工具變量方法原理

1、教學(xué)目的及要求:1、理解引入隨機(jī)解釋變量的目的及產(chǎn)生的影響2、理解估計(jì)量的漸進(jìn)無偏性和一致性3、掌握隨機(jī)解釋變量 OLS的估計(jì)特性 4、應(yīng)用工具變量法解決隨機(jī)解釋變量問題第一節(jié)隨機(jī)解釋變量問題一、隨機(jī)解釋變量問題產(chǎn)生的原因多元（k）線性回歸模型：Yi =Xii2X2Xkii（8-1）其矩陣形式為：丫二 XB U（ 8-2）在多元（k）線性回歸模型中，我們?cè)?jīng)假定，解釋變量Xj是非隨機(jī)的。如果 Xj是隨機(jī)的，則與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)U j不相關(guān)。即：CovXUi =0（j =1,2, ；k;i =1,2, n）（ 8-3）許多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，這種假定是不符合實(shí)際的，因?yàn)樵S多經(jīng)濟(jì)變量是不能用控制的方法進(jìn)行觀測(cè)的

2、，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能在重復(fù)抽樣中得到相同和確定的數(shù)值，其取值很難精確控制，也不易用實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行精確觀測(cè)，解釋變量成為隨機(jī)變量。又由于隨機(jī)項(xiàng)U包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量往往是同模型中相關(guān)的變量，因而就很有可能在X是隨機(jī)變量的情況下與隨機(jī)項(xiàng)U相關(guān)，這樣原有的古典假設(shè)就不能滿足，產(chǎn)生隨機(jī)解釋變量。在聯(lián)立方程模型以及模型中包含有滯后內(nèi)生變量等情況下，如果擾動(dòng)項(xiàng)是序列相關(guān)的，那么均有擾動(dòng)項(xiàng)和解釋變量之間的相關(guān)性的出現(xiàn)，模型就存在隨機(jī)解釋變量問題。例如，固定資產(chǎn)投資與國民收入的關(guān)系滿足如下模型：其中，It為t期的固定資產(chǎn)投資，It4為t -1期的固定資產(chǎn)投資，Yt為t

3、期的國民收入，因?yàn)镮t是隨機(jī)變量，故模型中存在隨機(jī)解釋變量。再如，消費(fèi)與收入之間的影響關(guān)系模型為其中，Ct為t期的消費(fèi)支岀，Ct J為t -1期的消費(fèi)支岀，Yt是t期的收入，因?yàn)镃t J是隨機(jī)變量， 故模型中存在隨機(jī)解釋變量。二、隨機(jī)解釋變量問題的后果模型中，在解釋變量為隨機(jī)變量并且與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的情況下，應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)參數(shù)可能會(huì)岀現(xiàn)估計(jì)的不一致性，使得估計(jì)值產(chǎn)生很大的偏誤，造成擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的全面失準(zhǔn)，F(xiàn)檢驗(yàn)失效，t檢驗(yàn)失去意義。在這種情況下，各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)得到的是虛假的結(jié)果，不能作為判別估計(jì)式優(yōu)劣的依據(jù)。隨機(jī)解釋變量帶來何種結(jié)果取決于它與隨機(jī)誤差項(xiàng)是否相關(guān)：1）隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不

4、相關(guān)2）隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)在小樣本下相關(guān)，在大樣本下漸進(jìn)無關(guān)3）隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)高度相關(guān)4）滯后被解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)第二節(jié)隨機(jī)解釋變量模型的估計(jì)特性我們討論的估計(jì)量的性質(zhì)（包括無偏性、最小方差性）都是在樣本容量一定的情況下的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)上叫做小樣本性質(zhì)。在某些情況下，小樣本時(shí)的估計(jì)量不具有某種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，但是隨著樣本容量 的增大，一個(gè)估計(jì)量在小樣本時(shí)不具有的性質(zhì)，大樣本時(shí)就逐漸具有這種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)了，這種性質(zhì)我們叫做 大樣本性質(zhì)或叫做估計(jì)量的漸近統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。常用的漸近統(tǒng)計(jì)性質(zhì)有漸近無偏性和一致性。一、估計(jì)量的漸近無偏性記？代表模型中參數(shù) 1的估計(jì)量，其上標(biāo) n表示樣本容量。

5、一般來說，n取如下的樣本容量，n1 : nnk， *n）為一隨機(jī)變量。隨著樣本容量n的增大，估計(jì)量 ?（n）構(gòu)成一個(gè)估計(jì)量（隨機(jī)變量）序列：較n） =肝。，畀（n2），妙小，（8-4）所謂漸近理論就是討論當(dāng)n變得很大時(shí)，以上這些序列會(huì)有怎樣的結(jié)果。序列：？（n） 如果滿足:lim E（ ?（n） ）=1（8-5）n趨于：時(shí)，?（n）的均值越來越則稱?（n）為1的漸近無偏估計(jì)。也就是說，當(dāng)樣本容量越來越大, 接近參數(shù)的真值 ：。這里需要注意的是，有些估計(jì)量在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是無偏的，即是漸近無偏的。例如隨機(jī)變量工的樣本方差容易證明(在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中已有證明)其中，匚2為總體方差。很明顯

6、，在小樣本下，Si作為匚2的估計(jì)量是有偏的，但隨著 n的無限增大，E(S；)趨于總體的真正方差 c2，因此是漸近無偏的?？梢?，通過增加樣本容量，可以改善參數(shù)估計(jì) 的精度。二、估計(jì)量的一致性如果隨著樣本容量的增大，估計(jì)量?(n)幾乎處處趨近于“真值，我們說 ?(n)為- 的一致估計(jì)量，或稱？依概率收斂于1。如果樣本容量無限增大時(shí)，?(n)的分布收斂于1， ?(n)的方差趨于零，？就是1的一致估計(jì)量。一致估計(jì)量可以記為：P lim ?5)= - = 1或簡(jiǎn)記為Plim ?""=-。式中Plim表示概率極限。為n ,n ,n簡(jiǎn)單起見，可略去上標(biāo)n，記作p lim ?=-概率極限有

7、下列運(yùn)算法則：Plim(cX) =cPlim(X)c 為常數(shù)Plim( C1X1 C2X2)Plim Xi C2 Plim X2Ci,C2 為常數(shù)這里需要弄清楚一點(diǎn)是，無偏性與一致性是兩個(gè)截然不同的概念，無偏性可以對(duì)任何樣本容量成立，而一致性則是對(duì)大樣本而言的，是一種漸近性質(zhì)。在大樣本的條件下，一致估計(jì)量具有很高的精度， 但在小樣本時(shí)一致性不起作用?？梢宰C明，?(n)為1的一致估計(jì)量，當(dāng)且僅當(dāng)lim E( ?(n)lim var( ?(n) )=0( 8-6)時(shí)成立。此充分必要條件說明，？是漸近無偏的，且當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)?的方差趨于零。上面的討論是對(duì)隨機(jī)變量而言的，對(duì)于隨機(jī)向量同樣有類似的

8、結(jié)論。三、隨機(jī)解釋變量模型OLS估計(jì)特性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中一旦岀現(xiàn)了隨機(jī)解釋變量，如果仍用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機(jī)解釋變量會(huì)岀現(xiàn)不同的結(jié)果。為了簡(jiǎn)單起見，我們用一元線性回歸模型進(jìn)行說明。給定一元線性回歸模型:Y 二：o “Xi u(in)(8-7)假設(shè)工為一隨機(jī)變量，模型滿足其他古典假設(shè)條件。對(duì)式（8-7），其離差形式為：(8-8)其中，y，Xj 二 Xj -X，5 二5 -U應(yīng)用普通最小二乘法，則有。' Xi Yi'1 2Xi(8-9)把（8-8）中的丫匚代入（8-9），則可以得到?' X Yi' Xi （ Xi Ui）-' XiUi已=L&

9、quot;i +尸?。?-10）Xi' XiXi而二 E（化）E（Ui） E（宀）E（U2）E（生）E（Un）（8-11）Xj2' Xj2' Xi2下面分三種情況討論：1 丄和U是獨(dú)立的因Xi和Ui相互獨(dú)立，并且 E（uJ二0E宀=0Xi故有E（ ?）二12. Xi與Ui小樣本下相關(guān)，大樣本下漸近無關(guān)小樣本：E（XUi）=0所以 E（?） “ ，最小二乘法估計(jì)是有偏的1大樣本：Pljm(XjUj =0對(duì)式（8-10 ）兩邊取概率極限可有Plim( ?) = Plim 乂"；2= Plim 1亍 2 xi n(8-12)因此，在假定 Plim（ Xi ） = 0

10、的情況下，有nPlim( ?)二-(8-13)說明最小二乘估計(jì)式也具有一致性特性。3. Xi與Ui高度相關(guān)討論一般情況下回歸模型（8-8 ）式(i ",2,n)(8-14)2 2假設(shè)：Var（xJ -；x , Var（u, xi和ui之間的相關(guān)系數(shù)是,如果采用普通最小二乘法估計(jì)上式，可以得到：: . Cov(x,u)遼Var(x)-(8-15)因?yàn)椋篶ov（x,u）'（X U）二代入上式即可。 血區(qū)X）1（5 U）26%可見，如果 T很高，只有當(dāng)是很小的情況下，（8-15 ）式的漸近誤差才是可以忽略的。否則,最小二乘估計(jì)式將存在著很大的偏誤。第三節(jié)隨機(jī)解釋變量模型的處理如果模

11、型中存在隨機(jī)解釋變量問題，則一般的隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)之間是相關(guān)的，最小二乘 估計(jì)量有偏且不一致，需要利用其他估計(jì)方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。一、工具變量法工具變量（Instrument Variable, IV ）法就是當(dāng)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，尋找一個(gè)與隨機(jī)解 釋變量高度相關(guān)，但與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的變量，用該變量替代模型中的隨機(jī)解釋變量，進(jìn)行模型的參數(shù) 估計(jì)。我們稱這一替代隨機(jī)解釋變量的變量為工具變量。（一）選擇工具變量的要求作為工具變量，必須滿足以下四個(gè)條件：第一，工具變量必須是有明確經(jīng)濟(jì)含義的外生變量；第二，工具變量與其替代的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)，而又與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)；第三，

12、工具變量與模型中的其他解釋變量也不相關(guān)，以免出現(xiàn)多重共線性；第四，模型中的多個(gè)工具變量之間不相關(guān)。（二）工具變量的應(yīng)用工具變量對(duì)隨機(jī)解釋變量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具變量代換模型中對(duì)應(yīng)的隨機(jī) 解釋變量，而是在最小二乘法的正規(guī)方程組中用工具變量對(duì)隨機(jī)解釋變量進(jìn)行部分替代。對(duì)于一元線性回歸模型(8-7)和(8-8) yi =Ui若X與U不相關(guān)，U滿足所有的統(tǒng)計(jì)假定。應(yīng)用OLS法，利用微分求極值的辦法求岀正規(guī)方程:I"- Xjyi =階 X：Yi = ft) ' 6 X i(8-16)現(xiàn)采用另一種方法來導(dǎo)岀OLS正規(guī)方程。我們以Xi ( i = 1,2，八,n)同乘以

13、 yi = -1Xj ' Ui 兩邊，得 nXU個(gè)式子，求和得:(8-17)因?yàn)閄與U不相關(guān)，從而可以略去'、Xiui = 0，就可以得 OLS正規(guī)方程。如果X與u相關(guān)，則V XjUj =0，不能用OLS法來估計(jì)參數(shù)?，F(xiàn)在，我們要尋找一個(gè)變量Z，Z與X高度相關(guān)而與 U無關(guān)，用Zi的離差乘以yi =：必-Ui的兩邊，然后求和得到一個(gè)類似于OLS正規(guī)方程的方程。在這里，Z就是工具變量。(8-18)工Ziy =0正zx +瓦召Ui由于Z與U無關(guān)，所以得：送 Zi% = 送 ZXi上式稱為擬正規(guī)方程，從而求得用：Z zyi(Zi Z)(Yi Y)J 1 一 瓦刊一瓦(乙Z)(Xi X)

14、f?0=Y-?X因此，工具變量法的基本原理在于：用工具變量代替隨機(jī)解釋變量(8-19)(8-20)X，從而利用cov(Z,U ) = 0克服cov(X, U) = 0產(chǎn)生的對(duì)模型參數(shù)估計(jì)的不利影響，形成有效正規(guī)方程組并最終獲得模型參數(shù)的估計(jì)量從這一原理理解，OLS法也可以看作是一種工具變量法，即利用模型中的各解釋變量作為他們自身的工具 變量。容易證明，參數(shù)工具變量估計(jì)量是有偏的、一致的估計(jì)量在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析中，對(duì)于工具變量的選擇，一般的做法是:對(duì)于時(shí)間序列資料，如果被解釋變量Yj、隨機(jī)解釋變量 Xj、隨機(jī)誤差項(xiàng) U三者之間的關(guān)系有cov（Xi,uJ 0，但 cov（Xj 二,q） =0 , co

15、v（Yj juj =0，則可用 Xi j或 丫匸作為 Xi 的工具變量。（三）多元線性回歸模型對(duì)于k元線性回歸模型：Yi = ：0iXiijXzi 亠亠kXki Uj（ 8-21）其矩陣形式為：丫二 XB U（ 8-22）假設(shè)Xii和X ki為隨機(jī)解釋變量，且與隨機(jī)誤差項(xiàng)Ui高度相關(guān)，ui滿足最小二乘法的其他假定條件，解釋變量之間無多重共線性。（1）尋找工具變量Zii和Zki。工具變量滿足以下條件：他們是有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義的變量；與其對(duì)應(yīng)的Zii和Zki之間隨機(jī)解釋變量（乙對(duì)應(yīng)Xii，Xki對(duì)應(yīng)Zki）高度相關(guān)；與隨機(jī)誤差項(xiàng)Ui不相關(guān)；工具變量不相關(guān)；與k元線性回歸模型中其他解釋變量不相關(guān)。（2）

16、寫出工具變量矩陣除了Xit和X kt之外，k元線性回歸模型的工具變量矩陣為:XiiXi2X2iX22XkiXk2(8-23)XinX2nXkn陣:將X矩陣中的Xii和Xki替換為Zii和Zki，其他外生變量和常數(shù)項(xiàng)均由其自身做工具變量,iiZiiZi2Z2iZ22ZkilZk2(8-24)ZinZkn（3）求岀工具變量估計(jì)量B?IV，沿上述思路，用 Z侗乘丫 =XB U兩邊，由于Z和U無關(guān)，所以(8-25)Biv =(ZX)4ZYbiv是B的一致估計(jì)量在EViews軟件中，工具變量法是含在二階段最小二乘法中，所以必須選擇二階段最小二乘法，在“工具變量”的提示后面，輸入所有的工具變量名，即可實(shí)現(xiàn)

17、工具變量法估計(jì)。（四）工具變量法的缺陷從理論上分析，工具變量法可以得到漸近無偏、漸近有效的參數(shù)估計(jì)量，在解釋變量為隨機(jī)變量并與 隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的情況下，參數(shù)估計(jì)值達(dá)到了漸近一致。但這種方法在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到一定困難，主要 表現(xiàn)在三個(gè)方面：（1） 在解釋變量 X與隨機(jī)誤差項(xiàng)u相關(guān)的情況下，要找尋一個(gè)既與X高度相關(guān)，又與 u不相關(guān)的工作變量Z十分困難。再加上工具變量Z要具有明確的經(jīng)濟(jì)含義，這就更不容易。（2）在能找到符合要求的工具變量條件下，所選擇的工具變量不同，模型參數(shù)估計(jì)值也不會(huì)一致，使參數(shù)估計(jì)出現(xiàn)隨意性。工具變量選擇得當(dāng)，參數(shù)估計(jì)值的質(zhì)量會(huì)高一點(diǎn)；如果工具變量選擇不得當(dāng)，參數(shù) 估計(jì)值就會(huì)岀現(xiàn)較大偏誤。（3）由于使用了工具變量，有可能產(chǎn)生較高的標(biāo)準(zhǔn)差，不能保證參數(shù)估計(jì)值的漸近方差一定能達(dá)