綠化帶灌溉問題模型的建立與分析

1、中國礦業(yè)大學(xué)銀川學(xué)院數(shù)學(xué)建模大賽綠化帶灌溉問題論文A題 隊號：141 隊長名字：伏偉 隊員：李藝涵綠化帶灌溉問題模型的建立與分析摘要我國正日趨嚴(yán)重地受到水資源緊缺的制約，西北寧夏地區(qū)尤為突出，在供水不足，采用非充分灌溉時，如何在作物不同生育階段、不同作物間科學(xué)合理地分配有限的灌溉水，使缺水造成的損失減少到最低程度，是節(jié)水灌溉管理的關(guān)鍵問題之一。作物-水模型是描述作物產(chǎn)量與水分供應(yīng)時間和數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)，是實施有限水灌溉和優(yōu)化配水的基礎(chǔ)關(guān)鍵字：非充分灌溉 綠化帶 節(jié)約水一、問題的概述水是人類寶貴的資源，社會的存在發(fā)展離不開水. 但我國水資源現(xiàn)狀不容樂觀，是一個干旱缺水嚴(yán)重的國家,尤其是寧夏缺水

2、更嚴(yán)重，土地沙化嚴(yán)重，灌溉用水占了很大一部分，實施節(jié)水灌溉對經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有很大的積極意義。就全國來看，城市綠化灌溉水的浪費比較嚴(yán)重，灌溉用水量往往超過植物實際需水量，灌溉時間間隔以經(jīng)驗判斷。考慮到季節(jié)性，灌溉區(qū)域重復(fù)以及時間間隔，水管長度，汲水井的位置等方面對灌溉用水的影響。本著節(jié)約成本的目的（以節(jié)約水為主要目的），以我院圖書館正南面廣場綠化帶為例(實際數(shù)據(jù)以自己測量為依據(jù))，從以下幾個方面來考慮問題。問題一：以圖書館前綠化帶為例，采用滴灌方式，設(shè)置合理的汲水井個數(shù)及位置，分布水管，建立模型，使綜合成本最小。問題二：針對學(xué)校內(nèi)的所有綠化帶，建立模型，提供一種合理灌溉方式使綜合成本最小。二、模型假

3、設(shè)1.地理位置寧夏是中國水資源最少的省區(qū)，大氣降水、地表水和地下水都十分貧乏。且空間上、下分布不均，時間上變化大是寧夏水資源的突出特點。寧夏水資源有黃河干流過境流量325億立方米，可供寧夏利用40億立方米。水能理論蘊量195.5萬千瓦。水利資源在地區(qū)上的分布是不平衡的，絕大部分在北部引黃灌區(qū)，水能也絕大多數(shù)蘊藏于黃河干流。而中部干旱高原丘陵區(qū)最為缺水，不僅地表水量小，且水質(zhì)含鹽量高，多屬苦水或因地下水埋藏較深，灌溉利用價值較低。2.土壤情況寧夏的銀川以南地區(qū)分布的是斑狀輕度鹽化淺色草甸土,以北地區(qū)分布的是斑狀中、強(qiáng)度鹽化草甸土和淺色草甸鹽土,在地勢低洼地區(qū)鹽土呈大面積分布.由于地形和地下徑流流

4、速的差異,鹽分產(chǎn)生分異作用,形成的鹽土類型較多,諸如蓬松鹽土、潮濕鹽土、草甸鹽土、沼澤鹽土、蘇打鹽土等,在封閉洼地還有白僵土.鹽漬土鹽份主要為氯化物硫酸鹽和硫酸鹽氯化物,其次是重碳酸鹽的蘇打鹽土和白僵土.3.氣象資料銀川屬中溫帶大陸性氣候，年平均氣溫8.5，日溫差12-15，年平均日照時數(shù)2800-3000小時，是全國太陽輻射和日照時數(shù)最多的地區(qū)之一。年平均降水量203毫米，無霜期157天左右。主要氣候特點是：冬寒長、春暖快、夏熱短、秋涼早，干旱少雨，日照充足，蒸發(fā)強(qiáng)烈，晝夜溫差大等。問題一：假設(shè)忽略確定因素，只考慮灌溉問題影響因素，建立模型。問題一模型：基于prim算法的灌溉問題模型。三、模

5、型思路首先將n個頂點看成n個孤立的連通分支（n個孤立點），并隨意選取一個點當(dāng)做起點。從起點出發(fā)，加入與已知點相連的最小權(quán)值最小而且與以選取的點不構(gòu)成圈的邊，直到形成連通圖。以下是具體實現(xiàn)說明：對圖形的預(yù)處理與上面的模型相同，可以得到一個0-1的邊權(quán)矩陣，這里利用prim算法。其主要思路是：首先在邊權(quán)矩陣中從左上開始找第一個權(quán)值為1的元素，可以確定這條邊所連接的兩個節(jié)點。然后找與這兩個節(jié)點能直接相連的路徑（在邊權(quán)矩陣中橫坐標(biāo)為已經(jīng)找到的節(jié)點標(biāo)號所對應(yīng)的元素）中第一個權(quán)值為1的元素，重復(fù)上面的步驟，最后即可得到需要的最優(yōu)方案。與上面模型不相同的是，這種模型是在邊權(quán)矩陣中的一部分進(jìn)行尋找，而不是在整

6、個邊權(quán)矩陣中進(jìn)行尋找，所以在數(shù)據(jù)量較大時將會減少運算量，提高運算速度。具體步驟將在模型的建立中仔細(xì)說明。1、模型的建立及求解與前面的模型的處理相同，首先將原來的農(nóng)田縮略圖抽象成連通圖，并根據(jù)該連通圖的連接方式用矩陣輸入。接下來我們將輸入的數(shù)據(jù)用MATLAB程序（見附件二）運行。該程序即使基于prim算法的求解最小生成樹的程序，總體來說這種算法算是一種動態(tài)規(guī)劃問題，已知第k-1步的結(jié)果，并且知道第k步的各種方案，即可得到一種遞推關(guān)系，而且該問題的初值條件是容易得到的，所以可以得出我們所要的結(jié)果。對于該模型來說，通過找邊權(quán)矩陣中的最小的1的坐標(biāo)可以得到最初連接的兩塊農(nóng)田，就下來從這兩塊已經(jīng)得到的農(nóng)

7、田出發(fā)，找出能與這兩塊農(nóng)田相連的農(nóng)田，重復(fù)上面的步驟，就可以得到連接農(nóng)田的方案。該程序的運行結(jié)果與上面的模型相同。如圖：根據(jù)上面得到的連接方案可以畫出連接圖如圖1所示如圖12、模型的現(xiàn)實應(yīng)用與前面模型的情況相同，由于農(nóng)田的地理環(huán)境等條件有所差異，所以在不同的地點開鑿灌溉渠的費用也不相同。接下來本文將處理這個問題。首先將每天灌溉渠的價格表示出來，如圖2圖3此時經(jīng)變換后得到的邊權(quán)矩陣由前面的0-1矩陣變成了不同權(quán)值的對稱矩陣，prim算法將在矩陣中找到權(quán)值最小的邊，確定該邊的兩端節(jié)點，并從已經(jīng)確定的兩個節(jié)點出發(fā)，尋找能與這兩個點直接相連的邊中最小的一條，并再次確定下面得到的節(jié)點，反映到矩陣中，就是

8、在已經(jīng)確定的節(jié)點所對應(yīng)的行中找其中的最小元素。重復(fù)之前的步驟，繼續(xù)尋找與已經(jīng)確定的節(jié)點直接相連的最小權(quán)的邊，直到將所有的點都連接起來。這樣既可得到最優(yōu)連接方案。而這種算法比前面的kruskal算法的時間復(fù)雜度小，它只需找矩陣中一部分的最小值，而不是像kruskal算法一樣，每次都要尋找整個矩陣中所有元素的最小值。將連接方案以矩陣的形式輸入運行MATLAB程序后可得到如下結(jié)果根據(jù)上面的連接方案可以畫出下面的連接圖，如圖4圖4按照之前的思路，這里應(yīng)該考慮有向圖的問題了，也就是上面所說的，由于地勢高低不同的原因，造成灌溉渠水流方向不同其修建費用也不同。接下來本文將用prim算法解決這個問題。對于這種

9、問題，模型將前面的無向圖變?yōu)榱擞邢驁D，首先給出隨機(jī)生成的開鑿灌溉渠所需費用，以便本文對算法進(jìn)行說明。如圖5所示圖5對于雙向的連通圖，prim算法將做一些變動：由于每兩個節(jié)點都有兩條連接方式，它們的起點與終點不相同，所以在算法找最小元素時，不僅僅要找已經(jīng)確定的節(jié)點所在的行的最小元素，還要找其所在列的最小元素，表示要找的邊是可以與已知節(jié)點相連而且不計方向的最小權(quán)值所對應(yīng)的邊。運行matlab程序可得到如下結(jié)果：四、模型的建立與求解問題二：假設(shè)忽略條件問題，只考慮灌溉問題的因素。 模型二：作物水模型的確認(rèn)利用非充分灌溉試驗得到的作物在不同處理下各生育階段的土壤濕度及降雨資料，利用水量平衡方程計算出各

10、生育階段實際的作物騰發(fā)量,以充分灌溉00K1處理下的實際騰發(fā)量作為最大騰發(fā)量,分別與各試驗處理的實際產(chǎn)量和組成一組試驗數(shù)據(jù)。經(jīng)過數(shù)學(xué)演繹的適當(dāng)變換，均可化為多元線性回歸方程，利用最小二乘法的原理求回歸系數(shù)的最優(yōu)解，從而求解各模型的敏感系數(shù)，對敏感指數(shù)進(jìn)行回歸檢驗、階段分配分析。本設(shè)計采用EXCEL電子表格進(jìn)行計算。以下對模型確認(rèn)中涉及到的原理、方法做一詳細(xì)敘述：1、最小二乘法原理在實際問題中，從觀察數(shù)據(jù) ， i=1,2,3,N 去預(yù)測函數(shù)的表達(dá)式，即根據(jù)給定的一組數(shù)據(jù)點去描繪曲線的近似圖象。所給數(shù)本身不一定可靠，個別數(shù)據(jù)的誤差甚至可能很大，但給出的數(shù)據(jù)很多，所以曲線擬合要從一堆看上去雜亂無章的

11、數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，設(shè)法構(gòu)造一條曲線，反映所給數(shù)據(jù)點的總趨勢，消除所給數(shù)據(jù)的局部波動。直線擬合中，對于所給數(shù)據(jù)點應(yīng)盡可能的通過擬合直線，要求近似的有 i=1,2,N, 設(shè) i=1,2,N 表示按擬合直線求得的近似值，一般地，它不同于實測值，兩者之差 ，稱為殘差，殘差的大小是衡量擬合好壞的重要。基于以下準(zhǔn)則：來選取擬合曲線的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。2、模型參數(shù)推求原理對于乘法或加法模型雖自變量結(jié)構(gòu)形式不同，經(jīng)過數(shù)學(xué)演繹的適當(dāng)變換，均可化為多元線性回歸方程，用上述最小二乘法原理求回歸系數(shù)的最優(yōu)解。假定因變量的估計值與多元自變量具有線性關(guān)系，則可以將各種加法和乘法模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型：(5-

12、1)式中回歸系數(shù)代表水分敏感指標(biāo)（或）；可用多元回歸最優(yōu)化方法求得。對于本葵花作物非充分灌溉試驗設(shè)計共有處理N組，其處理號為j=1，2，N，N即多元線性回歸的方程組數(shù)。作物生育階段劃分為n個階段，階段序號i=1，2，n。n即所求參數(shù)的維（元）數(shù)，由此構(gòu)成N組樣品的n維求解問題。在N組處理的全面設(shè)計中，必定含有一組“濕處理”（充分灌溉），作為水分供應(yīng)最佳狀態(tài)用以觀測生長極限值、達(dá)到目標(biāo)，其余8組均為“干處理”（非充分灌溉），即包含有各個生育階段（i）不同缺水程度的多個處理，作為劣態(tài)性（或稱破壞性）試驗的對比觀測。為獲得唯一可行解，應(yīng)滿足N>n+1。為獲得最優(yōu)解，應(yīng)滿足N>>n的

13、約束條件。設(shè)非充分灌溉試驗?zāi)繕?biāo)、觀測j=N組處理（每組處理含3次重復(fù)），劃分i=n個階段，求得各階段的與相應(yīng)產(chǎn)量，共獲得N組、n維觀測數(shù)據(jù)列；由式（5-1），已設(shè)模型的Y與各自變量具有線性關(guān)系，即（5-2）式中 Y實際觀測值Y的估計值，對于的估計值為。由各個自變量的觀測值求各的估計值，為（5-3）展開即如下多元線性回歸方程組：（5-4）估計值與實際觀測之間總是具有誤差，則有以下誤差方程組：（5-5）若獲得方程(5-3)的總體估計中最接近，利用最小二乘法原理使?jié)M足總誤差Q最小：（5-6）即應(yīng)滿足方程組(5-5)中的各個方程(共N個)，先現(xiàn)在等式左、右平方而后相加，再分別令：(i=1,2,n) （

14、5-7）可得到回歸系數(shù)的方程組式(5-8),稱正規(guī)方程組。即（5-8）式中 即的簡寫，表示對所有處理（樣品）N的求和；第i個自變量所有樣品觀測（n個）的平均值，即第i個自變量的第j組樣品觀測值；因變量Y的第j組(或稱個)樣品的觀測值；因變量Y所有樣品(共N個)觀測值的平均值，即觀測方程組（5-8）的系數(shù)，可知各方程求和號內(nèi)各個乘積的兩個因子的排列具有非規(guī)則整齊特點。方程組左邊的各個乘積之和組成一個的方陣；主對角線上的元素是各個自變量的離差平方和，即；主對角線元素以外的元素是各個自變量的離差乘積之和，即，其中i和k各表示一個自變量。方程右邊的各個乘積之和，分別是各個自變量與因變量的離差乘積之和，

15、即。若令表示方程組左邊方程的各個元素，當(dāng)時，k=1,2,n。令，i=1，2，,n。則正規(guī)方程組(5-8)可改寫成常見的多元線性方程組即：（5-9）或?qū)懗删仃嚪匠蹋海?-10）式中 L各自變量的離差矩陣，為對稱陣；正規(guī)方程組的未知向量，即多元回歸方程的系數(shù)向量；是各自變量和因變量Y的離差乘積之和組成的向量。正規(guī)方程組式（5-8）和式（5-9）或式（5-10）即多元線性回歸基本方程組，一般多元線性回歸問題即此類方程的求解。由N個方程組的n個變量的原問題，至此變成n個自變量和n個方程數(shù)的正規(guī)方程求解問題標(biāo)準(zhǔn)問題，即可用熟知的高斯消去法原理，列主元素迭代求解。即可獲得作物各生育階段的敏感系數(shù)。3、參數(shù)

16、顯著性檢驗求得的參數(shù)需判別其自變量對因變量Y的影響是否顯著。換言之用的估計值Li作系數(shù)的回歸方程對任何一種田間試驗結(jié)果是否有意義，對其統(tǒng)計測驗的有效性評價稱顯著性檢驗。對多元線性回歸問題，因有多個自變量，相關(guān)分析比較復(fù)雜，應(yīng)采用全相關(guān)系數(shù)（又稱復(fù)相關(guān)系數(shù)）R表征，定義為同時考慮所有自變量（xi）與因變量（Y）的總相關(guān)系數(shù)；或?qū)⑷我蛔宰兞浚▁i+1）作因變量，而將其余的自變量（xi）和原因變量（Y）都作為自變量所求的全相關(guān)系數(shù)。計算公式見表24。表24 全相關(guān)系數(shù)R計算式i（或Ki）顯著性檢驗Yj回歸方程顯著性檢驗R的顯著性檢驗，檢查應(yīng)具有兩個自由度的全相關(guān)系數(shù)R檢驗表。第一個自由度f1=n，即

17、影響階段或影響因素自變量（）的個數(shù)。第二個自由度f2=N-1-n，即樣本單元數(shù)減1再減去自變量數(shù)?？捎肍檢法判別，計算公式見式5-11。（5-11）式中 稱大變量（分母）的自由度；稱小變量（分子）的自由度；再查F表得一定條件下的臨界值，比較有以下幾種情況：當(dāng)可認(rèn)為的自變量對因變量的影響顯著，或回歸方程（5-3）的總回歸效果有意義。故多元回歸方程的有效性顯著（可信）。當(dāng)F<則認(rèn)為影響不顯著或回歸方程不可信（無意義）。并用的不同界限值區(qū)別顯著性程度。復(fù)相關(guān)系數(shù)R值和相關(guān)關(guān)系的顯著性F值，可用下式進(jìn)行計算互換：（5-12）4、模型用階段相對騰發(fā)量作為自變量與相應(yīng)階段（i）敏感性冪指數(shù)表征的（1

18、968）模型。（5-13）式中的為作物不同階段缺水對產(chǎn)量的敏感性指數(shù)（冪指數(shù)型），i=1,2,n，生育階段劃分序號。由于ETa/ETm<1.0，一般，故值越大，將會使連乘后的Ya/Ym愈小。即表示對產(chǎn)量的影響愈大；反之愈小，會使Ya/Ym愈大，即表示對產(chǎn)量的影響愈小。因此，對于Jensen模型中的大者稱敏感性大的生育階段，小者稱敏感性小的生育階段。成為乘法模型的關(guān)鍵性參數(shù)。為將其轉(zhuǎn)換為回歸模型，將模型左右兩邊同時取自然對數(shù)，并且令，得到：具體計算過程同中所講，為了盡快得到各個參數(shù)，我們可以利用Microsoft Excel計算。五、模型的評價與推廣基于prim算法的灌溉問題模型。優(yōu)勢：算法易于理解，程序的時間復(fù)雜度較小。劣勢：當(dāng)數(shù)據(jù)較多時，此算法將占用較大的內(nèi)存。根據(jù)查閱資料 ，kruskal算法的時間復(fù)雜度為  而pr