開普勒三大定律

1、隨著人類航天技術(shù)的飛速發(fā)展和 我國嫦娥繞月衛(wèi)星的發(fā)射成功， 以天體運(yùn)動(dòng)為載體的問 題一各成為 今后考查熱點(diǎn)。在現(xiàn)行的高中物 理教材中主要引用 了 開普勒三大 定律來描述了 天體的 運(yùn)動(dòng)的規(guī) 律，這三條定律的主要內(nèi)容如 下：創(chuàng)作：歐陽學(xué)時(shí)間:2021.03. 03(1) 所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。(2) 對(duì)任怠一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。(3) 所有行星的軌道半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值T2oJc至于行星繞太陽的軌道為何是橢圓以及T2中的常量 C與那些量相關(guān)并無說明。為了更深入的理解天體和人 造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律，本文

2、將以橢圓的性質(zhì)為基礎(chǔ)從理論上 推導(dǎo)開普勒定律。一、開普勒笫一定律1. 地球運(yùn)行的特點(diǎn)(1) 由于T電球始纟冬繞太陽運(yùn)動(dòng)，則太陽對(duì):ht球的萬 有弓I力的力矩始終為零，所以地球在運(yùn)動(dòng)過程中瑋動(dòng)量守恒。(2) 若把太陽與地球當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，由于萬有弓I力 為保守力且無夕卜力作用在這個(gè)系統(tǒng)上，所以系統(tǒng)機(jī)械矣巨守恒。2. 地球運(yùn)行軌跡分析地 球在有丿力場 中作平面運(yùn)動(dòng)且萬有引 力的作 用線始 纟冬通過太陽，所以建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則P點(diǎn)坐標(biāo) 為(r, e )o若太陽質(zhì)量為 M, 地球質(zhì)量為 m, 極徑為I時(shí)地球運(yùn) 行的運(yùn)行速度為vo當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行*速度與極徑1垂直時(shí)，貝片也球運(yùn)彳亍過程 中的甬動(dòng)-g-

3、 Z = mvr( 1 )若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零參考點(diǎn)，則引力勢能GMm3也球在運(yùn)行過程中的機(jī)械芳WGMm(2)(1)式代入(2)式得：2購八r(3)1 _ gW L 2 廝由式(3)得：r吐-彳十&*淤彳(4)由式(4)可知，當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行速度與極徑r垂直時(shí),地球運(yùn)行的極徑r有兩解，由于初始假設(shè)地球的運(yùn)行速度與極徑垂直，所以r為地球處在近日點(diǎn)牙口遠(yuǎn)日點(diǎn)品巨太陽的品巨離。考慮到:ht球的這兩個(gè)位宣在極坐標(biāo)系中分別相當(dāng)于COS0M-1弄口cos&=+1, 可扌巴式 (4) 中的土號(hào)改寫為更普遍的形式極坐標(biāo)方程。則地球的運(yùn)行軌跡方程為1 &佑1十J1十害L V G2Jl/

4、WI?(5)=(l + ecos<z?)I?(5)式與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程廠P吻合，其中P GMm1 (p為決定圓錐曲線的開口)，?- V + G2M2rn5 (e為偏心率，決定運(yùn)行軌跡的形狀)，所以3也球的5亍軌跡為圓錐曲線。由于Nt球繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)E<0, 則圓錐曲線的偏心率0<e <1, 所以地球繞太陽運(yùn)行的 軌跡為橢圓。3. 人造星體的變軌由于運(yùn)載火箭發(fā)射能力的局限，人造星體往往不能直 接由火箭送入最終運(yùn)行的空間軌道，若要使人造星體到達(dá) 預(yù)定的軌道，要在地面崖艮蹤測控網(wǎng)的跟蹤測控下，選擇合 適時(shí)機(jī)向衛(wèi)星上的發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)出點(diǎn)火指令使人造星體的速度 士曾加 （機(jī)械能增加）

5、，進(jìn)而達(dá)到改變衛(wèi)星運(yùn)行軌道的目 的。如圖所示最初人造星體直接由火箭送入近地軌道1, 此時(shí)一 21?, 偏心率e=0, 人造星體運(yùn)行的軌跡為圓；當(dāng)?shù)竭_(dá)A點(diǎn)時(shí)，人造星體發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，此時(shí)2亡 <E<0,偏心率0<e< 1,運(yùn)行的軌跡為橢圓軌道2;當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)，人造星體發(fā)動(dòng)機(jī)再次點(diǎn)火，當(dāng)電=孕加§-21? 時(shí)，偏心率e=0, 人造星體將在圓軌道3上運(yùn)行；當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)人造星發(fā)動(dòng)機(jī)再次點(diǎn)火，人造星體將在 開口更大的橢圓軌道4上運(yùn)動(dòng)，人造星體將離地球越來越 遠(yuǎn)，當(dāng)?shù)厍驅(qū)λ墓璉力小于其它星體對(duì)它的引力時(shí)，人造 星體將脫離地球的束縛奔向其它星體（如嫦娥一號(hào)衛(wèi) 星）。二、開普勒

6、笫二定律行星繞太陽的軌道為橢圓，若在時(shí)刻t行星位于 A點(diǎn)，經(jīng)dt時(shí)間后行星位于點(diǎn)B, 在此時(shí)間內(nèi)行星的極徑r轉(zhuǎn)過的甬度為de ,則 AOB所田的面積dS = -r2d&2 (1)as i 2 舶 1 2二一f 二一r (D(1)式除以dt有必 2 dt2(2)由于甬動(dòng)量Z =解=加尸皿(3)的12Z=mr (3)式代入(2)式得必2加2m由于L是恒量，所以單位時(shí)間內(nèi)極徑所掃過的面積適也是恒量。所以地球在近日點(diǎn)運(yùn)行的快，在遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行 的慢。如圖人造星體從軌道1變化到軌道3的過程中，若 點(diǎn)火前后A、B兩點(diǎn)的速度分別為Vi. V2. V3. V4,則點(diǎn)火 前后速度Vi<V2, V3VV

7、4;在橢圓軌道3上A、B兩點(diǎn)分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，則速度 V2>V3；由于人造星體在軌道1。軌道3上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以Vi>V4;故V2>Vi>V4>V3o三、開普勒笫三定律行星繞太陽運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的面積，根據(jù)橢圓的性質(zhì)則 橢圓的面積S = mb (a為長軸，b為短軸)由于單位時(shí)間內(nèi)極徑所掃過的面積不S2m7Jbtb邑=三=Ldt 2m根據(jù)橢圓的性質(zhì)利開普勒第一定律，半長軸° =如+心=”工2） （2）式得嚴(yán)二創(chuàng)偽2吩_訂）（2）式代入（1）式嚴(yán) _ 47?臨%2護(hù)得 -?一 G滋/2（1旳（3）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓的半短軸色=。/匚則於=即（1_旳式（4）代入（3）式得廬一而一匚由此式可知繞同一 中丿天體運(yùn)行的 人造星體軌道半長軸 的 三次方崖艮它們 的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值由中丿天體的質(zhì)量所決定。例 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為T,如圖所示如果飛船要返回地面，可在軌道上的某點(diǎn)A 將速度降低到適當(dāng)?shù)臄?shù)值，從而丁吏飛船沿著地為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行