高中數(shù)學(xué)3-2第2課時(shí)空間向量與垂直關(guān)系課件新人教A版選修

1、第2課時(shí) 空間向量與垂直關(guān)系空間中直線、平面垂直關(guān)系的向量表示空間中直線、平面垂直關(guān)系的向量表示1.1.兩直線垂直的關(guān)系：設(shè)直線兩直線垂直的關(guān)系：設(shè)直線l的方向向量為的方向向量為a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),直直線線m m的方向向量為的方向向量為b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),則則lmm _ _ _ _._.2.2.直線與平面的垂直關(guān)系：設(shè)直線直線與平面的垂直關(guān)系：設(shè)直線l的方向向量是的方向向量是a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量為的法向量為u=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),則則l_.

2、_.abab=0=0a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0=0aua=k=ku3.3.兩個(gè)平面的垂直關(guān)系：若平面兩個(gè)平面的垂直關(guān)系：若平面的法向量為的法向量為u=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量為的法向量為v=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),則則_._.uvuv=0=0判斷：判斷：( (正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”)”)(1)(1)兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直量垂直，則兩直線垂直.( )

3、.( )(2)(2)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí)，直直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí)，直線與平面垂直線與平面垂直.( ).( )(3)(3)若兩平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量所成的角一定是若兩平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量所成的角一定是9090.( ).( )提示：提示：(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .兩直線的方向向量平行，這兩條直線也可能兩直線的方向向量平行，這兩條直線也可能重合重合. .(2)(2)正確正確. .兩向量的方向相同或相反，即兩向量平行兩向量的方向相同或相反，即兩向量平行. .(3)(3)正確正確. .若兩平面垂直，則其法向量垂直，故所成的角為若兩平面

4、垂直，則其法向量垂直，故所成的角為9090. .答案：答案：(1)(1)(2)(3)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥】1.1.空間中線、面垂直關(guān)系的三種類型空間中線、面垂直關(guān)系的三種類型(1)(1)空間兩直線的垂直空間兩直線的垂直, ,分為相交垂直和異面垂直分為相交垂直和異面垂直, ,都可以與兩都可以與兩直線的方向向量相互垂直進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化直線的方向向量相互垂直進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化. .(2)(2)直線與平面的垂直直線與平面的垂直, ,空間直線與平面的垂直是與直線的方空間直線與平面的垂直是與直線的方向向量與平面的法向量相互平行等價(jià)的向向量與平面的法向量相互平行等價(jià)的. .(3)(3)兩個(gè)平面的垂直兩個(gè)平面

5、的垂直, ,兩個(gè)平面的垂直與這兩個(gè)平面的法向量?jī)蓚€(gè)平面的垂直與這兩個(gè)平面的法向量相互垂直是等價(jià)的相互垂直是等價(jià)的. .2.2.利用直線的方向向量與平面的法向量處理垂直關(guān)系的關(guān)鍵利用直線的方向向量與平面的法向量處理垂直關(guān)系的關(guān)鍵(1)(1)直線與直線垂直：關(guān)鍵看兩直線的方向向量是否垂直直線與直線垂直：關(guān)鍵看兩直線的方向向量是否垂直. .(2)(2)直線與平面垂直：關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量直線與平面垂直：關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量是否共線；或者看直線的方向向量與平面內(nèi)的兩相交直線的是否共線；或者看直線的方向向量與平面內(nèi)的兩相交直線的方向向量是否垂直方向向量是否垂直. .(3)(3

6、)平面與平面垂直：關(guān)鍵看兩平面的法向量是否垂直平面與平面垂直：關(guān)鍵看兩平面的法向量是否垂直. . 類型類型 一一 利用空間向量處理線線垂直問題利用空間向量處理線線垂直問題【典型例題典型例題】1.1.在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，點(diǎn)中，點(diǎn)E E是是ACAC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，證明：證明：(1)BD(1)BD1 1AC.(2)BDAC.(2)BD1 1EBEB1 1. .2.2.在四棱錐在四棱錐S-ABCDS-ABCD中，中，SDSD平面平面ABCDABCD，點(diǎn)，點(diǎn)E E是是SBSB的中點(diǎn)，且底的中點(diǎn)，且底面面ABCDABCD是正方形，是正方形，

7、SD=ABSD=AB，在線段，在線段SDSD上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn)F F，使，使AECFAECF？【解題探究解題探究】1.1.利用向量證明兩條直線垂直的關(guān)鍵是什么？利用向量證明兩條直線垂直的關(guān)鍵是什么？2.2.解決探索性問題的一般思路是什么？解決探索性問題的一般思路是什么？探究提示：探究提示：1.1.利用向量證明兩條直線垂直，關(guān)鍵是證明或判定這兩條直利用向量證明兩條直線垂直，關(guān)鍵是證明或判定這兩條直線的方向向量垂直，即其數(shù)量積為線的方向向量垂直，即其數(shù)量積為0.0.2.2.解決探索性問題，一般是假設(shè)結(jié)論成立，然后把該結(jié)論作解決探索性問題，一般是假設(shè)結(jié)論成立，然后把該結(jié)論作為解題條件，再結(jié)

8、合題目的其他條件去推證求解，若能解出，為解題條件，再結(jié)合題目的其他條件去推證求解，若能解出，則原結(jié)論成立；若推出矛盾，則說明原結(jié)論不成立則原結(jié)論成立；若推出矛盾，則說明原結(jié)論不成立. .【解析解析】1.1.以以D D為原點(diǎn)，分別以為原點(diǎn)，分別以DADA，DCDC，DDDD1 1所在直線為所在直線為x x，y y，z z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1 1，則，則B(1B(1，1 1，0)0)，D D1 1(0(0，0 0，1)1)，A(1A(1，0 0，0)0)，C(0C(0，1 1，0)0)， B B1 1(1(1，1 1，1

9、).1). 111111111111 BD111 AC110BDAC1111 1 00BDACBDAC.1 12 EB(1)2 211BDEB111 10BDEBBDEB .22 ， ， ， ，1 1E(0)2 2，2.2.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系DxyzDxyz，假設(shè)在線段，假設(shè)在線段SDSD上存上存在一點(diǎn)在一點(diǎn)F F，使，使AECFAECF，設(shè)，設(shè)SD=AB=1SD=AB=1，則，則F(0F(0，0 0，z)z)，C(0C(0，1 1，0)0)， 又又S(0S(0，0 0，1)1)，B(1B(1，1 1，0),0),由由A(1A(1，0 0，0)0)得得 解

10、得解得z=1.z=1.即即F(0F(0，0 0，1)1)與與S S重合，故在線段重合，故在線段SDSD上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)F(0F(0，0 0，1)1)，使，使AECF.AECF.CF01 z .， ，1 1 1E().2 2 2，1 1 1AE().2 2 2 ，AECFAECF,11AE CFz022 ，即，【拓展提升拓展提升】利用空間向量判斷空間兩直線垂直的方法利用空間向量判斷空間兩直線垂直的方法(1)(1)基向量法：選取三個(gè)不共線的已知向量基向量法：選取三個(gè)不共線的已知向量( (通常是它們的通常是它們的模及其兩兩夾角為已知模及其兩兩夾角為已知) )為空間的一個(gè)基底為空間的一個(gè)基底; ;把兩

11、直線的方向向量用基底表示把兩直線的方向向量用基底表示; ;利用向量的數(shù)量積運(yùn)算利用向量的數(shù)量積運(yùn)算, ,計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為為0;0;由方向向量垂直得到兩直線垂直由方向向量垂直得到兩直線垂直. .(2)(2)坐標(biāo)法坐標(biāo)法: :根據(jù)已知條件和圖形特征根據(jù)已知條件和圖形特征, ,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系, ,正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo); ;根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo)根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo); ;計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0;0;由方向向量垂直得到兩直線垂直

12、由方向向量垂直得到兩直線垂直. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的各棱長(zhǎng)都為的各棱長(zhǎng)都為1,M1,M是底是底面上面上BCBC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn),N,N是側(cè)棱是側(cè)棱CCCC1 1上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,且且 求證求證: : ABAB1 1MN.MN.【證明證明】方法一方法一: :11CNCC ,41111111111ABABAA ,MNMCCNBCCC2411111ACABAAACABAA ,24224111ABMN(ABAA ) ( ACABAA )2241AB2 22111111111ACABAB AAAAACAAABAA ,24224

13、 111111A AAB,A AAC, AB,AC60 ,AAABAC1,111111ABMNcos 600000,224424ABMN,ABMN. 又方法二方法二: :以以M M為原點(diǎn)為原點(diǎn), ,直線直線MC,MAMC,MA分別為分別為x x軸、軸、y y軸軸, ,過過B B1 1C C1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M1 1與與M M的直線為的直線為z z軸軸, ,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系, ,如圖所示如圖所示. .111111131:M 0,0,0 ,N( ,0, ),A(0,0),B (,0,1),24221113MN( ,0, ),AB(,1),24221131MN AB()0 (

14、)10,2224MNAB ,ABMN. 那么類型類型 二二 利用空間向量處理線面垂直問題利用空間向量處理線面垂直問題【典型例題典型例題】1.1.如圖如圖, ,正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F(xiàn) F，G G分別是分別是B B1 1B B，ABAB，BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .證明證明:D:D1 1FF平面平面AEG.AEG.2.2.如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，側(cè)棱是正方形，側(cè)棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中點(diǎn)，作的中點(diǎn)，作E

15、FPBEFPB交交PBPB于點(diǎn)于點(diǎn)F.F.(1)(1)證明：證明：PAPA平面平面EDB.EDB.(2)(2)證明：證明：PBPB平面平面EFD.EFD.【解題探究解題探究】1.1.應(yīng)用向量法證明線面垂直時(shí)，常常把線面垂直應(yīng)用向量法證明線面垂直時(shí)，常常把線面垂直的問題轉(zhuǎn)化為哪一類問題來解決？的問題轉(zhuǎn)化為哪一類問題來解決？2.2.題題2 2中由已知條件應(yīng)如何建系更簡(jiǎn)便，依據(jù)是什么？中由已知條件應(yīng)如何建系更簡(jiǎn)便，依據(jù)是什么？探究提示：探究提示：1.1.應(yīng)用向量法證明線面垂直，常常把證明線面垂直的問題轉(zhuǎn)化應(yīng)用向量法證明線面垂直，常常把證明線面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直的問題為證明線線垂直的問題.

16、.2.2.由由PDPD底面底面ABCDABCD，由底面，由底面ABCDABCD是正方形可知，應(yīng)以是正方形可知，應(yīng)以D D為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，以以DA,DC,DPDA,DC,DP所在直線分別為所在直線分別為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸建系更簡(jiǎn)便軸建系更簡(jiǎn)便. .【解析解析】1.1.方法一方法一: :1AB,AD,AA, 設(shè)abc1111111111D FD AA AAFADAAAB,2211AGABBGABBC,2211AEABBEABBB,2211D F AG() ()0,22D F 則abcabacabcab11111AGD FAG.11D F AE() ()0,22D FAE,D FA

17、E,AEAGA,D FAEG. ，即即又平面abcac方法二方法二: :以以D D為原點(diǎn)，分別以為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)閤 x軸，軸，y y軸，軸，z z軸軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1 1，則：，則：D D1 1FAG,DFAG,D1 1FAE,FAE,又又AGAE=A,AGAE=A,DD1 1FF平面平面AEG.AEG.111111111D0,0,1 ,F(1,0),A 1,0,0 ,G( ,1,0),E(1,1, ),222111D F(1, 1),AG(,1,0),AE(0,1, ),2221111D F AG00,D

18、FAG,D F AE00,2222D FAE, 1DA,DC,DD 方法三方法三: :以以D D為原點(diǎn)，為原點(diǎn)， 的方向分別為的方向分別為x x軸，軸，y y軸軸,z,z軸的軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1 1，則，則設(shè)平面設(shè)平面AEGAEG的法向量的法向量n=(x,y,z)=(x,y,z)，則：，則：取取y=1,y=1,則則x=2,z=-2,x=2,z=-2,n=(2,1,-2),=(2,1,-2), 平面平面AEG,AEG,即即D D1 1FF平面平面AEG.AEG.11111D 0,0,1 ,F(1,0),A 1,0,0 ,G( ,1

19、,0),E(1,1, ).222111D F(1, 1),AG(,1,0),AE(0,1, ),222 1xy0,AG0 x2y,21z2y,AE0yz0,2 ，即，nn111D F,D F.2nn1D F1DA,DC,DD 2.2.如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D D為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn). .設(shè)設(shè)DC=a.(DC=a.(也也可設(shè)可設(shè)DC=1)DC=1)(1)(1)連接連接ACAC，交，交BDBD于于G G，連接，連接EG.EG.依題意得依題意得 底面底面ABCDABCD是正方形，是正方形，G G是此正方形的中心，故點(diǎn)是此正方形的中心，故點(diǎn)G G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為這表明

20、這表明PAEG.PAEG.PAPA平面平面EDB.EDB.aaPAa,0, aEG(0)PA2EG.22 且， ，a aA a,0,0 ,P 0,0,a ,E(0, )2 2，a a( ,0)2 2，EGEDBPAEDB而平面，且平面，(2)(2)依題意得依題意得B(a,a,0),B(a,a,0),PBDE,PBDE,由已知由已知EFPBEFPB，且，且EFDE=EEFDE=E，所以，所以PBPB平面平面EFD.EFD.a aPBa,a, a .DE(0, ),2 2 又，22aaPB DE0022 故，【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】若題若題1 1中的條件不變中的條件不變, ,試證明試證明:A:A1 1

21、CC平面平面C C1 1BD.BD.【解題指南解題指南】選擇正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐選擇正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系后標(biāo)系后, ,可以求出平面可以求出平面C C1 1BDBD內(nèi)兩條相交直線的方向向量?jī)?nèi)兩條相交直線的方向向量, ,或求或求出平面出平面C C1 1BDBD的法向量的法向量. .【證明證明】以以D D為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，DA,DC,DDDA,DC,DD1 1所在直線分別為所在直線分別為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2 2，則，則D(0D(0，0 0，0)0)，B(2B(2，2 2，0)

22、0)，C C1 1(0(0，2 2，2),A2),A1 1(2(2，0 0，2)2)，C(0C(0，2 2，0),0),設(shè)平面設(shè)平面C C1 1BDBD的法向量是的法向量是n=(x,y,z)=(x,y,z)，取取y=-1,y=-1,則則n=(1=(1，-1-1，1)1)， A A1 1CC平面平面C C1 1BD.BD.11A C2 22 DB2 2 0 DC0 2 2 . ， ， ， ， ，11DBDCDB2x2y0 xyzyDC2y2z0 則，解得，nnnn11A C2A C ，nn【拓展提升拓展提升】用向量法證明線面垂直的方法與步驟用向量法證明線面垂直的方法與步驟(1)(1)基向量法基向

23、量法. .確定基向量作為空間的一個(gè)基底確定基向量作為空間的一個(gè)基底, ,用基向量表示有關(guān)直線的用基向量表示有關(guān)直線的方向向量方向向量; ;找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量找出平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量, ,并分別用基向量表示并分別用基向量表示; ;分別計(jì)算有關(guān)直線的方向向量與平面內(nèi)相交直線的方向向分別計(jì)算有關(guān)直線的方向向量與平面內(nèi)相交直線的方向向量的數(shù)量積量的數(shù)量積, ,根據(jù)數(shù)量積為根據(jù)數(shù)量積為0,0,證得線線垂直證得線線垂直, ,然后由線面垂直然后由線面垂直的判定定理得出結(jié)論的判定定理得出結(jié)論. .(2)(2)坐標(biāo)法坐標(biāo)法. .方法一方法一: :建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系; ;將

24、直線的方向向量用坐標(biāo)表示將直線的方向向量用坐標(biāo)表示; ;找出平面內(nèi)兩條相交直線找出平面內(nèi)兩條相交直線, ,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量并用坐標(biāo)表示它們的方向向量; ;分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積, ,得到數(shù)量積為得到數(shù)量積為0;0;方法二方法二: :建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系; ;將直線的方向向量用坐標(biāo)表示將直線的方向向量用坐標(biāo)表示; ;求出平面的法向量求出平面的法向量; ;判斷直線的方向向量與平面的法向量平行判斷直線的方向向量與平面的法向量平行. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E

25、，F(xiàn) F分別是分別是BBBB1 1，D D1 1B B1 1的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：EFEF平面平面B B1 1AC.AC.【證明證明】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2 2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則系，則A(2A(2，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，B B1 1(2(2，2 2，2)2)，E(2E(2，2 2，1)1)，F(xiàn)(1F(1，1 1，2)2)，EFABEFAB1 1，EFAC.EFAC.又又ABAB1 1AC=A,AC=A,EFEF平面平面B B1 1AC.AC. 11EF11 22 21111AB2 2 22 0 00 2

26、2AC0 2 02 0 02 2 0 .EF AB1110 2 21012 1 20EF AC1112 2 02200 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，而， ， ， ， ，類型類型 三三 利用空間向量處理面面垂直問題利用空間向量處理面面垂直問題【典型例題典型例題】1.1.在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求證：平面中，求證：平面BDDBDD1 1B B1 1平面平面ACBACB1 1. .2.2.在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AAAA1 1平面平面ABCABC，ABBCABBC，AB=BC

27、=2AB=BC=2，AAAA1 1=1=1，E E為為BBBB1 1的中點(diǎn)，求證：平面的中點(diǎn)，求證：平面AECAEC1 1平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.【解題探究解題探究】1.1.若兩個(gè)平面垂直若兩個(gè)平面垂直, ,其法向量有何位置關(guān)系？若其法向量有何位置關(guān)系？若兩個(gè)平面的法向量相互垂直兩個(gè)平面的法向量相互垂直, ,這兩個(gè)平面的位置關(guān)系如何？這兩個(gè)平面的位置關(guān)系如何？2.2.平面的法向量與該平面的垂線有何關(guān)系？平面的法向量與該平面的垂線有何關(guān)系？探究提示：探究提示：1.1.若兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量也垂直；反過來若兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量也垂直；反過來說，若兩個(gè)平

28、面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面也垂直說，若兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面也垂直. .2.2.一個(gè)平面的法向量與該平面垂線的方向向量平行，所以有一個(gè)平面的法向量與該平面垂線的方向向量平行，所以有時(shí)若已知一個(gè)平面的垂線，則可以直接觀察得到這個(gè)平面的時(shí)若已知一個(gè)平面的垂線，則可以直接觀察得到這個(gè)平面的法向量法向量. .【解析解析】1.1.如圖所示如圖所示 ，以，以D D為原點(diǎn)，分別以為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DDDA,DC,DD1 1所在的所在的直線為直線為x,y,zx,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1 1，則則A(1A(1，0 0，0)0)，C

29、(0C(0，1 1，0)0)，B B1 1(1(1，1 1，1),1),11AB011 CB101 ， ， ，設(shè)平面設(shè)平面ACBACB1 1的法向量為的法向量為n=(x,y,z)=(x,y,z)，令令z=-1z=-1，則，則x=y=1,x=y=1,n=(1=(1，1 1，-1).-1).同理可以得到平面同理可以得到平面BDDBDD1 1B B1 1的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為m=(-1=(-1，1 1，0)0)，nm=-1+1=0,=-1+1=0,nm，平面平面BDDBDD1 1B B1 1平面平面ACBACB1 1. .11yz0,AB0 CB0 xz0, 則，即nn2.2.由題意知直線由題

30、意知直線ABAB，BCBC，B B1 1B B兩兩垂直，以兩兩垂直，以B B為原點(diǎn)，分別以為原點(diǎn)，分別以BABA，BCBC，BBBB1 1所在直線為所在直線為x x，y y，z z軸，建立如圖所示的空間直軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則角坐標(biāo)系，則A(2A(2，0 0，0)0)，A A1 1(2(2，0 0，1)1)，C(0C(0，2 2，0)0)，C C1 1(0(0，2 2，1)1)，11AA0 01 AC2 2 0 AC2 211AE( 2 0).2 ， ， ， ， ， ，1E(0 0)2， ， ，設(shè)平面設(shè)平面AAAA1 1C C1 1C C的法向量為的法向量為n1 1=(x,y,z

31、),=(x,y,z),令令x=1,x=1,得得y=1y=1，n1 1=(1,1,0).=(1,1,0).設(shè)平面設(shè)平面AECAEC1 1的法向量為的法向量為n2 2=(a,b,c)=(a,b,c)，令令c=4c=4，得，得a=1,b=-1,a=1,b=-1,n2 2=(1=(1，-1-1，4).4).n1 1n2 2=1=11+11+1(-1)+0(-1)+04=04=0，n1 1n2 2，平面平面AECAEC1 1平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.111AA0,z0,2x2y0.AC0, 則nn2122a2bc0,AC0,12ac0.AE0,2 則nn【拓展提升拓展提升】1.1.利用空

32、間向量證明面面垂直的方法利用空間向量證明面面垂直的方法(1)(1)利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題. .(2)(2)直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直得到兩個(gè)平面垂直. .2.2.向量法證明空間幾何問題的兩種基本思路向量法證明空間幾何問題的兩種基本思路思路一：用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；思路一：用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；思路二：用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步思路二

33、：用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步: :(1)(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量( (或坐標(biāo)或坐標(biāo)) )表表示問題中所涉及的量，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題示問題中所涉及的量，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題. .(2)(2)通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系. .(3)(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】如圖所示，在直三棱柱如圖所示，在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，BAC=90BAC=90,A

34、B=AC=a,AB=AC=a，AAAA1 1=b=b，點(diǎn)，點(diǎn)E E，F(xiàn) F分別在棱分別在棱BBBB1 1，CCCC1 1上，上， 當(dāng)平面當(dāng)平面AEFAEF平面平面A A1 1EFEF時(shí)，時(shí)，求求的值的值. .11111bBEBBC FCC .33a 且，設(shè)【解析解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.Axyz.則由題意可知?jiǎng)t由題意可知設(shè)平面設(shè)平面AEFAEF的法向量為的法向量為n1 1=(x,y,z),=(x,y,z),則則 即即 令令z=1z=1，b2bb2bA 0 0 0E(a,0, ),F(0,a,),AE(a,0, ),AF(0,a,).3333 ， ，

35、 ，11AE0AF0, 且nnbz2bzax0ay0.33且b2bxy.3a3a 得，1b2b2(,1)(,1).3a3a33 n同理可得平面同理可得平面A A1 1EFEF的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 平面平面AEFAEF平面平面A A1 1EFEF，n1 1n2 2=0,=0,解得解得 ( (負(fù)值舍去負(fù)值舍去).).當(dāng)平面當(dāng)平面AEFAEF平面平面A A1 1EFEF時(shí)，時(shí)， 22bb2(,1)(,1).3a 3a33 n222210,99 32 3.2 【規(guī)范解答規(guī)范解答】空間垂直關(guān)系的探索性問題空間垂直關(guān)系的探索性問題【典例典例】 【條件分析條件分析】【規(guī)范解答規(guī)范解答】如圖，以如圖，

36、以D D為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，DA,DC,DDDA,DC,DD1 1所在的直線分別為所在的直線分別為x x軸、軸、y y軸、軸、z z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1 1，P(0P(0，1 1，a)a)，則，則D(0D(0，0 0，0)0)，A A1 1(1(1，0 0，1)1)，B B1 1(1(1，1 1，1)1)， 2 2分分 4 4分分設(shè)平面設(shè)平面A A1 1B B1 1P P的法向量為的法向量為n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，111111E(10)C (011)21A B010 A P1,1,a1 DE(10) D

37、C011 .2 ， ， ， ， ， ， ，111111111111y0 xya1 zA B0,A P0,xa1 z ,y0.0，則nn設(shè)平面設(shè)平面C C1 1DEDE的法向量為的法向量為n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )，令令y y2 2=1,=1,得得x x2 2=-2=-2，z z2 2=-1=-1，n2 2=(-2,1,-1).=(-2,1,-1).平面平面A A1 1B B1 1PP平面平面C C1 1DEDE，n1 1n2 2=0=0，即，即-2(a-1)-1=0-2(a-1)-1=0，得，得 當(dāng)當(dāng)P P為為CCCC1 1的中點(diǎn)時(shí)，平面的中點(diǎn)時(shí)，平面A A1

38、 1B B1 1PP平面平面C C1 1DE. DE. 1212分分222222222211xyDE0,x2y ,zy ,DC0,0,2yz0, 則即nn1a,2令令z z1 1=1=1，得，得x x1 1=a-1,=a-1,n1 1=(a-1,0,1). =(a-1,0,1). 8 8分分【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】1.1.建立坐標(biāo)系的技巧方法建立坐標(biāo)系的技巧方法在圖形中盡量尋找三條兩兩垂直的直線，建立坐標(biāo)系，且使在圖形中盡量尋找三條兩兩垂直的直線，建立坐標(biāo)系，且使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，如本例的建系方法盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，如本例的建系方法. .2.2.挖掘題目的隱含條件挖掘

39、題目的隱含條件對(duì)于題目的隱含條件要深刻挖掘、充分利用，如本例中點(diǎn)對(duì)于題目的隱含條件要深刻挖掘、充分利用，如本例中點(diǎn)P P坐坐標(biāo)的設(shè)法標(biāo)的設(shè)法. .3.3.精心計(jì)算，切實(shí)避免出錯(cuò)精心計(jì)算，切實(shí)避免出錯(cuò)用向量中的坐標(biāo)法解決立體幾何問題，運(yùn)算出錯(cuò)常常會(huì)導(dǎo)致用向量中的坐標(biāo)法解決立體幾何問題，運(yùn)算出錯(cuò)常常會(huì)導(dǎo)致整個(gè)題目不得分，如本例中坐標(biāo)的求解整個(gè)題目不得分，如本例中坐標(biāo)的求解. . 【類題試解類題試解】已知四棱錐已知四棱錐S-ABCDS-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，是正方形，SASA平面平面ABCDABCD，且，且SA=ABSA=AB，點(diǎn)，點(diǎn)E E為為SCSC的中點(diǎn)，在線段的中點(diǎn)

40、，在線段SDSD上是否上是否存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)F F，使平面，使平面AEFAEF平面平面SCDSCD？【解析解析】假設(shè)在線段假設(shè)在線段SDSD上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)F F，使平面，使平面AEFAEF平面平面SCDSCD，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyzAxyz，設(shè)設(shè)SA=AB=1SA=AB=1，則，則A(0,0,0),S(0A(0,0,0),S(0，0 0，1)1)，C(1C(1，1 1，0)0)，D(0D(0，1 1，0)0)，1 1 11 1 1E()SC111 SD011 AE().2 2 22 2 2 ， ， ， ，設(shè)平面設(shè)平面SCDSCD的法向量為的法向量

41、為n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，令令z z1 1=1=1，得，得y y1 1=1=1，x x1 1=0,=0,即即n1 1=(0,1,1).=(0,1,1).設(shè)平面設(shè)平面AEFAEF的法向量為的法向量為n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2), ), SFSDSF0,AFSFSA0, ,(0,0, 1)0, ,1. 設(shè)，即，1111111SCxyz0,SDyz0, 則nn2222222111AExyz0,222AFy1z0, 則nn令令z z2 2=1=1，則，則 令令n1 1n2 2=0,=0,故在線段故在線段SDSD上存在中點(diǎn)上存在中點(diǎn)F F

42、，使平面，使平面AEFAEF平面平面SCD. SCD. 22112yx ，212121(,1),12121011 1. 所以nn n211110,.SF(0,)2221SD011SFSD.2 即解得此時(shí)，又， ，故1.1.設(shè)直線設(shè)直線a a與與b b的一個(gè)方向向量分別為的一個(gè)方向向量分別為若若abab，則，則x x的值為的值為( )( )【解析解析】選選D.D.a abb，ab，即，即ab 解得解得1(13)x,1, 22，ab13x.21x60,221313A.2 B. C. D.3222.2.設(shè)直線設(shè)直線l的一個(gè)方向向量為的一個(gè)方向向量為 平面平面的法向量的法向量為為 則則( )( )A.

43、A.l B. B.l C. C.l與與斜交斜交 D.D.無法判定無法判定【解析解析】選選B.B.3 193133( ,)(1, ,),2 242322na13(1)32，a3 19()2 24，n,. nal3.3.若平面若平面,且平面且平面的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 則平面則平面的法向量可以是的法向量可以是( )( ) B.(2 B.(2，-1-1，0)0)C.(1,2,0) C.(1,2,0) 【解析解析】選選C.C.向量向量n與向量與向量(1(1，2 2，0)0)相互垂直，故相互垂直，故.1 1A.( 1)2 4 ，1D.( ,1,2)21( 2,1, ),2 n1( 21) 1 2 022002 ， ， ，4.4.在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，