韋達定理應用(資料)精編版

1、韋達定理的應用一、典型例題例 1：已知關于x 的方程 2x（ m 1） x 1 m=0的一個根為4，求另一個根。解：設另一個根為x1，則相加，得x例 2：已知方程x 5x 8=0 的兩根為x1，x2，求作一個新的一元二次方程，使它的兩根分別為和.解：又代入得，新方程為例 3：判斷是不是方程9x 10x2=0 的一個實數根？解：二次實數方程實根共軛，若是，則另一根為，。以為根的一元二次方程即為.1例 4：解方程組解：設.A=5. x-y=5又 xy=-6.解方程組可解得例 5：已知 RtABC中，兩直角邊長為方程x（ 2m 7） x4m（ m2） =0 的兩根，且斜邊長為 13，求 S的值解：不

2、妨設斜邊為C=13，兩條直角邊為a， b，則 2。又 a， b 為方程兩根。ab=4m（ m-2）S但 a， b 為實數且m=5或 6當 m=6時，m=5 S.例 6： M為何值時，方程8x（ m 1） xm 7=0 的兩根均為正數均為負數一個正數，一個負數一根為零互為倒數解： m>72不存在這樣的情況。 m<7 m=7 m=15.但使不存在這種情況【模擬試題】（答題時間：30 分鐘）1. 設 n 為方程 x mxn=0（ n0）的一個根，則 m n 等于2.已知方程x px q=0 的一個根為 2，可求得 p= ,q=3.若方程 x mx 4=0 的兩根之差的平方為48，則 m的

3、值為（）A± 8 B.8 C.8 D. ±44.已知兩個數的和比a 少 5，這兩個數的積比a 多 3，則 a 為何值時，這兩個數相等？5.已知方程（ a 3） x 1=ax 有負數根，求a 的取值范圍。36.已知方程組的兩組解分別為，求代數式a1b2+a2b1 的值。7.ABC中，AB=AC，A ，B，C 的對邊分別為a，b，c，已知 a=3,b 和 c 是關于 x 的方程 x mx2m=0的兩個實數根，求ABC的周長?！驹囶}答案】1. 1 2. 4 ， 1 3. A 4. a=1或 135. 3 a 2 提示：分 a= 3 以及 a 3 討論求解6. 13例 1 已知 p

4、q198 ，求方程 x2 pxq 0 的整數根( 94祖沖之杯數學邀請賽試題)解：設方程的兩整數根為x1、 x2，不妨設 x1x2由韋達定理，得x1 x2 p，x1x2 q于是 x1x2 (x1 x2) p q 198 ，即 x1x2 x1 x21199 (x1 1)(x2 1)199 注意到 x11、x2 1 均為整數，解得 x1 2，x2 200 ；x1 198 ， x20例 2 已知關于 x 的方程 x2(12 m)x m1 0 的兩個根都是正整數，求 m 的值解：設方程的兩個正整數根為x1、x2 ，且不妨設 x1x2由韋達定理得4x1 x2 12m ，x1x2 m1于是 x1x2 x1

5、 x2 11，即 (x1 1)(x2 1)12 x1、 x2 為正整數，解得 x1 1，x2 5； x12，x2 3故有 m 6 或 7例 3 求實數 k，使得方程 kx2 (k 1)x (k1) 0 的根都是整數解：若 k 0，得 x1 ，即 k 0 符合要求若 k0，設二次方程的兩個整數根為 x1、 x2 ，由韋達定理得 x1x2 x1 x22 ，(x11)(x2 1)3 因為 x1 1、x2 1 均為整數，所以例 4 已知二次函數 y x2 pxq 的圖像與 x 軸交于 ( ，0)、 ( ，0)兩點，且1，求證： p q1( 97四川省初中數學競賽試題)證明：由題意，可知方程x2 px

6、q0 的兩根為 、由韋達定理得p， q于是 pq， ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1(因 1)一元二次方程根的判別式、 判別式與根的個數關系、 判別式與根、 韋達定理及其逆定理大綱要求1.掌握一元二次方程根的判別式，會判斷常數系數一元二次方程根的情況。對含有字母系數的由一元二次方程，會根據字母的取值范圍判斷根的情況， 也會根據根的情況確定字母的取值范圍；2.掌握韋達定理及其簡單的應用；3.會在實數范圍內把二次三項式分解因式；54.會應用一元二次方程的根的判別式和韋達定理分析解決一些簡單的綜合性問題。內容分析1.一元二次方程的根的判別式一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的根的判別

7、式 b2-4ac 0 時，方程有兩個不相等的實數根當 0 時，方程有兩個相等的實數根，當 0 時，方程沒有實數根2. 一元二次方程的根與系數的關系(1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是 x1， x2，那么 x1+x2=-b/a ，x1x2=c/a(2)如果方程 x2+px+q=0 的兩個根是 x1 ，x2 ，那么 x1+x2=-P ，x1x2=q (3) 以 x1，x2 為根的一元二次方程 (二次項系數為 1) 是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 3. 二次三項式的因式分解 ( 公式法 ) 在分解二次三項式 ax2+bx+c 的因式時，如 果 可 用 公 式 求 出

8、 方 程ax2+bx+c=0的 兩 個 根 是x1,x2 ， 那 么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 考查重點與常見題型1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況， 有關試題出現在選擇題或填空題中，如：關于 x 的方程 ax2 2x10 中，如果 a<0 ，那么根的情況是（）（ A）有兩個相等的實數根 （ B）有兩個不相等的實數根（ C）沒有實數根 （ D）不能確定2.利用一元二次方程的根與系數的關系求有關兩根的代數式的值， 有關問題在中考試題中出現的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如：設 x1， x2 是方程 2x2 6x 3 0 的兩根，則 x12 x22 的值是（ ）（

9、A）15 （B）12 （C）6 （D）33在中考試題中常出現有關根的判別式、根與系數關系的綜合解答題。在近三年試題中又出現了有關的開放探索型試題， 考查了考生分析問題、 解決問題的能力?？疾轭}型1關于 x 的方程 ax2 2x 1 0 中，如果 a<0 ，那么根的情況是（）（ A）有兩個相等的實數根（ B）有兩個不相等的實數根（ C）沒有實數根（ D）不能確定2設 x1， x2 是方程 2x2 6x 3 0 的兩根，則 x12 x22 的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）363下列方程中，有兩個相等的實數根的是（）（ A） 2y2+5=6y （B）x2+5=25 x（ C）

10、3 x22 x+2=0（D）3x2 26 x+1=04以方程 x22x 30 的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（）（ A） y2+5y 6=0 （B）y2+5y 6=0 （C）y25y 6=0 （D）y2 5y6=0 5如果 x1 ，x2 是兩個不相等實數，且滿足 x12 2x1 1， x22 2x2 1，那么 x1?x2 等于（ ） （ A ）2 （ B） 2 （C）1 （D） 1 6如果一元二次方程 x2 4x k20 有兩個相等的實數根，那么 k7如果關于 x 的方程 2x2 (4k+1)x 2 k2 10 有兩個不相等的實數根， 那么k 的取值范圍是8已知 x1 ，x2 是方程

11、2x27x 40 的兩根，則 x1 x2 ，x1?x2 ，（x1 x2）2 9若關于 x 的方程 (m2 2)x2 (m 2)x 1 0 的兩個根互為倒數，則 m二、考點訓練：1、 不解方程，判別下列方程根的情況：（1）x2x=5 (2)9x2 6 2 +2=0 (3)x2 x+2=02、 當 m= 時，方程 x2+mx+4=0 有兩個相等的實數根； 當 m= 時，方程 mx2+4x+1=0 有兩個不相等的實數根；3、 已知關于 x 的方程 10x2 (m+3)x+m 7=0，若有一個根為0，則 m= ，這時方程的另一個根是 ；若兩根之和為 3/5 ，則 m=，這時方程的兩個根為 . 4、已知

12、32是方程 x2+mx+7=0 的一個根，求另一個根及m 的值。5、 求證：方程 (m2+1)x2 2mx+(m2+4)=0沒有實數根。6、 求作一個一元二次方程使它的兩根分別是15和 1+5。7、設 x1,x2 是方程 2x2+4x 3=0 的兩根，利用根與系數關系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2（3）x12+ x1x2+2 x1解題指導1、 如果 x2 2(m+1)x+m2+5 是一個完全平方式，則 m= ;2、 方程 2x(mx 4)=x2 6 沒有實數根，則最小的整數 m= ;3、 已知方程 2(x 1)(x 3m)=x(m 4)兩根的

13、和與兩根的積相等，則 m= ;4、 設關于 x 的方程 x2 6x+k=0 的兩根是 m 和 n，且 3m+2n=20 ，則 k 值為 ;5、 設方程 4x2 7x+3=0 的兩根為 x1,x2 ，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1 x2 （3） x1 x2 （ 4） x1x22 12 x17 6.實數 s、t 分別滿足方程 19s2 99s 1 0 和且 1999t t2 0 求代數式 (st 4s1)/t 的值。7. 已知 a 是實數，且方程 x2+2ax+1=0 有兩個不相等的實根，試判別方程 x2+2ax+1 (1/2) (a2x2 a2 1)=0 有無實根？

14、8. 求證：不論 k 為何實數，關于 x 的式子 (x1)(x 2)k2 都可以分解成兩個一次因式的積。9實數 K 在什么范圍取值時，方程 kx2 2（ k 1）x（ K1） 0 有實數正根？獨立訓練（一）1、 不解方程，請判別下列方程根的情況；(1)2t2+3t 4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1) 7u=0, ;2、 若方程 x2 (2m 1)x+m2+1=0 有實數根，則 m 的取值范圍是;3、 一元二次方程 x2+px+q=0 兩個根分別是 2+ 3 和 2 3 ，則 p= ,q= ;4、 已知方程 3x2 19x+m=0 的一個根是 1，那么它的另一個根

15、是，m= ;5、 若方程 x2+mx 1=0 的兩個實數根互為相反數，那么m 的值是;6、m,n 是關于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實數根，則代數式 mn= 。7、 已知關于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求 k 的值 ;8、 如果 和 是方程 2x2+3x 1=0 的兩個根，利用根與系數關系，求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別等于+(1/ 和) +(1/ ) ;9、 已知 a,b,c 是三角形的三邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實數根，求證：這個三角形是正三角形10. 取什么實數時，二次

16、三項式 2x2 (4k+1)x+2k2 1 可因式分解 .11.已知關于 X 的一元二次方程m2x2 2（3m） x 1 0 的兩實數根為 , ，若 s1/ 1/ ，求 s 的取值范圍。獨立訓練（二）1、 已知方程 x23x+1=0 的兩個根為 , ，則 + = , = ;2、 如果關于 x 的方程 x2 4x+m=0 與 x2x2m=0 有一個根相同，則 m 的值為 ;3、 已知方程 2x2 3x+k=0 的兩根之差為2又1/2，則 k= ;4、 若方程 x2+(a2 2)x 3=0 的兩根是 1和 3，則 a= ;5、 方程 4x2 2(a-b)x ab=0 的根的判別式的值是;6、若關于 x 的方程 x2+2(m 1)x+4m2=0 有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那么 m 的值為 ;7、 已知 p<0,q<0 ，則一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情況是 ;8、 以方程 x2 3x 1=0 的兩個根的平方為根的一元二次方程是;9、 設 x1,x2 是方程 2x2 6x+3=0