壓軸：圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=2x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，四邊形ABCO是平行四邊形，直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D（1）求m的值；（2）點(diǎn)P(0，t)是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與0，B兩點(diǎn)重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，分別交AB，0c，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G設(shè)線段EG的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式 (直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍)； （3）在（2）的條件下，點(diǎn)H是線段OB上一點(diǎn)，連接BG交OC于點(diǎn)M，當(dāng)以O(shè)G為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，恰好使BFH=ABO求此時(shí)t的值及點(diǎn)H的坐標(biāo)2如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向

2、點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0t）秒解答如下問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQBO？（2）設(shè)AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2x1，y2y1）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)3如圖，在ABC中，C=90°，BC=5米，AC=12米M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒運(yùn)動(dòng)時(shí)

3、間為t秒（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AMN=ANM？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值 4如圖，在OABC中，點(diǎn)A在x軸上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1cms的速度沿線段OAAB運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以acms的速度沿線段OCCB運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng) 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 (1)填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是(_，_)，對(duì)角線OB的長(zhǎng)度是_cm；(2)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大? (3)當(dāng)點(diǎn)P在OA邊上，點(diǎn)Q在CB邊上時(shí)，線段PQ與對(duì)角線OB交于點(diǎn)M.若以O(shè)、M、P為

4、頂點(diǎn)的三角形與OAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍5如圖，在RtABC中，C =900，AC = 4cm , BC = 5 cm，點(diǎn)D 在BC 上，且CD = 3 cm ，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q 分別從點(diǎn)A 和點(diǎn)B 同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1 厘米秒的速度沿AC 向終點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q 以1 . 25 厘米秒的速度沿BC 向終點(diǎn)C 運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)P作PE BC 交AD 于點(diǎn)E ，連接EQ。設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t > 0 )。 （1）連接DP ，經(jīng)過(guò)1 秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）連接PQ ，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t 取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行。

5、為什么？（3）當(dāng)t 為何值時(shí)，EDQ為直角三角形。6在直角梯形中，高（如圖1）。動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是。而當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)正好到達(dá)點(diǎn)。設(shè)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為時(shí)，的面積為（如圖2）。分別以為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)在邊上從到運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的函數(shù)圖象是圖3中的線段。（1）分別求出梯形中的長(zhǎng)度；（2）寫(xiě)出圖3中兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）分別寫(xiě)出點(diǎn)在邊上和邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動(dòng)中關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的大致圖象。（圖1）（圖3）（圖1）（圖1）（圖1）（圖1）（圖2）7如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，

6、點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q。（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有ADQABQ；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ADQ的面積是正方形ABCD面積的；（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ADQ恰為等腰三角形。例1【答案】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CKx軸于K，y=2x+4交x軸和y軸于A，B，A（2，0）B（0，4）。OA=2，OB=4。四邊形ABCO是平行四邊形，BC=OA=2 。又四邊形BOKC是矩形，OK=BC=2，CK=OB=4。C（2，4）。將C（2，4）代入y=x+m得，4=2+m，解得m=

7、6。（2）如圖，延長(zhǎng)DC交y軸于N，分別過(guò)點(diǎn)E，G作x軸的垂線 垂足分別是R，Q，則四邊形ERQG、四邊形POQG、四邊形EROP是矩形。ER=PO=CQ=1。，即，AR=t。y=x+6交x軸和y軸于D，N，OD=ON=6。ODN=45°。，DQ=t。又AD=AO+OD=2+6=8，EG=RQ=8tt=8t。d=t+8（0t4）。（3）如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，ABOC。ABO=BOC。BP=4t，。EP=。由（2）d=t+8，PG=dEP=6t。以O(shè)G為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，OMG=90°，MFG=PFO。BGP=BOC。，解得t=2。BFH=ABO=BOC，OBF=

8、FBH，BHFBFO。，即BF2=BHBO。OP=2，PF=1，BP=2。=BH×4。BH=。HO=4。H（0，）。【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形和矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)直線y=2x+4求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等求出BC的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)C作CKx軸于K，從而得到四邊形BOKC是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等求出KC的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線即可求出m的值。（2）延長(zhǎng)DC交y軸于N分別過(guò)點(diǎn)E，G作x軸的垂線 垂

9、足分別是R，Q則四邊形ERQG、四邊形POQG、四邊形EROP是矩形，再利用BAO的正切值求出AR的長(zhǎng)度，利用ODN的正切值求出DQ的長(zhǎng)度，再利用AD的長(zhǎng)度減去AR的長(zhǎng)度，再減去DQ的長(zhǎng)度，計(jì)算即可得解。（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得ABOC，再根據(jù)平行線內(nèi)錯(cuò)角相等求出ABO=BOC，用t表示出BP，再根據(jù)ABO與BOC的正切值相等列式求出EP的長(zhǎng)度，再表示出PG的長(zhǎng)度，然后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得OMC=90°，根據(jù)直角推出BGP=BOC，再利用BGP與BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根據(jù)加的關(guān)系求出OBF=FBH，再判定BHF和BFO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)

10、邊成比例可得，再根據(jù)t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)度，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出BH的值，然后求出HO的值，從而得到點(diǎn)H的坐標(biāo)。例2【答案】解：（1）A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8。如圖，當(dāng)PQBO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=103t。PQBO，即，解得t=。當(dāng)t=秒時(shí)，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，則PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=（0t）。當(dāng)t=秒時(shí)，S取得最大值，最大值為5（平方單位）。如圖所示，當(dāng)S取最大值

11、時(shí)，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此時(shí)PD為OAB的中位線，則OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（4，03），即（，3）當(dāng)S取最大值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，3）?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，平行線分線段成比例，二次函數(shù)的最值，勾股定理，三角形中位線定理。【分析】（1）如圖所示，當(dāng)PQBO時(shí)，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值。（2）求S關(guān)系式的要點(diǎn)是求得AQP的高，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，構(gòu)造平行線PDBO，由APDABO得 求得PD，從而S可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)關(guān)于

12、t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值。求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)：當(dāng)S取最大值時(shí)，可推出此時(shí)PD為OAB的中位線，從而可求出點(diǎn)P的縱橫坐標(biāo)，又易求Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；求得P、Q的坐標(biāo)之后，代入“向量PQ”坐標(biāo)的定義（x2x1，y2y1），即可求解。例3【答案】解：（1）從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，AM=12t，AN=2t。AMN=ANM，AM=AN，即12t=2t，解得：t=4 秒。當(dāng)t為4時(shí)，AMN=ANM。 （2）如圖作NHAC于H，NHA=C=90°。NHBC。ANHABC。，即。NH=

13、。當(dāng)t=6時(shí)，AMN的面積最大，最大值為?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程求得t值即可。 （2）作NHAC于H，證得ANHABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計(jì)算其面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可。例4【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。 （2）當(dāng)0<t4時(shí)， 過(guò)點(diǎn)Q作QDx軸于點(diǎn)D(如圖1)，則QD=t。 S=OP·QD=t2。 當(dāng)4<t8時(shí)， 作QEx軸于點(diǎn)E(如圖2)，則QE=2。 S =DP·QE=t。 當(dāng)8<t<12時(shí)，

14、延長(zhǎng)QP交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PHAF于點(diǎn)H(如圖3)。 易證PBQ與PAF均為等邊三角形，OF=OA+AP=t，AP=t8。PH=(t8)。=t·2t·(t8) =t2+3t。 綜上所述， 。 中S隨t的增加而增加，中，S隨t的增加而減小，當(dāng)t=8時(shí)，S最大。 （3）當(dāng)OPMOAB時(shí)(如圖4)，則PQAB。 CQ=OP。 at4=t，即a=1+。 t的取值范圍是0<t8。 當(dāng)OPMOBA時(shí)(如圖5)， 則， 即。OM=。 又QBOP，BQMOPM。，即。整理得tat=2，即a=1，t的取值范圍是6t8。 綜上所述：a=1+ (0<t8)或a=1 (6t8)。

15、【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）如圖，過(guò)點(diǎn)C、B分別作x的垂線于點(diǎn)M、N， 則在RtCOM中，由AOC=60o，OC=4，應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，可求得OM=2，CM=2， C(2，2)。由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，ON=10，在RtOBN中，由勾股定理，得OB=4。（2）分0<t4，4<t8和8<t<12分別討論，得到函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出S最大時(shí)t的值。（3）分OPMOAB和OPM

16、OBA兩種情況討論即可。例5【答案】解：（1）不能。理由如下： 假設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)四邊形EQDP能夠成為平行四邊形。 點(diǎn)P的速度為1 厘米秒，點(diǎn)Q 的速度為1 . 25 厘米秒， AP=t厘米，BQ=1.25t厘米。 又PEBC，AEPADC。AC=4厘米，BC=5厘米，CD=3厘米，解得，EP=0.75t厘米。又，由EP=QD得，解得。只有時(shí)四邊形EQDP才能成為平行四邊形。經(jīng)過(guò)1 秒后，四邊形EQDP不能成為平行四邊形。（2）AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米， 。 又C=C，PQCABC。PQC=B。PQAB。 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t 取何值時(shí)，總有線段PQ與線段A

17、B平行。（3）分兩種情況討論：當(dāng)EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4t，DQ=1.25t2又EQAC，EDQADC。，即，解得。當(dāng)QED=90°時(shí)，CDA=EDQ，QED=C=90°，EDQCDA。RtEDQ斜邊上的高為4t，RtCDA斜邊上的高為2.4，解得t =3.1。綜上所述，當(dāng)t為2.5秒或3.1秒時(shí)，EDQ為直角三角形?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，平行四邊形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定，直角三角形的判定?！痉治觥浚?）不能。應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)，得出只有時(shí)四邊形EQDP才能成為平行四邊形的結(jié)果，從而得出經(jīng)過(guò)1 秒后，四邊形EQDP不能成為平行四邊形的結(jié)論。（2）由PQCABC得PQC=B，從而得到在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論t 取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行的結(jié)論。（3）分EQD=90°和QED=90°兩種情況討論即可。例6、（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)出發(fā)秒后，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)且點(diǎn)正好到達(dá)點(diǎn)時(shí)，則（秒）則；（2）可得坐標(biāo)為（3）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，例7（1）證明：在正方形中，無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上何處時(shí)，都有= = = 2分(2)解法一：的面積恰好是正方