連續(xù)小波變換核心知識

1、連續(xù)小波變換（1）連續(xù)小波基函數(shù)所謂小波(Wavelet)，即存在于一個較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學定義是：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅立葉變換滿足： （2-1） 時，則稱為一個基本小波或小波母函數(shù)，并稱式（2-1）是小波函數(shù)的可容許條件。根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點;另一方面，根據(jù)可容許性條件可知，即直流分量為零，因此小波又具有正負交替的波動性。將小波母函數(shù)進行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子(亦稱尺度因子)為，平移因子為，并記平移伸縮后的函數(shù)為，則： （2-2） 并稱為參數(shù)和小波基函數(shù)。由于和均取連續(xù)變換的

2、值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。定義小波母函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為： （2-3） 設(shè)是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有： （2-4） 所以此時頻域窗口中心及窗口寬度分別為： （2-5）由此可見，連續(xù)小波的時、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù)，均隨著的變化而伸縮，并且還有 （2-6）即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是Heisenberg測不準原理。（2）連續(xù)小波變換將空間的任意函數(shù)在小波基下進行展開，稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換CWT，變換式為： （2-7

3、）當小波的容許性條件成立時，其逆變換為： （2-8） 其中為的容許性條件。另外，在小波變換過程中必須保持能量成比例，即： （2-9）由CWT的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中為小波變換系數(shù)。可見小波變換對函數(shù)在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過縮放因子和平移因子來得到的。根據(jù)、的不同，可以得到小波變換下不同時、頻寬度的信息，從而實現(xiàn)對信號的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： 線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。 平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。 伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為 自相似性：對應(yīng)于不同

4、尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度（redundancy），小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：由于連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對應(yīng)的。小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的，即存在許多可能的選擇。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的，即在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數(shù)。一個一維函數(shù)的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比多一個，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因為它要求的存儲量和它代表的信息量都顯著增加了。對于變量超過一個的函數(shù)來說，這個變換的維數(shù)也將增加。若是一個二維函數(shù)，則它的連續(xù)小波變