韋達(dá)定理應(yīng)用(資料)精編版

1、韋達(dá)定理的應(yīng)用一、典型例題例 1：已知關(guān)于x 的方程 2x（ m 1） x 1 m=0的一個(gè)根為4，求另一個(gè)根。解：設(shè)另一個(gè)根為x1，則相加，得x例 2：已知方程x 5x 8=0 的兩根為x1，x2，求作一個(gè)新的一元二次方程，使它的兩根分別為和.解：又代入得，新方程為例 3：判斷是不是方程9x 10x2=0 的一個(gè)實(shí)數(shù)根？解：二次實(shí)數(shù)方程實(shí)根共軛，若是，則另一根為，。以為根的一元二次方程即為.1例 4：解方程組解：設(shè).A=5. x-y=5又 xy=-6.解方程組可解得例 5：已知 RtABC中，兩直角邊長(zhǎng)為方程x（ 2m 7） x4m（ m2） =0 的兩根，且斜邊長(zhǎng)為 13，求 S的值解：不

2、妨設(shè)斜邊為C=13，兩條直角邊為a， b，則 2。又 a， b 為方程兩根。ab=4m（ m-2）S但 a， b 為實(shí)數(shù)且m=5或 6當(dāng) m=6時(shí)，m=5 S.例 6： M為何值時(shí)，方程8x（ m 1） xm 7=0 的兩根均為正數(shù)均為負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)一根為零互為倒數(shù)解： m>72不存在這樣的情況。 m<7 m=7 m=15.但使不存在這種情況【模擬試題】（答題時(shí)間：30 分鐘）1. 設(shè) n 為方程 x mxn=0（ n0）的一個(gè)根，則 m n 等于2.已知方程x px q=0 的一個(gè)根為 2，可求得 p= ,q=3.若方程 x mx 4=0 的兩根之差的平方為48，則 m的

3、值為（）A± 8 B.8 C.8 D. ±44.已知兩個(gè)數(shù)的和比a 少 5，這兩個(gè)數(shù)的積比a 多 3，則 a 為何值時(shí)，這兩個(gè)數(shù)相等？5.已知方程（ a 3） x 1=ax 有負(fù)數(shù)根，求a 的取值范圍。36.已知方程組的兩組解分別為，求代數(shù)式a1b2+a2b1 的值。7.ABC中，AB=AC，A ，B，C 的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 a=3,b 和 c 是關(guān)于 x 的方程 x mx2m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求ABC的周長(zhǎng)?！驹囶}答案】1. 1 2. 4 ， 1 3. A 4. a=1或 135. 3 a 2 提示：分 a= 3 以及 a 3 討論求解6. 13例 1 已知 p

4、q198 ，求方程 x2 pxq 0 的整數(shù)根( 94祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為x1、 x2，不妨設(shè) x1x2由韋達(dá)定理，得x1 x2 p，x1x2 q于是 x1x2 (x1 x2) p q 198 ，即 x1x2 x1 x21199 (x1 1)(x2 1)199 注意到 x11、x2 1 均為整數(shù)，解得 x1 2，x2 200 ；x1 198 ， x20例 2 已知關(guān)于 x 的方程 x2(12 m)x m1 0 的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求 m 的值解：設(shè)方程的兩個(gè)正整數(shù)根為x1、x2 ，且不妨設(shè) x1x2由韋達(dá)定理得4x1 x2 12m ，x1x2 m1于是 x1x2 x1

5、 x2 11，即 (x1 1)(x2 1)12 x1、 x2 為正整數(shù)，解得 x1 1，x2 5； x12，x2 3故有 m 6 或 7例 3 求實(shí)數(shù) k，使得方程 kx2 (k 1)x (k1) 0 的根都是整數(shù)解：若 k 0，得 x1 ，即 k 0 符合要求若 k0，設(shè)二次方程的兩個(gè)整數(shù)根為 x1、 x2 ，由韋達(dá)定理得 x1x2 x1 x22 ，(x11)(x2 1)3 因?yàn)?x1 1、x2 1 均為整數(shù)，所以例 4 已知二次函數(shù) y x2 pxq 的圖像與 x 軸交于 ( ，0)、 ( ，0)兩點(diǎn)，且1，求證： p q1( 97四川省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)證明：由題意，可知方程x2 px

6、q0 的兩根為 、由韋達(dá)定理得p， q于是 pq， ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1(因 1)一元二次方程根的判別式、 判別式與根的個(gè)數(shù)關(guān)系、 判別式與根、 韋達(dá)定理及其逆定理大綱要求1.掌握一元二次方程根的判別式，會(huì)判斷常數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況。對(duì)含有字母系數(shù)的由一元二次方程，會(huì)根據(jù)字母的取值范圍判斷根的情況， 也會(huì)根據(jù)根的情況確定字母的取值范圍；2.掌握韋達(dá)定理及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；3.會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式分解因式；54.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理分析解決一些簡(jiǎn)單的綜合性問(wèn)題。內(nèi)容分析1.一元二次方程的根的判別式一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的根的判別

7、式 b2-4ac 0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng) 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng) 0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根2. 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個(gè)根是 x1， x2，那么 x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a(2)如果方程 x2+px+q=0 的兩個(gè)根是 x1 ，x2 ，那么 x1+x2=-P ，x1x2=q (3) 以 x1，x2 為根的一元二次方程 (二次項(xiàng)系數(shù)為 1) 是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 3. 二次三項(xiàng)式的因式分解 ( 公式法 ) 在分解二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c 的因式時(shí)，如 果 可 用 公 式 求 出

8、 方 程ax2+bx+c=0的 兩 個(gè) 根 是x1,x2 ， 那 么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 考查重點(diǎn)與常見題型1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況， 有關(guān)試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中，如：關(guān)于 x 的方程 ax2 2x10 中，如果 a<0 ，那么根的情況是（）（ A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （ B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（ C）沒有實(shí)數(shù)根 （ D）不能確定2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值， 有關(guān)問(wèn)題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如：設(shè) x1， x2 是方程 2x2 6x 3 0 的兩根，則 x12 x22 的值是（ ）（

9、A）15 （B）12 （C）6 （D）33在中考試題中常出現(xiàn)有關(guān)根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的綜合解答題。在近三年試題中又出現(xiàn)了有關(guān)的開放探索型試題， 考查了考生分析問(wèn)題、 解決問(wèn)題的能力?？疾轭}型1關(guān)于 x 的方程 ax2 2x 1 0 中，如果 a<0 ，那么根的情況是（）（ A）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（ B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（ C）沒有實(shí)數(shù)根（ D）不能確定2設(shè) x1， x2 是方程 2x2 6x 3 0 的兩根，則 x12 x22 的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）363下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）（ A） 2y2+5=6y （B）x2+5=25 x（ C）

10、3 x22 x+2=0（D）3x2 26 x+1=04以方程 x22x 30 的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是（）（ A） y2+5y 6=0 （B）y2+5y 6=0 （C）y25y 6=0 （D）y2 5y6=0 5如果 x1 ，x2 是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足 x12 2x1 1， x22 2x2 1，那么 x1?x2 等于（ ） （ A ）2 （ B） 2 （C）1 （D） 1 6如果一元二次方程 x2 4x k20 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么 k7如果關(guān)于 x 的方程 2x2 (4k+1)x 2 k2 10 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 那么k 的取值范圍是8已知 x1 ，x2 是方程

11、2x27x 40 的兩根，則 x1 x2 ，x1?x2 ，（x1 x2）2 9若關(guān)于 x 的方程 (m2 2)x2 (m 2)x 1 0 的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則 m二、考點(diǎn)訓(xùn)練：1、 不解方程，判別下列方程根的情況：（1）x2x=5 (2)9x2 6 2 +2=0 (3)x2 x+2=02、 當(dāng) m= 時(shí)，方程 x2+mx+4=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng) m= 時(shí)，方程 mx2+4x+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；3、 已知關(guān)于 x 的方程 10x2 (m+3)x+m 7=0，若有一個(gè)根為0，則 m= ，這時(shí)方程的另一個(gè)根是 ；若兩根之和為 3/5 ，則 m=，這時(shí)方程的兩個(gè)根為 . 4、已知

12、32是方程 x2+mx+7=0 的一個(gè)根，求另一個(gè)根及m 的值。5、 求證：方程 (m2+1)x2 2mx+(m2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。6、 求作一個(gè)一元二次方程使它的兩根分別是15和 1+5。7、設(shè) x1,x2 是方程 2x2+4x 3=0 的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2（3）x12+ x1x2+2 x1解題指導(dǎo)1、 如果 x2 2(m+1)x+m2+5 是一個(gè)完全平方式，則 m= ;2、 方程 2x(mx 4)=x2 6 沒有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù) m= ;3、 已知方程 2(x 1)(x 3m)=x(m 4)兩根的

13、和與兩根的積相等，則 m= ;4、 設(shè)關(guān)于 x 的方程 x2 6x+k=0 的兩根是 m 和 n，且 3m+2n=20 ，則 k 值為 ;5、 設(shè)方程 4x2 7x+3=0 的兩根為 x1,x2 ，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1 x2 （3） x1 x2 （ 4） x1x22 12 x17 6.實(shí)數(shù) s、t 分別滿足方程 19s2 99s 1 0 和且 1999t t2 0 求代數(shù)式 (st 4s1)/t 的值。7. 已知 a 是實(shí)數(shù)，且方程 x2+2ax+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)根，試判別方程 x2+2ax+1 (1/2) (a2x2 a2 1)=0 有無(wú)實(shí)根？

14、8. 求證：不論 k 為何實(shí)數(shù)，關(guān)于 x 的式子 (x1)(x 2)k2 都可以分解成兩個(gè)一次因式的積。9實(shí)數(shù) K 在什么范圍取值時(shí)，方程 kx2 2（ k 1）x（ K1） 0 有實(shí)數(shù)正根？獨(dú)立訓(xùn)練（一）1、 不解方程，請(qǐng)判別下列方程根的情況；(1)2t2+3t 4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1) 7u=0, ;2、 若方程 x2 (2m 1)x+m2+1=0 有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是;3、 一元二次方程 x2+px+q=0 兩個(gè)根分別是 2+ 3 和 2 3 ，則 p= ,q= ;4、 已知方程 3x2 19x+m=0 的一個(gè)根是 1，那么它的另一個(gè)根

15、是，m= ;5、 若方程 x2+mx 1=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么m 的值是;6、m,n 是關(guān)于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式 mn= 。7、 已知關(guān)于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求 k 的值 ;8、 如果 和 是方程 2x2+3x 1=0 的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別等于+(1/ 和) +(1/ ) ;9、 已知 a,b,c 是三角形的三邊長(zhǎng)，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：這個(gè)三角形是正三角形10. 取什么實(shí)數(shù)時(shí)，二次

16、三項(xiàng)式 2x2 (4k+1)x+2k2 1 可因式分解 .11.已知關(guān)于 X 的一元二次方程m2x2 2（3m） x 1 0 的兩實(shí)數(shù)根為 , ，若 s1/ 1/ ，求 s 的取值范圍。獨(dú)立訓(xùn)練（二）1、 已知方程 x23x+1=0 的兩個(gè)根為 , ，則 + = , = ;2、 如果關(guān)于 x 的方程 x2 4x+m=0 與 x2x2m=0 有一個(gè)根相同，則 m 的值為 ;3、 已知方程 2x2 3x+k=0 的兩根之差為2又1/2，則 k= ;4、 若方程 x2+(a2 2)x 3=0 的兩根是 1和 3，則 a= ;5、 方程 4x2 2(a-b)x ab=0 的根的判別式的值是;6、若關(guān)于 x 的方程 x2+2(m 1)x+4m2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么 m 的值為 ;7、 已知 p<0,q<0 ，則一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情況是 ;8、 以方程 x2 3x 1=0 的兩個(gè)根的平方為根的一元二次方程是;9、 設(shè) x1,x2 是方程 2x2 6x+3=0