黑環(huán)評-數(shù)學模型-20140311

1、3 數(shù)學模型概述數(shù)學模型概述3.1 數(shù)學模型的定義和分類3.2 數(shù)學模型的建立3.2.1建立數(shù)學模型的過程3.2.2 對模型的基本要求3.2.3 數(shù)學模型的驗證和誤差分析3.3 Excel 在建立數(shù)學模型的應用3.3.1 污水處理的線性回歸分析3.3.2 結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合3.3.3 用Excel進行參數(shù)估計 3 數(shù)學模型概述 3.1 數(shù)學模型的定義和分類 圖3-1 列出了抽象模型和具體模型的一些例子。模型 圖圖3.1 模型的形式 抽象模型 具體模型 數(shù)學模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計算機程序:計算程序,模擬程序 相似模型:(實物放大縮小)建筑模型，風洞實驗模型模

2、擬模型:電模擬模型 滿足模型條件的數(shù)學表達式和算法叫做滿足模型條件的數(shù)學表達式和算法叫做數(shù)學模型數(shù)學模型. .其它定義：其它定義：1）數(shù)學模型（數(shù)學模型（Mathematical Model），是根據(jù)對研究），是根據(jù)對研究對象所觀察到的現(xiàn)象及實踐經(jīng)驗，歸結(jié)成的一套反映對象所觀察到的現(xiàn)象及實踐經(jīng)驗，歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素數(shù)量關系的數(shù)學公式、其內(nèi)部因素數(shù)量關系的數(shù)學公式、邏輯邏輯準則和具體算準則和具體算法。用以描述和研究法。用以描述和研究客觀現(xiàn)象客觀現(xiàn)象的運動規(guī)律。的運動規(guī)律。 2）數(shù)學模型是針對參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依數(shù)學模型是針對參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關系，采用數(shù)學語言，概

3、括地或近似地表述出的一存關系，采用數(shù)學語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學符號刻劃出種數(shù)學結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學符號刻劃出來的某種系統(tǒng)的純關系結(jié)構(gòu)。來的某種系統(tǒng)的純關系結(jié)構(gòu)。 3）從廣義理解，數(shù)學模型包括數(shù)學中的各種從廣義理解，數(shù)學模型包括數(shù)學中的各種概念概念，各，各種公式和各種理論。因為它們都是由現(xiàn)實世界的原型種公式和各種理論。因為它們都是由現(xiàn)實世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個數(shù)學也可以說是一抽象出來的，從這意義上講，整個數(shù)學也可以說是一門關于數(shù)學模型的科學。從狹義理解，數(shù)學模型只指門關于數(shù)學模型的科學。從狹義理解，數(shù)學模型只指那些反映了特定問題

4、或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關那些反映了特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結(jié)構(gòu)，這個意義上也可理解為聯(lián)系一個系統(tǒng)中各變系結(jié)構(gòu)，這個意義上也可理解為聯(lián)系一個系統(tǒng)中各變量間內(nèi)的關系的數(shù)學表達。量間內(nèi)的關系的數(shù)學表達。 數(shù)學模型在環(huán)境影響評價中的應用數(shù)學模型在環(huán)境影響評價中的應用環(huán)境影響評價中的數(shù)學模型是應用數(shù)學語言和方法環(huán)境影響評價中的數(shù)學模型是應用數(shù)學語言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學、生物化學、生來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學、生物化學、生物生態(tài)以及社會等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關系的數(shù)學物生態(tài)以及社會等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關系的數(shù)學方程。方程。它是建立在對環(huán)境系統(tǒng)進行反復的觀察研究，

5、通過它是建立在對環(huán)境系統(tǒng)進行反復的觀察研究，通過實驗或現(xiàn)場監(jiān)測取得了大量的有關信息和數(shù)據(jù)，進而實驗或現(xiàn)場監(jiān)測取得了大量的有關信息和數(shù)據(jù)，進而對所研究的系統(tǒng)行為動態(tài)、過程本質(zhì)和變化規(guī)律有了對所研究的系統(tǒng)行為動態(tài)、過程本質(zhì)和變化規(guī)律有了較深刻認識的基礎上，經(jīng)過簡化和數(shù)學演繹而得出的較深刻認識的基礎上，經(jīng)過簡化和數(shù)學演繹而得出的一些數(shù)學表達式，這些表達式描述了環(huán)境系統(tǒng)中各變一些數(shù)學表達式，這些表達式描述了環(huán)境系統(tǒng)中各變量及其參數(shù)間的關系。量及其參數(shù)間的關系。表表3-13-1 數(shù)學模型的分類劃分依據(jù)模型類型變量與時間關系穩(wěn)態(tài)模型 動態(tài)模型變量間關系線性模型 非線性模型變量性質(zhì)確定性模型 隨機性模型參量

6、性質(zhì)集中參數(shù)模型 分布參數(shù)模型對模型機理的對模型機理的把握程度把握程度白箱模型、灰箱模型以及白箱模型、灰箱模型以及黑箱模型黑箱模型3.2數(shù)學模型的建立3.2.1 3.2.1 建立數(shù)學模型的過程 一個模型要真實反映客觀實際，必須經(jīng)過實踐-抽象-實踐的多次反復。數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的一般步驟2.2.模型的結(jié)構(gòu)選擇模型的結(jié)構(gòu)選擇(1)白箱模型 根據(jù)對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解根據(jù)對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解, ,以客觀事物變以客觀事物變化遵循的物理化學定律為基礎，經(jīng)邏輯演繹而建立化遵循的物理化學定律為基礎，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機理模型。這種建立模型的方法叫演繹

7、起的模型是機理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。法。 機理模型具有唯一性。建立機理模型最主要的方機理模型具有唯一性。建立機理模型最主要的方法是質(zhì)量平衡法法是質(zhì)量平衡法, ,在預知污染物質(zhì)反應的方式和速度在預知污染物質(zhì)反應的方式和速度時時, ,用來預測物質(zhì)流的方向和通量。雖然使用演繹法用來預測物質(zhì)流的方向和通量。雖然使用演繹法建立白箱模型并不需要經(jīng)過圖建立白箱模型并不需要經(jīng)過圖3.23.2所列的建立數(shù)學模所列的建立數(shù)學模型步驟，但事實上完全的白箱模型是很少遇到，很型步驟，但事實上完全的白箱模型是很少遇到，很難獲得的。難獲得的。 即半機理模型。在應用質(zhì)量平衡法建立環(huán)境數(shù)即半機理模型。在應用質(zhì)量平衡

8、法建立環(huán)境數(shù)學模型的過程中學模型的過程中, ,幾乎每個模型都包含一個或多個幾乎每個模型都包含一個或多個待定參數(shù)待定參數(shù), ,這些待定參數(shù)一般無法由過程機理來確這些待定參數(shù)一般無法由過程機理來確定。通常采用經(jīng)驗系數(shù)來定量說明。經(jīng)驗系數(shù)的定。通常采用經(jīng)驗系數(shù)來定量說明。經(jīng)驗系數(shù)的確定則要借助于以往的觀測數(shù)據(jù)或?qū)嶒灲Y(jié)果。確定則要借助于以往的觀測數(shù)據(jù)或?qū)嶒灲Y(jié)果。 (2)灰箱模型 (3)黑箱模型w 即輸入即輸入-輸出模型。需要大量的輸入輸出模型。需要大量的輸入,輸出數(shù)據(jù)輸出數(shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗模型。它們可在日常例行觀察中以獲得經(jīng)驗模型。它們可在日常例行觀察中積累積累,也可由專門實驗獲得。根據(jù)對系統(tǒng)輸入也可由專

9、門實驗獲得。根據(jù)對系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測輸出數(shù)據(jù)的觀測,在數(shù)理統(tǒng)計基礎上建立起經(jīng)在數(shù)理統(tǒng)計基礎上建立起經(jīng)驗模型的方法又叫歸納法。驗模型的方法又叫歸納法。w 經(jīng)驗模型經(jīng)驗模型，可被多種不同類型，可被多種不同類型的函數(shù)描述。因此由歸納法建立起的經(jīng)驗模的函數(shù)描述。因此由歸納法建立起的經(jīng)驗模型在使用時必須注意其導出過程中的取值范型在使用時必須注意其導出過程中的取值范圍圍,不可任意進行擴展。不可任意進行擴展。例3-1 在x4，由歸納法建立的兩函數(shù)為：試繪制其函數(shù)圖形，并分析其擴展性。解：繪制的函數(shù)圖形如圖所示。在x5 的情況下，兩函數(shù)的取值相差很遠，說明它們不具有擴展性。 )1 (4 . 486. 0

10、xey2433. 0733. 2xxy0123450246)1 ( 4 . 486. 0 xey2433. 0733. 2xxy3.3.估計模型的參數(shù)估計模型的參數(shù)4.4.模型的檢驗和修正模型的檢驗和修正)( )(1),(yjxjYXnYXCOV) 1()(22nnXXnVAR XXn1yxxyYXCOVR.),(定義式 函數(shù)說明(2-1)AVEDEV 一組數(shù)據(jù)點到其平均值的絕對偏差的平均值 (2-2)CORREL 兩組數(shù)據(jù)集合的相關系數(shù) (2-3)COVAR 每對偏差乘積的平均值 (2-4)DEVSQ 返回偏差平方和 (2-5)STDEV 估計樣本的標準偏差 (2-6)VAR 估計樣本的方差

11、yxxyYXCOVR.),(2)(XXDEVSQ)1()(22nnXXnSTDEV 相關系數(shù)相關系數(shù) R，反映了兩個數(shù)據(jù)集合之間的線，反映了兩個數(shù)據(jù)集合之間的線性相關程度。在模型的驗證和誤差分析中模型性相關程度。在模型的驗證和誤差分析中模型計算值和觀測值就可以看成是這樣的兩個數(shù)據(jù)計算值和觀測值就可以看成是這樣的兩個數(shù)據(jù)集合。如果集合。如果X(X1, X2, X3) 和和 Y( Y1, Y 2, Y3) 分別表示一組觀測值和計算值，相關系數(shù)計算分別表示一組觀測值和計算值，相關系數(shù)計算: 22)()()( )(1.),(yjxjyjxjyxYXYXnYXCOVR（3-7）iiiiXYXe（3-8）

12、顯著性檢驗方法之一：顯著性檢驗方法之一：1）按下式求得）按下式求得t值：值：2）令）令n=n-2,查查t表值；表值；3）若）若tt0.01(n)，R有非常顯著性意義；有非常顯著性意義； 若若tt0.01(n)，R無顯著性意義；無顯著性意義； 221ntRR表表3-4 某污水處理廠某污水處理廠3、4月份的日常監(jiān)測臺帳月份的日常監(jiān)測臺帳 序號 3月份記錄(mg/L) 4月份記錄(mg/L)入水COD出水COD入水出水計算值出水COD1678123695138.481522631118654132.861563942216777149.7119041022173856160.532025940184

13、824156.1520269481501054187.662267802197885164.511968992156932170.9420891010197833157.3815810728128885164.5116511800136933171.0813812826154788151.2211913691156973176.561521454398715141.22134157711861028184.116216690175871162.5913817743108807153.8212018712102900166.5615819584134771148.8912320841118755

14、146.713921870182855160.4127221120186682136.6912123654144757146.9717524695152743145.05138表3-5 出水COD對應入水COD回歸統(tǒng)計結(jié)果Multiple R0.630237Intercept43.25682X Variable 10.136996標準誤差26.22009觀測值24 圖3-6 4月份出入水COD觀測值與估算值比較050100150200250050010001500計算值進水CODmg/L出水CODmg/Lbmxybxcy ln55221.xcxcxcbybcxy bxceynAAAFntttt11.名稱名稱 趨勢線計算方程趨勢線計算方程 備備 注注線性(2-11)m 代表斜率 b 代表截距對數(shù)(2-12)c 和 b 代表常數(shù)，函數(shù) ln 代表自然對數(shù)多項式(2-13)可選擇多項式階數(shù)，b 和Ci 代表常數(shù)乘冪(2-14)其中 c 的 b 為常數(shù)指數(shù)(2-15)c 和 b 為常數(shù)，e 代表自然對數(shù)的底數(shù)移 動 平均(2-16)n是“周期”選項, 設置移動平均使用數(shù)據(jù)點數(shù)目，用來消除數(shù)據(jù)的波動圖圖3-7 Excel 圖表菜單下，添加趨勢線命令對話框時間(h)