泊松分布-文檔資料

1、第第8 8章章 泊松過程泊松過程1、泊松分布的定義泊松分布的定義2、泊松分布的性質(zhì)泊松分布的性質(zhì)3、非齊次、非齊次泊松過程泊松過程4、復(fù)合、復(fù)合泊松分布泊松分布泊松過程及維納過程是兩個(gè)典型的隨機(jī)過程泊松過程及維納過程是兩個(gè)典型的隨機(jī)過程,它們?cè)陔S機(jī)過程的理論和應(yīng)用中都有重要的地位它們?cè)陔S機(jī)過程的理論和應(yīng)用中都有重要的地位,它們都屬于所謂的獨(dú)立增量過程它們都屬于所謂的獨(dú)立增量過程.一、一、 獨(dú)立增量過程獨(dú)立增量過程(independent increment process)X(t)-X(s),0st 為隨機(jī)過程在為隨機(jī)過程在 (s , t 的增量的增量.如果對(duì)如果對(duì)n個(gè)增量個(gè)增量X(t1)-X

2、(t0),X(t2)-X(t1), ,X(tn)-X(tn-1)相互相互 給定二階矩過程給定二階矩過程 X(t),t0 我們稱隨機(jī)變量我們稱隨機(jī)變量任意選定的正整數(shù)任意選定的正整數(shù)n和任意選定的和任意選定的0t0t1t2tn,獨(dú)立獨(dú)立,則稱則稱 X(t),t0為獨(dú)立增量過程為獨(dú)立增量過程.直觀地說(shuō)直觀地說(shuō),它具有它具有“在互不重疊的區(qū)間上在互不重疊的區(qū)間上,狀態(tài)狀態(tài)的增量是相互獨(dú)立的的增量是相互獨(dú)立的”這一特征這一特征.的分布所確定的分布所確定.于時(shí)間差于時(shí)間差t-s(0st),而不依賴于而不依賴于 t 和和 s 本身本身(事實(shí)上事實(shí)上,令令h= - s即知即知).當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時(shí)當(dāng)增量具有

3、平穩(wěn)性時(shí),稱相應(yīng)的獨(dú)立稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過程是齊次的或時(shí)齊的增量過程是齊次的或時(shí)齊的.X(s+h)與與X(t)-X(s)具有相同的分布具有相同的分布,則稱增量具有則稱增量具有特別特別,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)h和和0 s+ht+h,X(t+h) -對(duì)于獨(dú)立增量過程對(duì)于獨(dú)立增量過程,可以證明可以證明:在在X(0)=0的條件下的條件下,它的有限維分布函數(shù)可以由增量它的有限維分布函數(shù)可以由增量 X(t) X(s) (0st) 平穩(wěn)性平穩(wěn)性.這時(shí)這時(shí),增量增量X(t)-X(s)的分布函數(shù)實(shí)際上只依賴的分布函數(shù)實(shí)際上只依賴在在X(0)=0和方差函數(shù)為已知的條件下和方差函數(shù)為已知的條件下,獨(dú)立增量過程協(xié)

4、方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示為獨(dú)立增量過程協(xié)方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示為:2( , )(min( , )XXCs ts t1、 泊松過程舉例泊松過程舉例 （Poisson process ）現(xiàn)實(shí)世界許多偶然現(xiàn)象可用泊松分布來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界許多偶然現(xiàn)象可用泊松分布來(lái)描述,大量自然界中的物理過程可以用泊松過程來(lái)刻畫大量自然界中的物理過程可以用泊松過程來(lái)刻畫.泊松過程是隨機(jī)建模的重要基石泊松過程是隨機(jī)建模的重要基石,也是學(xué)習(xí)隨機(jī)過程也是學(xué)習(xí)隨機(jī)過程理論的重要直觀背景理論的重要直觀背景.著名的例子包括蓋格計(jì)數(shù)器上著名的例子包括蓋格計(jì)數(shù)器上的粒子流的粒子流,二次大戰(zhàn)時(shí)倫敦空襲的彈著點(diǎn)二次大戰(zhàn)時(shí)倫敦空襲的彈著點(diǎn),

5、電話總機(jī)所電話總機(jī)所接到的呼喚次數(shù)接到的呼喚次數(shù),交通流中的事故數(shù)交通流中的事故數(shù),某地區(qū)地震發(fā)生某地區(qū)地震發(fā)生的次數(shù)的次數(shù),細(xì)胞中染色體的交換等等細(xì)胞中染色體的交換等等.這類變化過程可粗這類變化過程可粗略地假定為有相同的變化類型略地假定為有相同的變化類型.我們所關(guān)心的是隨機(jī)我們所關(guān)心的是隨機(jī)事件的數(shù)目事件的數(shù)目,而每一變化可用時(shí)間或空間上的一個(gè)點(diǎn)而每一變化可用時(shí)間或空間上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示來(lái)表示.這類過程有如下兩個(gè)特性這類過程有如下兩個(gè)特性:一是時(shí)間和空間一是時(shí)間和空間上的均勻性上的均勻性,二是未來(lái)的變化與過去的變化沒有關(guān)系二是未來(lái)的變化與過去的變化沒有關(guān)系.我們將基于這些性質(zhì)來(lái)建立泊松過程的模

6、型我們將基于這些性質(zhì)來(lái)建立泊松過程的模型.1.計(jì)數(shù)過程計(jì)數(shù)過程:設(shè)設(shè)), 0),(TttNXT為一隨機(jī)過程為一隨機(jī)過程,如果如果N(t)是取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量是取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量,且滿足且滿足st時(shí)時(shí),N(s) N(t),則稱則稱), 0),(TttNXT為計(jì)數(shù)過程為計(jì)數(shù)過程(counting process).若用若用N(t)表示電話交換臺(tái)在時(shí)間表示電話交換臺(tái)在時(shí)間0,t中接到中接到電話呼叫的累計(jì)次數(shù)電話呼叫的累計(jì)次數(shù),則則N(t) ,t0就是一計(jì)數(shù)過程就是一計(jì)數(shù)過程.對(duì)電話呼叫次數(shù)進(jìn)行累計(jì)的計(jì)數(shù)過程對(duì)電話呼叫次數(shù)進(jìn)行累計(jì)的計(jì)數(shù)過程,這也就是計(jì)數(shù)這也就是計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)對(duì)象不僅僅是來(lái)到的電話呼

7、叫計(jì)數(shù)對(duì)象不僅僅是來(lái)到的電話呼叫,也可以是到也可以是到某商店的顧客數(shù)某商店的顧客數(shù),到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù),某放射性某放射性物質(zhì)在放射性蛻變中發(fā)射的粒子數(shù)物質(zhì)在放射性蛻變中發(fā)射的粒子數(shù),一次足球賽一次足球賽的進(jìn)球數(shù)的進(jìn)球數(shù),某醫(yī)院出生的嬰兒數(shù)等等某醫(yī)院出生的嬰兒數(shù)等等,總之總之,對(duì)某種對(duì)某種過程名稱的由來(lái)過程名稱的由來(lái).對(duì)對(duì) 0st,N(t)-N(s)就表示在就表示在(s,t中中發(fā)生的電話呼叫次數(shù)發(fā)生的電話呼叫次數(shù).定義定義1 稱隨機(jī)過程稱隨機(jī)過程 N(t),t 0 為計(jì)數(shù)過程為計(jì)數(shù)過程,若若N(t)N(t)表示到表示到時(shí)刻時(shí)刻t為止已發(fā)生的為止已發(fā)生的“事件事件A”的總數(shù)的

8、總數(shù),且且N(t)滿足下列條件滿足下列條件:(1) N(t) 0(2)N(t)取正整數(shù)取正整數(shù);(3)若若st,則則N(s)N(t);(4)當(dāng)當(dāng)st,N(t)-N(s)等于區(qū)間等于區(qū)間(s,t中發(fā)生的中發(fā)生的“事件事件A”的次數(shù)的次數(shù).若若t1t2 t30),事件事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時(shí)間差僅與時(shí)間差s有關(guān)有關(guān),而與而與t無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),則計(jì)數(shù)過程則計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)是平穩(wěn)獨(dú)立是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程增量過程.隨機(jī)事件的來(lái)到數(shù)都可以得到一個(gè)計(jì)數(shù)過程隨機(jī)事件的來(lái)到數(shù)都可以得到一個(gè)計(jì)數(shù)過程,而同一而同一時(shí)刻只能至多發(fā)生一個(gè)來(lái)到的就是簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)過程時(shí)刻只能至多發(fā)生一個(gè)來(lái)到的就是簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)

9、過程.計(jì)數(shù)過程的一個(gè)典型的樣本函數(shù)如圖計(jì)數(shù)過程的一個(gè)典型的樣本函數(shù)如圖S2S3S4S5第一個(gè)信號(hào)到達(dá)第一個(gè)信號(hào)到達(dá)S1S6第二個(gè)信號(hào)到達(dá)第二個(gè)信號(hào)到達(dá)第三個(gè)信號(hào)到達(dá)第三個(gè)信號(hào)到達(dá) N(t)t0電話呼叫模型電話呼叫模型將增量將增量ttttNtNtN0000),()()(它表示時(shí)間間隔它表示時(shí)間間隔(t0,t內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù).“在在 (t0,t內(nèi)內(nèi)出現(xiàn)出現(xiàn)k個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)”,即即N(t0,t)=k是一隨機(jī)事件是一隨機(jī)事件,其概率其概率記為記為 Pk(t0,t)=PN(t0,t)=k,k=0,1,2, .2.泊松計(jì)數(shù)過程過程泊松計(jì)數(shù)過程過程 : N(t) ,t0 稱為強(qiáng)度為稱為強(qiáng)度為 的的

10、泊松過程泊松過程,如果滿足條件如果滿足條件:(2) N(0)=0;, t)(1),(),(1tottttNPtttP(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性;(3) 對(duì)于充分小的對(duì)于充分小的其中常數(shù)其中常數(shù) 0 ,稱為過程稱為過程N(yùn)(t)的強(qiáng)度的強(qiáng)度. (亦即在充分小亦即在充分小的時(shí)間間隔中事件出現(xiàn)一次的概率與時(shí)間間隔的長(zhǎng)的時(shí)間間隔中事件出現(xiàn)一次的概率與時(shí)間間隔的長(zhǎng)度成正比度成正比)(4) 對(duì)于充分小的對(duì)于充分小的22)(),(),(jjjtojtttNPtttPtt亦即對(duì)于充分小的,(ttt在現(xiàn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率個(gè)以上質(zhì)點(diǎn)的概率與出個(gè)或出現(xiàn)22.相比可以忽略不計(jì)

11、在泊松過程中在泊松過程中,相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)流即質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)流即質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的隨機(jī)時(shí)刻稱為強(qiáng)度時(shí)刻稱為強(qiáng)度為為 的泊松流的泊松流.定義定義2 2 如果取非負(fù)整數(shù)值的計(jì)數(shù)過程如果取非負(fù)整數(shù)值的計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t),tN(t),t 00滿足：滿足：1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具有獨(dú)立增量；具有獨(dú)立增量；3.3.對(duì)任意對(duì)任意0 0 st,N(t)-N(s)st,N(t)-N(s)服從參數(shù)為服從參數(shù)為 (t-s)(t-s)泊松分布，泊松分布，則稱則稱N(t),tN(t),t 00為參數(shù)為參數(shù)( (或平均率、強(qiáng)度或平均率、強(qiáng)度) )為為 的的( (齊次齊次) )泊松過程。泊松過程。 泊松過程的第

12、二種定義方式泊松過程的第二種定義方式 注注:由條件由條件(3)知知,泊松過程是平穩(wěn)增量過程且泊松過程是平穩(wěn)增量過程且EX(t)= t.t.由于由于, , =EX(t)/t=EX(t)/t表示單位時(shí)間內(nèi)事件表示單位時(shí)間內(nèi)事件A A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)發(fā)生的平均個(gè)數(shù), ,故稱故稱 為此過程的速率或強(qiáng)度為此過程的速率或強(qiáng)度() (),0,1,2,!kt stsPN(t)- N(s)kekk定義定義3 3 如果取非負(fù)整數(shù)值得計(jì)數(shù)過程如果取非負(fù)整數(shù)值得計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t),tN(t),t 00滿足下列滿足下列條件：條件： 泊松過程的第一種定義方式泊松過程的第一種定義方式 1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具

13、有獨(dú)立增量；具有獨(dú)立增量；3.PN(h)=13.PN(h)=1 h+0(h)h+0(h)；4.PN(h)4.PN(h) 220(h)0(h)則稱則稱N(t),tN(t),t 00為參數(shù)為參數(shù)( (或平均率、強(qiáng)度或平均率、強(qiáng)度) )為為 的的( (齊次齊次) )泊泊松過程。松過程。例例1 考慮某一電話交換臺(tái)在某段時(shí)間接到的呼喚考慮某一電話交換臺(tái)在某段時(shí)間接到的呼喚.令令X(t)表表示電話交換臺(tái)在示電話交換臺(tái)在(0,t內(nèi)收到的呼喚次數(shù)內(nèi)收到的呼喚次數(shù),則則X(t),t 0滿足定義滿足定義3的條件的條件, 故故X(t), t 0是一個(gè)泊松過程是一個(gè)泊松過程.例例2 考慮到某車站售票窗口購(gòu)買車票的旅客

14、考慮到某車站售票窗口購(gòu)買車票的旅客,若記若記X(t)為在時(shí)間為在時(shí)間0,t內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客數(shù)內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客數(shù),則則X(t),t 0為一泊松過程為一泊松過程定理定理泊松過程的定義泊松過程的定義2與定義與定義3是等價(jià)的。是等價(jià)的。證明證明2 23 3：條件：條件a)a)與與1)1)相同。條件相同。條件b)b)可由可由2)2)和和3)3)直接得到。直接得到。PN(h)=1PN(h)=1PN(h)-N(0)=1PN(h)-N(0)=1 h1-h1- h+o(h)h+o(h) h+o(h)h+o(h)即即c)c)。即即d)d)。2()( )2!khkhP N hek2()( ) 1( )( )

15、2!ho hho ho h3 32 2：條件：條件1)1)與與a)a)相同。條件相同。條件2)2)由由b)b)直接得到。直接得到。只要證只要證明：明：N(t)(tN(t)(t 0 0) )服從參數(shù)為服從參數(shù)為 t t泊松分布。泊松分布。設(shè)設(shè)p pk k(t)(t)PN(t)=kPN(t)=k，利用歸納法證明：，利用歸納法證明：(1)(1)k=0k=0，p p0 0(t+h)(t+h)PN(t+h)=0PN(t+h)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0p p0

16、0(t)1-(t)1- h+o(h)h+o(h)因?yàn)橐驗(yàn)榻獾茫航獾茫簆 p0 0(t)(t)e e- - t t。, 2 , 1 , 0k,e!k) t() t (ptkk 10)0(NP)0(p) t (p) t ( p0h000得，得，令令(2)(2)k k 1 1p pk k(t+h)(t+h)PN(t+h)=kPN(t+h)=kp pk k(t)1-(t)1- h+o(h)+ph+o(h)+pk-1k-1(t)(t) h+o(h)+o(h)h+o(h)+o(h)， k0jjkN(t)h)N(t, jPN(t) k0jjkN(h)P jPN(t) 2k0jjkj11k0kk0jjkj(h

17、)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp(h)(t)pp,h)h(o) t (p) t (ph) t (p)ht (p1kkkk ), 2 , 1 , 0k( ,0k)0(NP)0(p) t (p) t (p) t ( p0hk1kkk 得，得，令令k=1k=1時(shí)時(shí), ,解得：解得：p p1 1(t)(t) tete- - t t，所以，所以k=1k=1時(shí)結(jié)論成立。時(shí)結(jié)論成立。解解得得結(jié)論成立。結(jié)論成立。由歸納法知，對(duì)一切由歸納法知，對(duì)一切k=0,1,2,k=0,1,2,，結(jié)論成立。，結(jié)論成立。得證得證再由平穩(wěn)獨(dú)立增量性質(zhì)，對(duì)一切再由平穩(wěn)獨(dú)立增量性質(zhì)，對(duì)一切0 0 st,s0,N(t) (

18、 t),PN(t)=k2 泊松分布的一維特征函數(shù)泊松分布的一維特征函數(shù)( )00(1)()()( )!iuiukiukiuN tiukttkktett etteuE eeeekkeee3 協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)B(s,t) min(s,t)，相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)R(s,t) min(s,t) 2st。證明證明R(s,t)EX(s) X(t)EX(s)X(t)- X(s)+ X(s) st發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)泊松過程在區(qū)間發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)泊松過程在區(qū)間0,t內(nèi)沒有事件發(fā)生內(nèi)沒有事件發(fā)生,T1表示第一個(gè)到達(dá)表示第一個(gè)到達(dá)因而因而 PT1t=PX(t)=0=e- t,即即所以所

19、以T1是服從參數(shù)為是服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. .利用泊松過程的獨(dú)立利用泊松過程的獨(dú)立, ,平平穩(wěn)增量性質(zhì)穩(wěn)增量性質(zhì), ,有有 PTPT2 2t|Tt|T1 1=s=s=P=P在在(s,s+t(s,s+t內(nèi)沒有事件發(fā)生內(nèi)沒有事件發(fā)生|T1=s|T1=s=P=P在在(s,s+t(s,s+t內(nèi)沒有事件發(fā)生內(nèi)沒有事件發(fā)生 =PX(t+s)-X(s)=0=PX(t+s)-X(s)=0=PX(t)-X(0)=0= =PX(t)-X(0)=0= e- t所以所以T2也是服從參數(shù)為也是服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. .,11)(111tTetTPtTPtF對(duì)于任意對(duì)于任意n0和和t,s1,s2,

20、sn-1 0,有有PTnt|T1=s1,Tn-1=sn-1 =PX(t+s1+ sn-1)-X(s1+s2+ sn-1)=0 =PX(t)-X(0)=0= e- t所以對(duì)任一所以對(duì)任一Tn(n0),其分布是參數(shù)為其分布是參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布.定理定理3 設(shè)設(shè)N(t),t 0是是參數(shù)為參數(shù)為 的泊松過程，的泊松過程，設(shè)設(shè)N(t),t 0是是參數(shù)為參數(shù)為 的泊松過程，的泊松過程，Wn,n=1,2,為等待時(shí)間序列，則為等待時(shí)間序列，則Wn (n, )，即概率密度為：，即概率密度為：0, 00,)!1()(1ttetntftnn下面用下面用Wn表示第表示第n個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間，則個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間

21、，則 Wn = X1 + X2 + + Xn , n 1稱稱 Wn 為直到第為直到第 n 個(gè)顧客出現(xiàn)的等待時(shí)間。個(gè)顧客出現(xiàn)的等待時(shí)間。證明證明: 因事件因事件Wn t等價(jià)于事件等價(jià)于事件N(t) n,在在0,t)內(nèi)事件至少內(nèi)事件至少出現(xiàn)出現(xiàn)n次次,所以所以Wn的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為于是于是Wn的概率密度的概率密度nktkntektntNPtWPtF. 0,!)()()(nknktktkektekttFtf!)()!1()()( )(1)0( ,)!1(!)()!1()()!1()(1111tetnektektenttnntnknkktntn當(dāng)當(dāng)ta。由定理由定理2知知X2服從參數(shù)為服從參數(shù)為

22、 的指數(shù)分布，故的指數(shù)分布，故2ttaaaP Xaedtee 等待時(shí)間等待時(shí)間所以平均等待時(shí)間為aXaXXaS2220)1 (1)(0aaxeadxexaES4 到達(dá)時(shí)間的條件分布到達(dá)時(shí)間的條件分布假設(shè)在時(shí)間假設(shè)在時(shí)間0,t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生一次，我們需要確定這一事件已經(jīng)發(fā)生一次，我們需要確定這一事件到達(dá)時(shí)間到達(dá)時(shí)間W1的分布。由于的分布。由于泊松過程是一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，泊松過程是一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，因此我們認(rèn)為因此我們認(rèn)為W1落在落在0,t區(qū)域的小時(shí)間段是服從均勻分布的。區(qū)域的小時(shí)間段是服從均勻分布的。事實(shí)上事實(shí)上,對(duì)對(duì)st有有PW1 s|N(t)=1,1)(0)()(1)(1)(

23、0)()(, 1)(1)(1)(,)(1tsteesetNPsNtNPsNPtNPsNtNsNPtNPtNsWPtsts即分布函數(shù)為即分布函數(shù)為分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為;, 1,0 ,/, 0, 0)(1)(|1tststsssFtNW其它, 0,0 ,1)(1)(|1tstsftNW一名服務(wù)員一名服務(wù)員,且每人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的并服從均值為且每人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的并服從均值為20分鐘的指數(shù)分布分鐘的指數(shù)分布,則到中午則到中午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離開為止平均有多少人已經(jīng)離開,例例4: 設(shè)從早上設(shè)從早上8:00開始有無(wú)窮多的人排隊(duì)等候服務(wù)開始有無(wú)窮多的人排隊(duì)等候服務(wù),設(shè)只有

24、設(shè)只有解解: 由所設(shè)條件可知由所設(shè)條件可知,離去的人數(shù)離去的人數(shù)N(t)是強(qiáng)度是強(qiáng)度=3的的泊松泊松過程過程(這里以小時(shí)為單位這里以小時(shí)為單位)。設(shè)。設(shè)8:00為零時(shí)刻，則為零時(shí)刻，則!)43()0()4(43nenNNPn其均值為其均值為1243)(ttNE即到即到12：00為止，離去的人平均是為止，離去的人平均是12名。名。已有已有9個(gè)人接受服務(wù)的概率是多少個(gè)人接受服務(wù)的概率是多少?而有而有9個(gè)人接受過服務(wù)的概率是個(gè)人接受過服務(wù)的概率是!9)12(9)4(912eNP3 非齊次泊松過程非齊次泊松過程定義定義4 如果計(jì)數(shù)過程如果計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t),t 0滿足下列條件：滿足下列條件：1.N(0)

25、0；2.N(t),t 0是獨(dú)立增量過程；是獨(dú)立增量過程；3.PN(t+ t)-N(t)=1 (t) t+0( t)；4.PN(t+ t)-N(t) 20( t)則稱則稱N(t),t 0為參數(shù)為參數(shù)(或平均率、強(qiáng)度或平均率、強(qiáng)度)為為 (t)的的非齊次泊松過程。特別，當(dāng)非齊次泊松過程。特別，當(dāng) (t)= 時(shí)，即為齊次時(shí)，即為齊次泊松過程。泊松過程。注注1：定義中增量?jī)H具有相互獨(dú)立性，不具有增量平穩(wěn)性：定義中增量?jī)H具有相互獨(dú)立性，不具有增量平穩(wěn)性質(zhì)，所以稱為非平穩(wěn)，或非齊次。質(zhì)，所以稱為非平穩(wěn)，或非齊次。此處的強(qiáng)度此處的強(qiáng)度 與時(shí)間與時(shí)間t有關(guān)，意味著這個(gè)計(jì)數(shù)過程有關(guān)，意味著這個(gè)計(jì)數(shù)過程一定與時(shí)間

26、起點(diǎn)有關(guān)系，或者說(shuō)在等長(zhǎng)的時(shí)間間隔里，由一定與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)系，或者說(shuō)在等長(zhǎng)的時(shí)間間隔里，由于時(shí)間的起點(diǎn)不同，計(jì)數(shù)過程的概率特性也有所不同，因于時(shí)間的起點(diǎn)不同，計(jì)數(shù)過程的概率特性也有所不同，因此這種計(jì)數(shù)過程不再具有增量平穩(wěn)性。此這種計(jì)數(shù)過程不再具有增量平穩(wěn)性。 ( ) t注注2 2：在定義中令：在定義中令 ，且增加計(jì)數(shù)過程的增量，且增加計(jì)數(shù)過程的增量平穩(wěn)性，則可以退化為標(biāo)準(zhǔn)泊松過程平穩(wěn)性，則可以退化為標(biāo)準(zhǔn)泊松過程 平穩(wěn)泊松過程平穩(wěn)泊松過程 。 ( ) t常數(shù)定理定理5 5若過程若過程N(yùn)(t),tN(t),t 00是非齊次泊松過程，則在時(shí)間是非齊次泊松過程，則在時(shí)間間距間距tt0 0,t,t0 0

27、+ +t) )內(nèi)事件內(nèi)事件A A出現(xiàn)出現(xiàn)k k次的概率為：次的概率為：式中式中, 2 , 1 , 0k,e!k )m(tt)m(tkt)-N(t)PN(t )m(tt)m(tk00000 t0ds) s () t (mm(t)稱為非平穩(wěn)泊松過程的強(qiáng)度，稱為非平穩(wěn)泊松過程的強(qiáng)度，N(t)表示表示0, t內(nèi)到達(dá)的數(shù)內(nèi)到達(dá)的數(shù)量，則量，則m(t)表示表示0, t內(nèi)平均到達(dá)數(shù)量。取內(nèi)平均到達(dá)數(shù)量。取t=0得到：得到： ( ) ( ) ( ),0,1,2,!km tm tP N tkekk例例某鎮(zhèn)有一小商店，每日某鎮(zhèn)有一小商店，每日8:008:00開始營(yíng)業(yè)。從開始營(yíng)業(yè)。從8:008:00到到11:001

28、1:00平平均顧客到達(dá)率線性增加，在均顧客到達(dá)率線性增加，在8:008:00顧客平均到達(dá)顧客平均到達(dá)5 5人人/ /小時(shí)；小時(shí)；11:0011:00到達(dá)率達(dá)最高峰到達(dá)率達(dá)最高峰2020人人/ /小時(shí)。從小時(shí)。從11:0011:00到到13:0013:00平均顧平均顧客到達(dá)率為客到達(dá)率為2020人人/ /小時(shí)。從小時(shí)。從13:0013:00到到17:0017:00平均顧客到達(dá)率線平均顧客到達(dá)率線性下降，性下降，17:0017:00顧客到達(dá)率為顧客到達(dá)率為1212人人/ /小時(shí)。假設(shè)在不相交的小時(shí)。假設(shè)在不相交的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，試問在時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，

29、試問在8:308:30到到9:309:30時(shí)間內(nèi)無(wú)顧客到達(dá)商店的概率為多少？在這段時(shí)間時(shí)間內(nèi)無(wú)顧客到達(dá)商店的概率為多少？在這段時(shí)間機(jī)內(nèi)到達(dá)商店的顧客的均值為多少？機(jī)內(nèi)到達(dá)商店的顧客的均值為多少？解解:設(shè)設(shè)8:008:00為為t=0t=0，11:0011:00為為t=3t=3，13:0013:00為為t=5t=5，17:0017:00為為t=9t=9。于是，顧客到達(dá)率是周期為于是，顧客到達(dá)率是周期為9 9的函數(shù)：的函數(shù)： (t)(t) (t-9)(t-9)根據(jù)題意，在根據(jù)題意，在0,t)0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)N(t),tN(t),t 00是一是一個(gè)非齊次泊松過程。個(gè)非齊次泊松過程。

30、在在8:308:30到到9:309:30無(wú)顧客到達(dá)商店的概率為無(wú)顧客到達(dá)商店的概率為在在8:308:30到到9:309:30到達(dá)商店的顧客均值概率為到達(dá)商店的顧客均值概率為 9t5),5t (2205t3,203t0, t55) t (10dt) t55(dt) t ()5 . 0(m)5 . 1(m0eeee)5 . 1 , 5 . 0(p5 . 15 . 05 . 15 . 0 10dt) t55(dt) t55()5 . 0(m)5 . 1(m5 . 005 . 10 3 非平穩(wěn)泊松過程的均值和方差非平穩(wěn)泊松過程的均值和方差設(shè)設(shè)N(t) 是強(qiáng)度為是強(qiáng)度為m(t)的非平穩(wěn)泊松過程的非平穩(wěn)泊

31、松過程，由于，由于泊松分布的泊松分布的均值和方差相等，滿足：均值和方差相等，滿足： 例例 設(shè)設(shè)N(t)是一個(gè)是一個(gè)非齊次泊松過程，其強(qiáng)度為非齊次泊松過程，其強(qiáng)度為求求1 增量增量 的概率分布的概率分布 2 與與( )( )( )E N tD N tm t1( )(1 cos)02ttt()( )N ttN t( )E N t( )D N t解：由定理解：由定理3.1知：增量知：增量 的概率分布是的概率分布是其中其中所以所以()( )N ttN t()( )()( )exp ()( )!km ttm tP N ttN tkm ttm tk1111()( )(sin()(sin)22 m ttm ttttttt00111( )( )(1cos)(sin)22ttm ts dss dstt11cos()sin)222 tttt2 2 因?yàn)橐驗(yàn)镹 N( (t t) )服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，因此滿足：的泊松分