相似三角形證明技巧(整理)VIP

1、本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持!相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解析一、相似三角形（1）三角形相似的條件：:：二、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決.三、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1）先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等（對(duì)平行線型找平行線），因?yàn)檫@個(gè)條件最簡(jiǎn)單；2）再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例：3）若無對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例；a）己知一對(duì)等找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似>找夾邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似、找

2、夾角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似b）己知兩邊對(duì)應(yīng)成比±找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個(gè)直角斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似C）己知一個(gè)直找另一角4兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對(duì)應(yīng)成比例判定定理2d）有等腰關(guān)3找頂角對(duì)應(yīng)相等判定定理1找底和腰對(duì)應(yīng)成比例找底角對(duì)應(yīng)相等判定定理1判定定理e）相似形的傳遞性若AsA,sA,則AiZ四、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若

3、不能,再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時(shí)，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而吏問題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。/r例1、已矢口：如圖，AABC中，CE，AB,BF，AC求證:讓ACaFba（判斷“橫定”還是“豎定” 高，/ BAC的例2、如圖，CD是RtAKBC的斜邊AB上的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F, AC AE=AFAB嗎？說明理由。分析方法:1）先將積式分析方法：1）先將積式例3、已知：如圖， ABC中，/ ACB=90A

4、B的垂直平分線交AB于D,交BC延長(zhǎng)線于F。求證：CD2=DEDFo（“橫定”還是“豎定”五、過渡法（或叫代換法）1、等量過渡法（等線段代換法）例1:如圖3,ZABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分線FE交BC的延長(zhǎng)線于E.求證：DE2二BECE.分析:（“橫定”還是“豎定”？本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持!2、等比過渡法（等比代換法）例2:如圖4,在/ABC中，/BAC=90°AD±BC,E是AC的中點(diǎn)，AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.DFAF3、等積過渡法（等積代換法）例3:如圖5,在AABC中，/ACB=90°CD是斜邊AB上的高，G是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過B作BEL

5、AG,垂足為E,交CD于點(diǎn)F.求證:CD2=DFDG.小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用急：等線等比來代替。”同類練習(xí)：如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且/ADE=/C求證：(1)AADEs/ACB;(1題圖)(2)AD AB=AE AC.如圖，ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且ADE是等邊三角形，/BAC=120求證：（1廠ADBs/CEA;（2）DE2=BDCE;ABAC=ADBC.如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長(zhǎng)D=/ECA.求證：ADEC=ACEB.如圖，E是平行四邊形的邊DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證:FC2=FG

6、EF.6.如圖，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過F作FM/BE交DE于M.求證：FM=CF.7 .如圖，ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CE/AB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G,連接FC.求證：(1)BF=CF.(2)BF2=FGFE.8 .如圖，/ABC=90°,AD=DB,DE±AB,求證：DC2=DEDF.9 .如圖，四邊形ABCD中，AB/CD,AB±BC,AC±BD。AD=BD,過E作EF/AB交AD于F.是說明：(1)AF=BE;(2)AF2=AEEC.10 .AABC中，/BAC=900,AD_LBC,

7、E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AFo11 .已知，CE是RTAABC斜邊AB上的高，在EC延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P連接AP作BGAP,垂足為G,交CE于點(diǎn)D.試證：CE2=EDEP六、證比例式和等積式的方法：可用口訣：遇等積，改等比，平橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截；兩端行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；各自找聯(lián)系，可用射影和園幕.例1如圖5在AABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF，AB于一交4£的延長(zhǎng)線于H,交BE于G求證：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng).例2如圖6,CABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F,己知BE

8、：EC=3：1,Safbe=18，求：(1)BF：FD(2)Safda如圖7在AABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N.求：AN：AB的值；如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE，AC交ACFF,aFFG/AB交AE于G.求證：AG2=AFXFC如圖在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD=AC,DEBC,交AB于點(diǎn)E,EC交AD于點(diǎn)F.(1)求證：aABCs/FCD;(2)Safcd=5,BC=10,求DE的長(zhǎng).如圖10過MBC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E.過點(diǎn)D作DM/FC交AB于點(diǎn)M.若S'aef：S四邊形mdef=2：3

9、,求AE：ED；求證：AEXFB二2AFXED例7己知如圖11在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時(shí)，AADP與4QCP相似？例8己知如圖12在梯形ABCD中，AD/BC,/A=90°,AB=7,AD=2,BC=3.試在邊AB±確定點(diǎn)P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似.例9.如圖，已知ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，CF/BA,BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。求證：BP=PEPFo例10.如圖，己知：在ABC中，/BAC=900,ADBC,E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于FoAS_D

10、F求證：。八、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：（一）、作平行線例L如圖，ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E,且使AD=AE,DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F,求證：BFBDCFCE例2.如圖, ABC 中，ABVAC,在 AB、AC 上分別截取 BD=CE , DE,BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,證明:AB DF=ACEFc例3、如圖4-5, B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，貝U AF ：AE=例4、如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中

11、，對(duì)角線AC、BD交于0點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，0E交BC 于 F,若 AB=a , BC=b , BE=c,求 BF 的長(zhǎng).ABC中，在AC上截取AD,在CB延長(zhǎng)線上截取BE,使 AD=BE,求證：DF ?AC=BC ?FE如圖4ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB F F,求證：AE： ED=2AF ：FBo、作延長(zhǎng)線例7.如圖，Rt ABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線交BC于F, FG AB于G,求證：FG2=CF?BF例8 .如圖4-L已知平行四功ABCD中，E是AB的中點(diǎn),AF -AD3連E、F交AC于G.求AG ： AC的值.(三

12、)、作中線例 10 : 已知：如圖， ABC 中，AB = AC, BD _L AC 于 D .求證： B(?二 2CD AC .中考綜合題型1.已知:如圖，在ABC中， AB AC, A 36 ,BD是角平分線,試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說明AD2 DC2.如圖,矩形ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米(a 3).動(dòng)點(diǎn)M , N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B A, BC運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN , CD于P, Q .當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1 )若a 4厘米，t 1秒，則PM厘米;(2)若a5厘米，求時(shí)間t,使/PNBPAD,并求出它

13、們的相似比;3.如圖，己知ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是lcm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問題：(1)當(dāng)=2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說明理由；(2)設(shè)一BPQ的面積為S(end,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；4.如圖(10)所示：等邊/ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線BiQ_LAC于Ci交AB的延長(zhǎng)線于Bi.ACCDACiCiD請(qǐng)你探究：一一DB,必芮是否都成立？ACCD請(qǐng)你繼續(xù)探究：若為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問

14、一一定成立嗎?并證明你的判斷.5.如圖12,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，AB:BC=4:3,點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合),且/CEF=/ACB.(1)求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)說明AEF與-DCE相似；6 .如圖，在RtaABC中，/B=90°,AB=1,BC=-,以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交2CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E.(1)求人£的長(zhǎng)度;(2)分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F(F與C在AB兩側(cè))，A連接AF、E

15、F,設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G,連接AG,試猜想/EAG的大小，并說明理由.7 .如圖，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9,/BAC=/DEF=90°固定ABC,將aEFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線)于G、H點(diǎn)，如圖(2).(1)問：始終與AGC相似的三角形有(2)設(shè)CG=X,BH=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)2的情況說明理由)；9.(1)如圖1,在ABC中，點(diǎn)D,E,Q分別在AB,AC,BC上，且DE/BC,AQ交DE于點(diǎn)P.求證

16、：DPPEBQQC(2)如圖，在/ABC中，/BAO900正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在/ABC的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點(diǎn).如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長(zhǎng);10.如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn).且滿足AD=AB,/ADE=/C.(1)求證：/AED=/ADC,/DEC=/B；(2)求證：ab2=ae?ac.E是AC邊上一12.如圖，在-ABC中，/C=90°,AC=8,個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、B兩點(diǎn))，過點(diǎn)P分別作為M、N.設(shè)AP-x.(IteAABC中,AB=當(dāng)x=時(shí)，矩形PMCN的周長(zhǎng)是14；BC=6.P是AB邊上的一AC、BC邊的垂線,垂足(第25題)

17、是否存在x的值，使得4PAM的面積、CBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等？青說出你的判斷,并加以說明.14.如圖1,在RtAABC中，BAC90°AD_LBC于點(diǎn)D,弟邊上一點(diǎn)人連接盥交AD于F,0E±B0交BC邊于點(diǎn)E.(1)求證：/ABFsACOE；ACOF(3)也。頭AC3力出占.-11而宿吉建后山_的估16如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C,/DME=/A=/B二a且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì);(2)連結(jié)FG,如果a=45。，AB=4超AF=3,求FG的長(zhǎng).19.正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,M、N分別是B

18、C、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直，(1)證明：RtAABMsRtAMCN；(2)設(shè)BMX,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)RtAABMsRtAAMN,求x的值.20.如圖，ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于G.求證：GECD1CEAD315.已知/ABC=90AB=2,BC=3,ADBC,P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AB上，且滿足PCAB(如圖8所示).(1)當(dāng)八。=2,且點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)(如圖9所示)，求線段PC的長(zhǎng)；(2)在圖8中，聯(lián)結(jié)AP.當(dāng)AD3,且點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B、Q之間

19、的距離為2APQQy,其中Saapq表示4APQ的面積，pbc表示/PBC的面積，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出日變量的取值范圍;17.如圖L在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,0),直線BC經(jīng)過點(diǎn)B(8,6),C(0,6),將四邊形OABC繞點(diǎn)0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形0ABC，此時(shí)直線0A、直線BC分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q.(1)四邊形OABC的形狀是當(dāng)90°時(shí)，竺的值是RO(2)如圖2,當(dāng)四邊形0ABC的頂點(diǎn)B落在y軸正半軸時(shí)，求竺的值；BQ如圖3,當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在直線嚴(yán)上時(shí)，求/kOPB的面積.18.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=

20、1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=X,現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與邊的交點(diǎn)),點(diǎn)P重合，得折痕EF(點(diǎn)E、F為折痕與矩形再將紙片還原。(1)當(dāng)X=0時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為#.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為#(2)請(qǐng)寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x=2時(shí)菱形的邊長(zhǎng);相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解析、相似三角形(1)三角形相似的條件：:：二、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形,從而使問題得以解決.三、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1)先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，因?yàn)?/p>

21、這個(gè)條件最簡(jiǎn)單;2)再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例;3)若無對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例;a)已知一對(duì)等找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找夾邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似j,找夾角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似己知兩邊對(duì)應(yīng)成比r找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個(gè)直角斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似C）己知一個(gè)直找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對(duì)應(yīng)成比例判定定理2d）有等腰關(guān)v找頂角對(duì)應(yīng)相等找底角對(duì)應(yīng)相等判定定理1判定定理1找底和腰對(duì)應(yīng)成比例判定定理3e）相似形的傳遞性若is/2,sZ3.

22、,WJAi-s四、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”：若不能，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，這叫做“豎定”°有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時(shí)，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題例1、己知：如圖,AABC中，CE，AB,BF，AC.求證:讓AC復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。AFBA（判斷“橫定”

23、還是“豎定”？）例2、如圖，CD是RtaABC的斜邊AB上的高，/BAC的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F,ACAE=AFAB嗎？說明理由。分析方法：1）先將積式（“橫定”還是“豎定”？）例3、己知：如圖，ABC中，/ACB=900,AB的垂直平分線交AB于D,交BC延長(zhǎng)線于F。求證：CD"=DEDFo分析方法：1）先將積式過渡”其主要類型有三種，下面（“橫定”還是“豎定”？）五、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用分情況說明.3、等量過渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線

24、上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1:如圖3,ZABC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分線FE交BC的延長(zhǎng)線于E.求證：DE2二BECE.分析：4、等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)

25、論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。例2:如圖4,在/ABC中，/BAO90°,AD±BC,E是AC的中點(diǎn),AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：ACDFAF3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。例3:如圖5,在AABC中，/ACB=90°CD是斜邊AB上的高，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過B作BE，AG,垂足為E,交CD于點(diǎn)F.

26、求證：CD2=DFDG.小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用急：等線等比來代替?！蓖惥毩?xí)：如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且/ADE=/C求證：（1LADEs/ACB;（2）ADAB=AEAC.（1題圖）（2題圖）如圖，ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且aADE是等邊三角形，/BAC=120求證：（1/ADBs/CEA;（2） DE2=BDCE;（3） ABAC=ADBC.3.如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/D=/ECA.求證：ADEOACEB.（此題為陷阱題，應(yīng)注意條件中唯一的角相等，考慮平行四邊形對(duì)邊相等，用等線替代思想解決）4.如

27、圖，AD為/ABC中/BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線。求證：FD2=FCFBo（此題四點(diǎn)共線，應(yīng)積極尋找條件，等線替代，轉(zhuǎn)化為證三角形相似。）5 .如圖，E是平行四邊形的邊DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC2=FGEF.（此題再次出現(xiàn)四點(diǎn)共線，等線替代無法進(jìn)行，可以考慮等比替代。）6 .如圖，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過F作FM/BE交DE于M.求證：FM=CF.（注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。）7 .如圖，ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CEAB,BE

28、分別交AD、AC于點(diǎn)F、G,連接FC.求證：（1）BF=CF.(2)BF2=FGFE.（練習(xí)題圖）±AB,8 .如圖，/ABC=90°,AD=DB,DE求證：DC2=DEDF.9 .如圖，ABCD為直角梯形，AB/CD,AB±BC,AC±BDoAD=BD,過E作EF/AB交AD于F.是說明：（1）AF=BE;（2）AF2=AEEC.10 .AABC中，/BAO90°,AD，BC,E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AFo11 .已知，CE是RT-ABC斜邊AB上的高，在EC延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P連接AP,作BGAP,垂足為G,交CE于點(diǎn)D.試證：

29、CE2=EDEP（注：此題要用到等積替代，將CE2用射影定理替代，再化成比例式。六、證比例式和等積式的方法:交BE于G求證：(1)FG/FA=FB/FH(2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng).通常是借證三角形相似.找相似對(duì)線段比例式或等積式的證明:常用三點(diǎn)定形法”等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí),應(yīng)將線段比三角形來證轉(zhuǎn)移”（必要時(shí)需添輔助線），使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似明.可用口訣：遇等積，改等比,橫看豎看找關(guān)系;三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截;平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替;兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園幕.例1如圖5在4ABC中,AD、BE分別是BC、AC邊

30、上的高，DF，AB于F,交AG的延長(zhǎng)線于H ,或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn)）,若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6, MBCD中,E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F,已知BE： EC=3 ： 1 ,Safbe= 18，求： BF： FD(2) S AFDA1說明：證明線段成比例或等積式,三角形用三點(diǎn)定形法（在比例式中，平截比2說明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理.由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由定理”得到對(duì)應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積.例3如圖7在aABC中，AD是

31、BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N.求：AN：AB的值；3說明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡.當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡.例4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC交AC于F,過F作FG/AB交AE于G.求證：AG-=AF化4說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用三點(diǎn)定形法確定要證明的兩個(gè)三角形相似.、本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！例5如圖在aABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD=AC,DE_LBC,交AB于點(diǎn)E,EC交AD于點(diǎn)F.(1)求證：AB

32、Cs/FCD;(2)若Safcd=5,BC=10，求DE的長(zhǎng).5說明：要證明兩個(gè)三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個(gè)三角形相似.再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長(zhǎng).例6如圖10過MBC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AA分別交于點(diǎn)F和名.過點(diǎn)D作DM/FC交AB于點(diǎn)M.若Smef：S四邊形mdef=2：3,求AE：ED；求證：AEXFB=2AFXED6說明：由平行線推出兩個(gè)三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比.注意平截比定理的應(yīng)用.己知如圖11在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上

33、，當(dāng)BQ為何值時(shí)，aADP與AOCP相似？7說明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置.本題是開放性題型，有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解.例8己知如圖12在梯形ABCD中，AD/BC,/A=90°,AB=7,AD=2,BC=3.試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似.8說明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置.本題有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解.例H.如圖，已知ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，CF/BA,BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。求證：BP2=PE

34、PFo11分析：因?yàn)锽P、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)锳B=AC,D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC,由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC,只需證明PECs/PCF,問題就能解決了。本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持!例12.如圖，己知：在ABC中，/BAC=900,AD±BC,E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于F。求證：肚曲。12分析：比例式左邊AB,AC在AABC中，右邊DF、AF在4ADF中，這兩個(gè)三角形不相似，因此本題第一，從“已知”入手，通過推理論證, 的支撐，一直追溯回到“已知”；

35、,使之成為清晰的思維過程。需經(jīng)過中間比進(jìn)行代換。通過證明兩套三角形分別相似證得結(jié)論。七、確定證明的切入點(diǎn)。兒何證明題的證明方法主要有三個(gè)方面。得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”八、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：（一）、作平行線例1.如圖，ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E,且使AD=AE,DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F,求證：CFH例2.

36、如圖，ABC中，AB<AC,在AB、AC上分別截取BD=CE,DE,BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,證明：ABDF=ACEFO如圖4-5,B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，貝UAF：AE=如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于0點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，0E交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的長(zhǎng).ABC中，在AC上截取AD,在CB延長(zhǎng)線上截取BE,使AD=BE,求證：DF?AC=BC?FE本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持!例6 :如圖AABC中，AD為中線,CF為任一直線，CF交AD卜E,交AB卜F,求證：AE：ED=2AF：（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使

37、梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求t （用表示）FBo（二）、作延長(zhǎng)線例7.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線交BC于EFGAB于2G,求證：FG=CF?BFAF例8.如圖4-1,已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn),-AD3.淬E、F分AC干G.求AG：AC的值.（三）、作中線例10：已知：如圖，ABC中，AB二AC,BD，AC于D.求證:BC2-2CDAC.中考綜合題型1.已知：如圖,ABC 中,AB AC, A 36 ,BD是角平分線，試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說明2AD2DCAC.說明（1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，這是判斷兩個(gè)三角

38、形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對(duì)應(yīng)邊.（2）要說明線段的乘積式abcd,或平方式必be,一般都是證明比例式，-d,或-cba再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式.2.如圖，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA,BC運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB,分別交AN,CD于P,Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）若a4厘米，t1秒，則PM(2)若a5厘米，求時(shí)間t,使PNBsAPAD,并求出它們的相似比;(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求t (用

39、表示)本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持!3.如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是lcm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問題:(1)當(dāng)1二2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說明理由;(2)設(shè)-BPQ的面積為S(cml求S與t的函數(shù)關(guān)系式;4.如圖(10)所示：等邊，ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1QLAC于Ci交AB的延長(zhǎng)線于Bi.AC請(qǐng)你探究：一一AB請(qǐng)你繼續(xù)探究：若并證明你的判斷.CDACiCiDDB,必芮是否都成立？AC

40、CDABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問一一定成立嗎?5.如圖12,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形,AB=16,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，AB:BC=4:3,點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合),且/CEF=/ACB.(1)求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)說明/AEF與-DCE相似;6.如圖，在RtABC中，/B=90°,AB=1,BC=-,以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交2點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E.CA于點(diǎn)D；以(1)求人£的長(zhǎng)度；(2)分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F

41、(F與C在AB兩側(cè))，連接AF、EF,設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G,連接AG,試猜想/EAG的大小，并說明理由.7 .(2011廣東汕頭，21,9分)如圖(1),ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9,/BAC=/DEF=90°固定/ABC,將aEFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線)于G、H點(diǎn),如圖(2).(1)問：始終與/AGC相似的三角形有(2)設(shè)CG二x,BH二y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)2的情況說明理由)；8 .如圖8,ABC,是一張

42、銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH,使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC,AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.(1)求證：如ADBC(2)求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng).9 .(1)如圖L在ABC中，點(diǎn)D,E,Q分別在AB,AC,BC±,且DE/BC,AQ交DE于點(diǎn)P.求DPPE證：BQQC(2)如圖，在/ABC中，/BAC=900正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在ZABC的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點(diǎn).如圖2,若AB=AO1,直接寫出MN的長(zhǎng);10 .如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn).且滿足AD=AB,/ADE=/C.(1)求證：/AED=/ADC,/DEC=/B；(2)求證：AB2=AE7AC.11 .學(xué)習(xí)圖形的相似后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件。（1）“對(duì)與兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”。類似地，你可以等到：“滿足，或，兩個(gè)直角三角形相似”。（2）“滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，類似地你可以得到“滿足的兩個(gè)直角三角形相似”。請(qǐng)結(jié)合下列所給圖形，寫出已知，并完成說理過程。己知：如圖，試說明RtAKBCSRt',C.