦都比嗎?這顯然是繁多而又不可能的。因此我們必須化“繁多”為“單一”,當(dāng)然,這個(gè)單一必須具有代表性。我們不妨任作一條非直徑的弦試試,這里的“任意”

2、顯然可以代表其它所有的弦,比出了這“任意”作的一條弦與直徑的大小,則就能說明問題了。這樣看似繁多的問題,就變得單一了?！咀C明】：如圖，任作一條非直徑的弦CD,連接OCOD在OCM,OC+OD>CD而OC+OD=AB.AB>CD由CD的任意性可知直徑是圓中最長(zhǎng)的弦。二、構(gòu)造等量,變盲目為清晰【例2】:試證:在三角形中,大邊所對(duì)的角也較大?！痉治觥?這是一例“大與小”的不等關(guān)系比較,涉及既有邊又有角,因此,要比較大小就必須找到它們之間的聯(lián)系。那么,邊與角怎么聯(lián)系呢?我們已經(jīng)知道“等邊對(duì)等角”,所以,我們可以先構(gòu)造出一個(gè)等量,即在已知三角形的大邊上截取與小邊相等的長(zhǎng)度,構(gòu)造一個(gè)等腰三角形

3、,再進(jìn)行比較,這樣就把盲目的問題變得有清晰的思路了?！咀C明】：如圖，在大邊AC上截取AD=ABg接BD,/C+/CBDMADB而/ADBWABD且/ABCXABD/ABCXC即大邊AC所對(duì)的角大于小邊AB所對(duì)的角。三、轉(zhuǎn)移視線,變不可能為可能【例3】：如圖，。0中弦AB>CD玄,AB、CD交于E,M、N分別是ARCD的中點(diǎn)，連接OMONMN求證：/MNE>NME【分析】:這也是“大與小”不等關(guān)系的比較問題,如果直接在三角形MN中考慮，就只能用“大邊對(duì)大角”，但ME與NE哪條線段大是不可能知道的。初看解決問題好像不可能,但我們只要轉(zhuǎn)移一下視線，即在三角形OM即來考慮，這種不可能就變得可能了?！咀C明】：M、N分別為弦ABCD的中點(diǎn)，OMLABONLCD,./OME=ONE=90，又弦AB>CD,.ONME四、巧設(shè)橋梁,平穩(wěn)過渡【例4】:求證:經(jīng)過相交兩圓的一個(gè)交點(diǎn)的那些直線被兩圓所截得的線段中,平行于連心線的那一條線段最長(zhǎng)?！痉治觥?此種類型實(shí)際上是上述三種類型的綜合,我們可以先過交點(diǎn)任作一條直線,然后巧設(shè)連心線這道橋梁,找出等量與不等量,再把問題轉(zhuǎn)移到與連心線的比較上來,便可解決問題?！咀C明】：如圖，過點(diǎn)M任作一條直線分別交。01,。02于D,再分別過。入02作ABCD的垂線，垂足分別為E