二項式定理及其應(yīng)用

1、二項式定理及其應(yīng)用第一頁，共29頁。 回歸課本 1.二項式定理 對于nN*，(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnn1abn1Cnnbn，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式，二項展開式的通項公式為Tr1Cnranrbr. 二項展開式中的Cnr(r0,1,2，n)叫做二項式系數(shù)，要分清展開式中某一項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)第二頁，共29頁。第三頁，共29頁。 (3)各二項式系數(shù)的和 (ab)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n. (4)二項展開式中，偶數(shù)項中的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，

2、即Cn1Cn3Cn5Cn0Cn2Cn42n1.第四頁，共29頁。 答案：C第五頁，共29頁。 解析：由通項公式可得展開式中含x4的項為T81C88x4x4，故含x4項的系數(shù)為1，令x1，得展開式的系數(shù)和S1，故展開式中不含x4項的系數(shù)的和為110. 答案：B第六頁，共29頁。 3若對于任意的實數(shù)x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，則a2的值為() A3 B6 C9 D12 解析：由于x32(x2)3，由題意得a2就是二項式2(x2)3(把x2看成一個整體應(yīng)用二項式定理展開)的展開式中第3項的系數(shù)，因此a2C32216，選B. 答案：B第七頁，共29頁。 4設(shè)(1x)8a0a

3、1xa8x8，則a0，a1，a8中奇數(shù)的個數(shù)為() A2 B3 C4 D5 解析：(1x)8C80C81x1C82x2C88x8 a0a1xa8x8， a0，a1，a2，a8，即為C80，C81，C83，C88. 奇數(shù)的個數(shù)為C80，C88共2個 答案：A第八頁，共29頁。 答案：D 第九頁，共29頁。 類型一求展開式的指定項 解題準(zhǔn)備：利用展開式中Tr1可求如下問題： (1)求指定項(2)求特定項，如常數(shù)項，即字母的次數(shù)為0.(3)求指定項、特定項的系數(shù)第十頁，共29頁。 分析利用通項公式第十一頁，共29頁。 點評要熟練掌握二項展開式及通項公式的應(yīng)用第十二頁，共29頁。第十三頁，共29頁。

4、故原三項展開式中常數(shù)項為C100C100C101C92C102C84C103C764351. 點評：(1)求展開式中的特定項，主要用展開的通項公式，使字母的項數(shù)具備所要求的特征 (2)對于三項展開式，要合理分組或者因式分解，轉(zhuǎn)化為二項式的形式第十四頁，共29頁。第十五頁，共29頁。第十六頁，共29頁。 解析根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求解n.系數(shù)絕對值最大問題需要列不等式組求解 由題意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0， 2n32，解得n5.第十七頁，共29頁。第十八頁，共29頁。第十九頁，共29頁。 點評在運用二項式定理時不能忽視展開式中系數(shù)的正負(fù)符號當(dāng)然還需考慮二項式系數(shù)與

5、展開式某項的系數(shù)之間的差異：二項式系數(shù)只與二項式的指數(shù)和項數(shù)有關(guān)，與二項式無關(guān)；而項的系數(shù)不僅與二項式的指數(shù)和項數(shù)有關(guān)，還與二項式有關(guān)值得注意的是，本例中是求“系數(shù)的絕對值最大的項”，若改為“系數(shù)最大的項”又該如何處理？因為第4項的系數(shù)為負(fù)值，所以系數(shù)最大項必是第3項或第5項中的某一項比較這兩項的系數(shù)C10228與C10426大小即可第二十頁，共29頁。 探究2：已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； 分析：因為求的是展開式的系數(shù)和，所以可用賦值法求解第二十一頁，共29頁。第二十二頁，共29頁。第二十三頁，共2

6、9頁。 類型三整除與余數(shù)問題 解題準(zhǔn)備：解決整除性問題實質(zhì)上是構(gòu)造二項式，即只需把待證式整理為按二項式定理展開后的各項被另一個式子整除即可求余數(shù)時要注意剩余部分是負(fù)數(shù)時要進(jìn)行轉(zhuǎn)換 【典例3】(1)求證：122225n1能被31整除(nN*)； (2)求SC271C272C2727除以9的余數(shù) 分析將已知的式子適當(dāng)整理化簡，再根據(jù)題目的要求選擇合適的解法第二十四頁，共29頁。第二十五頁，共29頁。 (2)SC271C272C27272271 891(91)91 C9099C9198C989C991 9(C9098C9197C98)2 9(C9098C9197C981)7， 顯然上式括號內(nèi)的數(shù)是正

7、整數(shù) 故S被9除的余數(shù)為7. 點評有關(guān)整除性問題是二項式定理的應(yīng)用之一，其關(guān)鍵在于如何把問題轉(zhuǎn)化為一個二項式，注意結(jié)合二項式的展開式和整除的有關(guān)性質(zhì)解決問題第二十六頁，共29頁。 探究3：9192除以100的余數(shù)是_ 分析：轉(zhuǎn)化為二項展開式來求 解析：解法一：9192(1009)9210092C9 21 1 0 09 1 9 C9 22 1 0 09 0 92 C9291100991992，前面各項均能被100整除，只有末項992不能被100整除，于是求992除以100的余數(shù) 992(101)92第二十七頁，共29頁。 1092C9211091C9221090C9290102C929110(1)92 1092C9211091C9221090C92901029201 (1092C9211091C9221090C92901021000)81 被100除的余數(shù)為81，即9192除以100的余數(shù)為81.第二十八頁，共29頁。 解法二：9192(901)