例談中學數(shù)學中的向量構造法新課標人教版

1、例談中學數(shù)學中的向量構造法bbb:/aaaDearEDUaaa河南湯陰一中 楊煥慶 王國偉向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是中學數(shù)學知識的一個重要的交匯點，是了解眾多知識的媒介。它廣泛應用于函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何等知識。利用向量這個工具解題，可以簡潔、規(guī)范的處理數(shù)學中的許多問題。特別是處理立體幾何、解析幾何的有關度量、角度、平行、垂直、共線等問題；運用向量知識，可以使幾何問題直觀化、符號化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向“定量”研究。構造向量除有堅實的基礎知識外，還特別要知道實現(xiàn)構造的理論基礎：（1）（2）。一. 證明不等式通過構造向量，利用

2、向量的重要不等式：，或，以達證明不等式之目的。 例1. 設a、b、c、d均為正數(shù)，求證 證明：構造向量，由得 例2. 若，求證： 證明：構造向量， 則 于是由 有 得 將例1推廣到更一般的形式，即有 例3. 若和都是正數(shù)，則 證明：構造向量， 于是，由得 從上述證明，發(fā)現(xiàn)條件和是正數(shù)是多余的。 而且利用還可以推出 例4. 設任意實數(shù)x，y滿足， 求證： 證明：構造向量， 由向量數(shù)量積性質(zhì)得 所以 即 例5. 設a，b為不等的正數(shù)，求證 證明：構造向量，則 因為a，b為不相等的正數(shù)，所以，即， 所以例6.已知x>0,y>0，且x+y=1，求證：。證明：構造向量，則，而，由，得 所以例

3、7.求證：證明：設（1）當至少有一個為零時，所證不等式成立；（2）當都不是零向量時，設其夾角是，則有，因為，即點撥：只要實質(zhì)上，甚至形式上和向量沾點邊的，都是向量的親戚，用向量去思考，沒錯！二.研究等量關系例8.已知：。證明：對于任何正整數(shù)都有分析：借助向量不等式等號成立的條件，構造向量，可化難為易。證明：構造向量，則，所以，故同向，則即，所以代入題設得：，于是所以例9.已知，求銳角。分析：本題如果直接進行三角恒等變換，較難求出的值。換一種思路，引入向量，問題迎刃而解。解：由已知得，構造向量，則，由，得，即，則三.求值域或最值例10.求函數(shù)的最大值。分析：本題是求無理函數(shù)的最值問題，按常規(guī)方法

4、求解有一定的難度，若正確構造向量，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)解答，將會使求解非常容易。解：原函數(shù)可變?yōu)?，設，因為，所以構造向量由得，從而，當且僅當時，例11.求函數(shù)的值域。分析：分析函數(shù)解析式的特征，結構上接近兩個向量的差，于是構造向量。解：設，不共線，即例12.已知x>0,y>0，且x+y=1，求的最大值利用向量數(shù)量積的一個重要性質(zhì)，變形為可以解決不等式中一類含有乘積之和或乘方之和的式子的題目，采用構造向量去解往往能化難為易，同時提高了學生的觀察分析能力和想象能力總之，構造向量法，為我們研究數(shù)學問題提供了一種嶄新的思維視角，體現(xiàn)了知識的交匯和了解，是高層次思維的反映,常用構造法解題 ,能起到