經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型一元線性回歸模型

1、第二章 經(jīng)典單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：一元線性回歸模型一、內(nèi)容提要本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸函數(shù)、樣本回歸模型與樣本回歸函數(shù)這兩組概念開始，建立了回歸分析的基本思想?？傮w回歸函數(shù)是對總體變量間關(guān)系的定量表述，由總體回歸模型在若干基本假設(shè)下得到，但它只是建立在理論之上，在現(xiàn)實(shí)中只能先從總體中抽取一個樣本，獲得樣本回歸函數(shù)，并用它對總體回歸函數(shù)做出統(tǒng)計(jì)推斷。本章的一個重點(diǎn)是如何獲取線性的樣本回歸函數(shù)，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的學(xué)習(xí)與掌握。同時，也介紹了極大似然估計(jì)法（ML）以及矩估計(jì)法（MM）。本章的另一個重點(diǎn)是對樣本回歸函數(shù)能否代表總體回歸函

2、數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，即進(jìn)行所謂的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)包括兩個方面，一是先檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與樣本點(diǎn)的“擬合優(yōu)度”，第二是檢驗(yàn)樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度。后者又包括兩個層次：第一，檢驗(yàn)解釋變量對被解釋變量是否存在著顯著的線性影響關(guān)系，通過變量的t檢驗(yàn)完成；第二，檢驗(yàn)回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度，通過參數(shù)估計(jì)值的“區(qū)間檢驗(yàn)”完成。本章還有三方面的內(nèi)容不容忽視。其一，若干基本假設(shè)。樣本回歸函數(shù)參數(shù)的估計(jì)以及對參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析以及所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷都是建立在這些基本假設(shè)之上的。其二，參數(shù)估計(jì)量統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的分析，包括小樣本性質(zhì)與大樣本性質(zhì)，尤其是無偏性、有效性與一致性構(gòu)成了對樣本估計(jì)

3、量優(yōu)劣的最主要的衡量準(zhǔn)則。Goss-markov定理表明OLS估計(jì)量是最佳線性無偏估計(jì)量。其三，運(yùn)用樣本回歸函數(shù)進(jìn)行預(yù)測，包括被解釋變量條件均值與個值的預(yù)測，以及預(yù)測置信區(qū)間的計(jì)算及其變化特征。二、典型例題分析例1、令kids表示一名婦女生育孩子的數(shù)目，educ表示該婦女接受過教育的年數(shù)。生育率對教育年數(shù)的簡單回歸模型為（1）隨機(jī)擾動項(xiàng)包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關(guān)嗎？（2）上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？請解釋。解答：（1）收入、年齡、家庭狀況、政府的相關(guān)政策等也是影響生育率的重要的因素，在上述簡單回歸模型中，它們被包含在了隨機(jī)擾動項(xiàng)之中。有些因素可能

4、與教育水平相關(guān)，如收入水平與教育水平往往呈正相關(guān)、年齡大小與教育水平呈負(fù)相關(guān)等。（2）當(dāng)歸結(jié)在隨機(jī)擾動項(xiàng)中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關(guān)時，上述回歸模型不能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響，因?yàn)檫@時出現(xiàn)解釋變量與隨機(jī)擾動項(xiàng)相關(guān)的情形，基本假設(shè)4不滿足。例2已知回歸模型，式中E為某類公司一名新員工的起始薪金（元），N為所受教育水平（年）。隨機(jī)擾動項(xiàng)的分布未知，其他所有假設(shè)都滿足。（1）從直觀及經(jīng)濟(jì)角度解釋和。（2）OLS估計(jì)量和滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡單陳述理由。（3）對參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)還能進(jìn)行嗎？簡單陳述理由。解答：（1）為接受過N年教育的員工的總體平均起始薪金。當(dāng)

5、N為零時，平均薪金為，因此表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。是每單位N變化所引起的E的變化，即表示每多接受一年學(xué)校教育所對應(yīng)的薪金增加值。（2）OLS估計(jì)量和仍滿足線性性、無偏性及有效性，因?yàn)檫@些性質(zhì)的的成立無需隨機(jī)擾動項(xiàng)的正態(tài)分布假設(shè)。（3）如果的分布未知，則所有的假設(shè)檢驗(yàn)都是無效的。因?yàn)閠檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)是建立在的正態(tài)分布假設(shè)之上的。 例3、在例2中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計(jì)量單位由元改為100元，估計(jì)的截距項(xiàng)與斜率項(xiàng)有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計(jì)的截距項(xiàng)與斜率項(xiàng)有無變化？ 解答：首先考察被解釋變量度量單位變化的情形。以E*表示以百元為度量單位的薪金，

6、則由此有如下新模型或 這里，。所以新的回歸系數(shù)將為原始模型回歸系數(shù)的1/100。 再考慮解釋變量度量單位變化的情形。設(shè)N*為用月份表示的新員工受教育的時間長度，則N*=12N，于是或 可見，估計(jì)的截距項(xiàng)不變，而斜率項(xiàng)將為原回歸系數(shù)的1/12。例4對于人均存款與人均收入之間的關(guān)系式使用美國36年的年度數(shù)據(jù)得如下估計(jì)模型，括號內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差：0.538（1）的經(jīng)濟(jì)解釋是什么？（2）和的符號是什么？為什么？實(shí)際的符號與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話，你可以給出可能的原因嗎？（3）對于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？（4）檢驗(yàn)是否每一個回歸系數(shù)都與零顯著不同（在1%水平下）。同時對零假設(shè)和備擇假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值、其

7、分布和自由度以及拒絕零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行陳述。你的結(jié)論是什么？解答： （1）為收入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時人均儲蓄的預(yù)期平均變化量。 （2）由于收入為零時，家庭仍會有支出，可預(yù)期零收入時的平均儲蓄為負(fù)，因此符號應(yīng)為負(fù)。儲蓄是收入的一部分，且會隨著收入的增加而增加，因此預(yù)期的符號為正。實(shí)際的回歸式中，的符號為正，與預(yù)期的一致。但截距項(xiàng)為負(fù)，與預(yù)期不符。這可能與由于模型的錯誤設(shè)定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變量將對截距項(xiàng)的估計(jì)產(chǎn)生影響；另一種可能就是線性設(shè)定可能不正確。 （3）擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對被解釋變量變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優(yōu)度，表明收

8、入的變化可以解釋儲蓄中53.8 %的變動。（4）檢驗(yàn)單個參數(shù)采用t檢驗(yàn)，零假設(shè)為參數(shù)為零，備擇假設(shè)為參數(shù)不為零。雙變量情形下在零假設(shè)下t 分布的自由度為n-2=36-2=34。由t分布表知，雙側(cè)1%下的臨界值位于2.750與2.704之間。斜率項(xiàng)計(jì)算的t值為0.067/0.011=6.09，截距項(xiàng)計(jì)算的t值為384.105/151.105=2.54。可見斜率項(xiàng)計(jì)算的t 值大于臨界值，截距項(xiàng)小于臨界值，因此拒絕斜率項(xiàng)為零的假設(shè)，但不拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。三、教材中部分習(xí)題2.1、為什么計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論方程中必須包含隨機(jī)干擾項(xiàng)？計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型考察的是具有因果關(guān)系的隨機(jī)變量間的具體聯(lián)系方式。由于是

9、對基變量，意味著影響被解釋變量的因素是復(fù)雜的除了解釋變量的影響外，還有其他無法在模型中獨(dú)立列出的各種因素的影響。這樣，模型中就必須使用一個隨機(jī)干擾項(xiàng)變量來代表所有這些在模型中無法獨(dú)立表示出來的影響因素。（或見第一章習(xí)題）2-2下列方程哪些是正確的？哪些是錯誤的？為什么？ 其中帶“”者表示“估計(jì)值”。答：錯；正；錯；錯；錯；正，正，錯。2.3、線性回歸模型有哪些基本假設(shè)？違背基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是否就不可估計(jì)？答：線性回歸模型的基本假設(shè)（實(shí)際是針對普通最小二乘法的基本假設(shè)）有兩大類：一類是關(guān)于解釋變量的，解釋變量是確定性變量，而且如果是隨機(jī)變量則解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)之間互不相關(guān)；一類是關(guān)于隨

10、即干擾項(xiàng)的，隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差；隨機(jī)誤差項(xiàng)在不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)；隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)；隨機(jī)誤差項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。違背基本假設(shè)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型還是可以估計(jì)的，只是不能使用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。2.4、線性回歸模型 的0均值假設(shè)是否可以表示為？為什么？（答：嚴(yán)格來說，隨機(jī)干擾項(xiàng)的0均值假設(shè)是關(guān)于X的條件期望為0，線性回歸模型：中的0均值假設(shè)不可以表示為：，因?yàn)榍罢弑硎救⊥晁目赡艿臉颖窘M合后的平均狀態(tài)，而后者只是一個樣本的平均值。）二者是兩個完全不同的概念。2.5、假設(shè)已經(jīng)得到關(guān)系的最小二乘估計(jì)，試回答：假設(shè)決定把X變量的計(jì)量單位擴(kuò)大10倍，

11、這樣對遠(yuǎn)回歸的斜率和截距有何影響？如果Y變量的單位擴(kuò)大10倍，又會怎樣？答：如果Y變量的計(jì)量單位擴(kuò)大10倍，斜率和截距系數(shù)都將為原始模型回歸系數(shù)的1/102.10、下面數(shù)據(jù)是對X和Y的觀察值得到的。Yi=1110； Xi=1680； XiYi=204200Xi2=315400； Yi2=133300假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設(shè)，要求：（1）b1和b2？（2）b1和b2的標(biāo)準(zhǔn)差？（3）r2？（4）對B1、B2分別建立95%的置信區(qū)間？利用置信區(qū)間法，你可以接受零假設(shè)：B2=0嗎？(解：， ， ， ，自由度為8，解得：的95%的置信區(qū)間。同理，解得：為的95%的置信區(qū)間。由于不在的置信區(qū)間

12、內(nèi)，故拒絕零假設(shè)：。2-11.表中列出中國1978-2000年的財(cái)政收入Y和國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的統(tǒng)計(jì)資料。要求：1.作出散點(diǎn)圖（略）建立Y隨X變化的一元線性回歸方程，并解釋斜率的經(jīng)濟(jì)意義；2.對所建立的回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)；3.若2001年中國GDP為105709億元，求財(cái)政收入的預(yù)測值及預(yù)測區(qū)間。答：1.，斜率的經(jīng)濟(jì)意義是：在1978-2000年間中國國內(nèi)生產(chǎn)總值每增加一億元，財(cái)政收入平均增加0.1198億元。2.在5%的顯著性水平下，自由度為23-2=21的t分布臨界值為2.08。因此從參數(shù)的t檢驗(yàn)值看，截距項(xiàng)和斜率項(xiàng)都顯著不為零。另外擬合優(yōu)度0.9609表明，財(cái)政收入的96%的變化可以由GDP的變化來解釋，擬合情況良好。3.當(dāng)2001