導數(shù)有關的可轉化為最值的多元問題答案

1、導數(shù)有關的可轉化為最值的多元問題1 a 21.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)x ax In x ( a R).2(1 )當a R時，討論函數(shù)f (x)的單調性；(2)若對任意a (2,3)及任意為,X2 1,2，恒有ma In 2 f(xj f (x2)成立, 數(shù)m的取值圍.【答案】(1)a 1時，f(x)在(0,1)單調減，(1,)單調增；1 1 1 a 2時，f(x)在(0,1)單調減，在(1,)單調增，(，)單調減;a 1a 1 當a 2時，f (x)在(0,)上是減函數(shù)；1 1當a 2時，f(x)在0,亠 ,1, 為增函數(shù)，,1為減函數(shù)a 1a 1(2) m 0【解析】試題分析：第

2、一問對函數(shù)求導，導數(shù)大于零單調增，導數(shù)小于零單調減，注意對參數(shù)的 取值圍進行討論，討論的標準就是導數(shù)等于零時根的大小，得出相應的單調區(qū)間，第二 問ma In 2 f(xj f區(qū))恒成立，轉化為 ma In 2大于f(xj f(X2)的最大值,而f(xj f(X2)的最大值是函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值的差距，從而求得結果，該問題轉化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，之后結合第一問，根據(jù)所給的參數(shù) 的取值圍，確定出函數(shù)的最值，從而求得結果.1(1 a)x2 ax 1(1 a)x 1(x 1)試題解析：(1) f '(x)(1 a)x axxxa1 時，(1a)x10 , f (x)在(

3、0,1)單減，(1,)單增；1a 2時，11 , f (x)在(0,1)“ 1單減，在(1,-1)單增，(,)a 1a1a 1單減；當-11即a2時,(x 1)2 f'(x)0, f (x)在(0,)上是減函數(shù)；a1x當11,即a2時，令f '(x)0,得0 x1 1或x 1,令 f '(x)0 ,得x 1a1a 1a 10, 1-,1,為增函數(shù)1,1為減函數(shù)a 1a 1(2)由(1 )知，當a (2,3)時，f(x)在1,2上單調遞減,當x 1時，f(x)有最大值，當x 2時，f(x)有最小值，In 2 ，0 .恒成立問題.a 3a 3|f(xj f(X2)| f(1

4、) f (2)ln2, ma In 22 22 21 3113而a 0經(jīng)整理得m由2 a 3得0, m2 2a4 2 2a考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，2 .(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x) ex(sinx cosx) a ( a為常數(shù)).(I)已知a3，求曲線y f(x)在(0, f (0)處的切線方程；(n)當0 x時，求f (x)的值域；(川)設 g(x) (a2 a 10)ex，若存在 X1 , x 2 0,，使得 f(xj g(X2) 13 e2 成立，數(shù)a的取值圍.【答案】(I) 2xy 20 ； (n) ea,e2a;(川)1a 3.【解析

5、】試題分析：(I)由f (x)2ex cosx，計算f (0)2 ,f(0)2,由直線方程的點斜式即得.(n)應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值即得.2(川)Q a a 100 , g(x)在0,是增函數(shù),2g(0) a a10,g( ) (a2 a10)e ,g(x)的值域為a2a 10,( a2 a10)e .2依題意，a2a3 0，解之即得.試題解析:(I ) f (x)x e(sin xcosx) ex(cos xsin x)2ex cosx1分f (0) 2 ,f(0)22分切線方程為：y22(x 0)，即2xy 20為所求的切線方程.3分(n)由 f (x)2ex cos x 0 ,得

6、 0x2 .，f (x) 2ex cosx0,得x.2y f (x)在0,3上單調遞增，在3,上單調遞減.5分ymaxf(2) * a6 分f (0)1 a, f ( ) e a f(0) , yminf ( ) e a ,f (x)的值域為e a,e2 a2(川)Q a a 100 , g(x)在0,是增函數(shù),g(0)2 2g(x)的值域為a2a 10,(a2 a 10)e .10分a a 10, g( ) (a a 10)e ,Qa2 a 10 (e2 a) (a 1)2 (9 e空)011 分依題意，a2 a 10 (e2 a) 13 e2 ,12 分2即 a 2a 3 0 ,1 a 3

7、14 分考點：1 導數(shù)的幾何意義；2 應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值；3 轉化與化歸思想.In x在 x1-處都取得極值.2K3.(本小題滿分12分)已知f x 2ax -x(1 )求a , b的值;(2)設函數(shù)2mx m，若對任意的22，總存在X2丄，2，使2【答案】(1)x2In x2數(shù)m的取值圍.a=b= 1(2)(3,51，【解析】試題分析:求導數(shù)f (x)-處都取得極值，得2f (1) 0, f=0得關于a,的方程組，解出b，然后檢驗；(2 )對任意的X12,2總存在x21-,2 使得gf X2ln X2 ,等價于g( X)min f(X)InXmin ,利用函數(shù)單調性易求f(X)

8、InXmin，按照對稱軸在區(qū)間f,2的左側、部、右側三種情況進行討論可求得(X)min，然后解不等式f( X)minf(X)In Xmin 可得答案試題解析：(1) Q f x2ax In x, f x 2a _-2 _ ,XX Xb1Q f x 2ax In x在x 1與x處都取得極值，x2b1所以f x2 axIn x在x 1與x處都取得極值,x2所以a=b=13(2 )由(1)知函數(shù)yf x Inxf(x)(x) min23213 276 ,x丄上遞減3 3x又函數(shù)g( x)2x 2mx m圖象的對稱軸是x m ,1f (10, f - =0,22a b 仁0,a b2a 4b 2=0當

9、a=b= 1時,32 x 1 x -2 1 1 22 23 3x x3x1 1當 m 時，g(x)min g -221當 2 m 2 時，g(x)min = g27 c 2 cm m , 6m 6m61171,Q成立，m；44622m = mm3.513.5?7 0,m 一662,3 516當 m 2 時，g( X)min g4 3m,4 3m731,m,Q m>2, m618綜上：實數(shù)m的取值圍為(考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)在某點取得極值的條件.4 .(本小題滿分12分)已知f (x)mx a lnx m,g(x)ex其中m, a均為實數(shù),(i)求g(x)的極值；(n)設

10、 m = 1,a = 0 ,求證：對 花必 3,4 (% X2), f(X2) f(xj-ex -ex 恒成立；g(x2)g(N)(川)設a 2，若對 給定的X。0,e，在區(qū)間0,e上總存在上缶 t?)使得f(tjf(t2) g(x°)成立，求m的取值圍.(n)證明見解析；/ 、3(川)m e 1【解析】試題分析：第一問根據(jù)函數(shù)的極值的定義，結合導數(shù)求得函數(shù)的極值，注意雖然函數(shù)只 有極大值，沒有極小值，也得說明沒有極小值，第二問注意對式子的變形，結合函數(shù)的 單調性，將絕對值的符號去掉，構造一個新函數(shù)，從而判斷出函數(shù)的單調性，可以有導 數(shù)的符號來決定，從而求得結果，第三問根據(jù)題意，確定

11、出函數(shù)的圖像的走向以及函數(shù) 值的取值，確定出兩個函數(shù)的值域的關系，從而求得結果.ex'試題解析：(I)g(x)-, g (x)e(x 1)X1,1 , 1,g(x)極大ee值g(1)1，無極小值；(n) Q m = 1,a = 0 ,f(x) x 1在3,4上是增函數(shù)exex而e在3,4上是增函數(shù)X2 4，則原不等式轉化為f (X2)- f (Xi)<ex2g(x2)ex-ig(xj即 f (X2)-ex2gX)f (xi)-ex1g(xi)ex令 h(x) = f (x) -= x - ex - 1,g(x)即證 x1x2, h(x2) h(x-i)，即 h(x)在 3,4Q

12、h (x) = 1 - ex < 0 在3,4恒成立即h(x)在3,4，即所證不等式成立(3)由(1 )得 g(x)在 0,1, 1,e,g(x)maX g(1) 1所以，g(x) °f'(x)又2 mx，當m °時,f (x)°, f(x)在 0, e，不符合題意當 m 0 時，要 t1,t2使得 f(tjf(t2),2那么由題意知f(x)的極值點必在區(qū)間°,e，即°em得m 2，且函數(shù)f(x)在0,-, -,eemm由題意得g(x)在0,e上的值域包含于f (x)在0,-和-,e上的值域m m2,e , mf(2) 0mf(e

13、) 10,-時，f (t)1，取 tm2e m，先證e m ，即證2em m 0m令 w(x)2ex x, w (x)2ex10,在 3 ,恒成立e 1w(x)3,w(x) w()0,2em m 0e 1f(em) 1, f(e m)mme3m m431, m再證e 1e 1考點：函數(shù)的極值，函數(shù)的單調性，恒成立問題.f (x 1) g(x),其中 a,b R.25.已知 f(x) a In(x 1), g(x) x bx , F (x)(1 )若y f (x)與y g(x)的圖像在交點(2,k)處的切線互相垂直，求a, b的值；(2 )若x 2是函數(shù)F (x)的一個極值點，X。和1是F (x

14、)的兩個零點，且x0 (n,n 1), n N ,求 n 的值；(3 )當b a 2時，若為，X2是F (x)的兩個極值點，當為 他 1時，求證：F(G F(x2)3 4In2.1【答案】(1)2 ；(2) 3;(3)詳見解析b2【解析】af g(2)試題分析：(1 )首先求出f (x),g (x)2xb，由題知5x1f (2) g (2)10 4 2b即即可求出結果；(2)求出a(4 b)1F(x) f(x 1)g(x)=alnx (x2 bx),和F (x)旦 2x b ,由題知FF(1)0可得a6,b1所以F (x)(2x 3)(x 2)；當xx 0,由F (x)0,解得0 x 2;由F

15、 (x)0,解得x 2可知F(x)在(0, 2)上單調遞增，在(2,)單調遞減，故F(x)至多有兩個零點，其中xi (0, 2) , x2 (2,)，又F (2)> F(1) =0, F (3) =6 ( In 3-1)>0, F (4) =6( In 4-2)<0 x° ( 3,4 ),即可 得到結果；(3)當 b a 2時,F (x)- 2x (a 2)(2x a)(x 1),xx由題知F (x) =0在(0,+ g)上有兩個不同根 x1, x2,則a <0且a豐-2,此時F (x) =0的a兩根為 ，1,2(a)> (4) = 3 4ln 2，即可

16、求出結果試題解析：a(1) f (x), g (x) 2x bx 1從而(a)在(一g, 4)上是減函數(shù)由題知fgf (2) g (2)0 4 2b,即1a(4 b) 1解得a當a 0,. a <-4，此時 1即可得到F(x)與F (x)隨x的變化情況表；又2| F(xJ - F(X2)|= F (x)極大值-F (x)極小值;根據(jù)變化情況表可知1 F (x1 ) - F (x2 ) | =F (x)極大值-F(x)極小值=a ln(a)21 2 + a 一 1,4a設(a) aln(1 2a21,可得(a) ln(|)1-a 1 ,(a)11-,即可得2422a21 1到(a)0 ，可

17、知(a)在(g , 4)上是增函a 2數(shù)，(a)<( 4) ln2 10(2) F(x)F (2)0a4b06, b 1由題知,即2解得aF01b0- F(x)26ln x (xx),F(x)-2x 1x(2x 3)(x 2)xf (x 1) g(x) =a ln x (x2 bx), F (x)x x 0,由 F (x)0 ,解得 0 x2;由 F (x)0,解得 x 2F(x)在(0,2)上單調遞增，在(2,)單調遞減,又 F(2)> F(1) =0, F(3) =6 (In 3-1 ) >0, F (4) =6 ( In 4-2 ) <0 , Xo ( 3,4 )

18、 故n=32(3)當 b a 2 時,F (x) = a In x x(a 2)x,F(x) a 2x (a 2)(2x a)(x 1),xx由題知F (x) =0在(0,+ g)上有兩個不同根Xi, X2,則a <0且a豐-2,此時F (x) =0的a兩根為 ，1,22由題知卜 a-1|>1,則+ a +1>1, a2 +4 a >02 4a又 a<0, a<-4,此時->12則F(x)與F (x)隨x的變化情況如下表(0,1 )1(1,-)2a2/ a、(，+ g)2F (x)-0+0-F(x)極小值極大值aa1 2- I F(X1)-F(x2)|

19、= F(x) 極大值- F(x) 極小值1,224a設(a) aln()24a2 J則(a)ln(自 ia 1(a)11, aa2(a)(a)在(一g, 4)上是增函數(shù)(a)<( 4) In 2 10從而 (a)在(一g, 4)上是減函數(shù)，(a) > ( 4) =3-4 In 2所以 F(xJ F(X2) 3 4In2.考點：1函數(shù)的極值；2.導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用；3.導數(shù)在求函數(shù)最值中的應用2 2 36.已知函數(shù) f(x) x ax (a 0), x R3(1 )求f (x)的單調區(qū)間和極值；(2)若對于任意的x1(2,)，都存在X2(1,)，使得 f (Xj f (X2)1，求 a 的取值圍【答案】(1 )所以f(x)的單調增區(qū)間是(0,1)，單調減區(qū)間是(，0)和(丄，)，當aax 0時，f(x)取極小值0,當x -時,af ( x)取極大值3a23 3(2)4,2【解析】試題分析：對于第一問，注意應用導數(shù)，確定出函數(shù)的單調區(qū)間，進而得出函