西城實驗數(shù)論講義

1、有兩堆小石子，若第一堆給第二堆100個，那么第二堆是第一堆的二倍。相反，若從第二堆拿一些放到第一堆，第一堆就是第二堆的6倍。問至少多少石子？a,b是大于1的兩個互質(zhì)整數(shù)，ax+by取不到ab-a-b，可以取到大于ab-a-b的所有整數(shù)。其中x,y是非負整數(shù)。小華玩某種游戲，每局可隨意玩若干次，每次的得分是8， ，0這三個自然數(shù)中的一個，每局各次得分的總和叫做這一局的總積分小華曾得到過這樣的總積分：103，104，105，106，107，108，109，110又知道他不可能得到“83分”這個總積分問：是多少?m個盒子中放著若干個球，每次在其中n個盒子中加一個球（n<m且m與n互質(zhì)），求證一

2、定可以在若干次操作后，使得每個盒子中的小球數(shù)目相等。求的正整數(shù)解x,y都是正整數(shù)，求證不能都是平方數(shù)。m,n都是1到99之間的整數(shù)。并且是平方數(shù)，這樣的數(shù)對（m,n）有幾個？求出任何一組滿足方程x2-51y2=1的自正整數(shù)解x和y。求方程x+y=x2-xy+y2的整數(shù)解.是不是質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)家用了90年才知道。求證它有個約數(shù)是641。.求(25733 + 46)26被50除的余數(shù)。27個國家各派兩名代表參加會議，54人坐成一圈。求證：不可能同國的代表都是隔著9個人。把11111,11112,99999按照任意順序?qū)懗梢淮?，求證得到的數(shù)不是2的冪。7677787980能否被1980整除？被7除余數(shù)？

3、已知n位數(shù)111111111能被2011整除，求證：22222220000.00001111.111111能被2011整除。其中2與0各是n+1個，1有2n+2個。求證：S=111111111（2011個1）的倍數(shù)數(shù)字和最小是2011。中國剩余定理當中任意兩個模是互質(zhì)的，那么無論取什么樣的整數(shù)，同余方程組在模m下有唯一解。存在連續(xù)100個正整數(shù)都是合數(shù)。數(shù)列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中相鄰若干數(shù)之和是11的倍數(shù)，這樣的數(shù)組有幾個？對于任意整數(shù)x,y，代數(shù)式2x+3y與9x+my總是同時被17整除或不整除，求整數(shù)m。5x2 + 6x + 49 º 0 (mod

4、 60)。 x3 + 3x - 14 º 0 (mod 45)。x2 º 1 (mod )x2 º 2 (mod 73)求正整數(shù)n使得（200n-999）|從1, 2, 2 008中選出總和為1009000的1004個數(shù),并且這1 004個數(shù)中的任意兩數(shù)之和都不等于2 009.則這1 004個數(shù)的平方和等于 .參考公式:12+22+n2=n(n+1)(2n+1).將各位數(shù)碼不大于的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個數(shù)列，第2011項是多少？求證存在無窮多個三元正整數(shù)組(x,y,z)滿足x+y-z=1，并且任何兩數(shù)乘積被第三個數(shù)整除。求證：在中至少有一個能被n整除，其中n為大于1的奇數(shù)。r是1059,1417,2312被d除后的余數(shù)，d是大于1的整數(shù)，求d-r。由7個自然數(shù)組成的公差30的等差數(shù)列中，恰有一個被7整除。是否存在無限長的質(zhì)數(shù)等差數(shù)列？小明計算前n個正整數(shù)的乘積，小華計算前m個偶數(shù)的乘積。，兩人計算結(jié)果相同。證明兩人不可能全對。有多少個正因子小于n且不整除n?證明是兩個平方數(shù)的和。正整數(shù)n的十進制寫法中，左邊的數(shù)字總小于右邊。求9n的數(shù)字和。任何整數(shù)均有個倍數(shù)是只由9,0組成。求正整數(shù)n使得是平方數(shù)。6個不同正整數(shù)構(gòu)成遞增數(shù)列，