藝術(shù)生平面向量

1、 藝術(shù)生平面向量基礎(chǔ)知識及練習題【基礎(chǔ)知識】一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有 的量叫做向量.向量的大小叫向量的 (也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標表示法:在平面直角坐標系中,設(shè)向量的起點O為在坐標原點,終點A坐標為,則稱為的坐標,記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量: 向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因為方向沒有大小.但向量的?？梢员容^大小，（可類比復數(shù)）4.零向量: .零向量只有一個,其方向是 的.5.單位

2、向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量:方向 的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 的向量.二、向量的運算(一)運算定義向量的加減法；實數(shù)與向量的乘積；兩個向量的數(shù)量積；其中向量的加減法運算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結(jié)果是數(shù)量。刻劃每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內(nèi)容列表如下：運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實數(shù)與向量

3、的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積向量夾角的范圍 記則=x1x2+y1y2(二)運算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：; ;兩個向量的數(shù)量積: =; ()=()=();(+)=+注：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算，數(shù)量積運算不滿足消去律和乘法結(jié)合律 (三)運算性質(zhì)及重要結(jié)論平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這個平面內(nèi)任一向量,有且只有一對實數(shù),使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個

4、向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.當基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角坐標系,因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ).向量坐標與點坐標的關(guān)系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0,兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設(shè)非零向量，則兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求

5、線段的長度);(垂直的判斷); (求角度)。以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.注:兩向量,的數(shù)量積運算結(jié)果是一個數(shù)(其中),這個數(shù)的大小與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關(guān). 叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式.【典型例題】例1在中，（ ） 例2.平面內(nèi)三點,若，則x的值為()(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5例3. 設(shè)， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：()()=0|-|b|且a與b同向，則ab D.對于任意向量a、b,必有|

6、a+b|a|+|b| 2.兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的什么條件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.在四邊形ABCD中，則( ) A.ABCD是矩形 B.ABCD是菱形 C.ABCD是正方形 D.ABCD是平行四邊形 4.已知=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，則( ) A.A、B、D三點共線 B.A、B、C三點共線 C.B、C、D三點共線 D.A、C、D三點共線 5.當|a|=|b|0且a、b不共線時，a+b與a-b的關(guān)系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 6.在ABCD中，錯誤的式子是( ) A. B.C. D.

7、7.設(shè)a是非零向量，是非零實數(shù)，下列命題中是真命題的是( ) A.a與-a的方向相反 B.|-a|a| C.a與2a的方向相同 D.|-a|=|a 8.已知正方形的邊長為1， =a，=b，=c,則|a+b+c|等于( ) A.0 B.3 C. D.29.已知=a，=b，=c,=d,且四邊形ABCD為平行四邊形，則( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=010.已知D、E、F分別是ABC的邊BC、CA、AB的中點，且=a，=b，=c,則下列各式：c -b =a+b a+b =0 其中正確的等式的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.

8、4 第卷(非選擇題，共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分) 11.設(shè)a表示“向東走4 km”,b表示“向北走3 km”,則a+b表示_. 12.a與b方向相反，且|a|b|,則a+b的方向與a方向_；此時|a+b|_|a|-|b|.13.已知ABCDEF為正六邊形，且=a，=b，則用a，b表示為_. 14.e1,e2不共線，當k=_時，a=ke1+e2,b=e1+ke2共線. 三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分) 化簡：. 16.(本小題滿分10分) 已知ABCD是等腰梯形，E、F分別是兩腰BC、AD的中點，M、N是線段EF上的兩個點，且EM=MN=NF，下底長是上底長