圓中三角函數(shù)綜合例題及練習(xí)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓中的三角函數(shù)解決幾何圖形的三角函數(shù)求值問題，關(guān)鍵在于，找到相關(guān)的直角三角形.若沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需根據(jù)所給的條件，合理構(gòu)造直角三角形，或把角進行轉(zhuǎn)化。圓中有關(guān)此類問題的解決也不例外，現(xiàn)就解題策略分析如下：ACBDO圖1一、用圓周角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中例1(成都市)如圖1，已知AB是O的直徑，弦CDAB， ，BC=1，那么sinABD的值是 解析：在O中，ACD=ABD；又由于AB為O的直徑，CDAB，則ACD=ABC.RtABC中，AB=3,從而sinABD=.評注：借用“同弧所對圓周角相等”，把要求函數(shù)值的角予以轉(zhuǎn)化，充分本現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的巧妙運用。二

2、、用直徑與所對圓周角構(gòu)造直角三角形例2(煙臺市)已知是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點P，若DPB=，那么等于 Asin BCOS Ctan D解析： 連結(jié)BD,由于AB為直徑,則ADB=90°,圖2于是,在RtPBD中,有COS=,而點C和點A在圓周上，所以A=C，又APB=CPD，則APBCPD，從而=，所以=COS，故選B。評注：直徑所對的圓周角是直角。由此，可以得到一個直角三角形，從而為使用三角函數(shù)創(chuàng)造條件，因此，在解題中，要倍加關(guān)注直徑所對圓周角。三、轉(zhuǎn)化條件中的垂直關(guān)系構(gòu)造直角三角形例3(武漢市)如圖4，等腰三角形ABC中，ACBC10，AB12。以BC為直徑作O交AB

3、于點D，交AC于點G，DFAC，垂足為F，交CB的延長線于點E。(1)求證：直線EF是O的切線；ABDCEFGO圖4(2)求sinE的值。解析：（1）證明：如圖5,連結(jié)OD、CD，因為BC是直徑，所以CDAB，而AC=BC，則D是AB的中點又因為O是CB的中點，所以O(shè)D/AC由于DFAC，則ODEF，于是EF是O的切線.（2）連結(jié)BG，因為BC是直徑，所以BGC=90°在RtBCD中，CD=8圖5而AB·CD=2= AC·BG , 則有BG=.在RtBCG中，CG=;又因為BGAC， DFAC，所以BG/EF, 則E=CBG,從而sinE=sinCBG=評注：挖掘

4、圖形中的隱含關(guān)系，把已知條件中的垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造直角三角形，為求角的函數(shù)值提供便利.例4.如圖，Rt ABC中, ACB=90°，AC=4， BC=2,以AB上的一點0為圓心作O分別與ACBC相切于點D，E。 (1)求O的半徑。(2)求sin BOC的值。證：(1)：連OE,OD，證四邊形OECD為正方形，設(shè)半徑為R，=, R=； (2)，作CMAB于M，易求AB=2AB· CM=BC·AC， CM=,易求OC=,sin BOC=例5.如圖，等腰ABC中，AB=A C，以AB為直徑作O，交BC于點D，DEAC于點E。(1)求證：DE為O的切線：(2)若B

5、C=4，AE=1，求cos AEO的值。解：(1)連OD, C=ABC=ODB. OD/AC, ODE=DEC =90° (2) AEO=DOE, cosAEO= cosDOE=，連DA.證CD=BD =2， 證CDECDA,CD2=CE·CA=CE· (CE+1) CE =4, DE=2, OD=AC=，OE=,cos AEO= cosDOE=專練1如圖，已知RtABC和RtEBC，B=90°以邊AC上的點D為圓心， OA為半徑的O與EC相切于點D，ADBC. (l)求證： E=ACB: (2)若AD=1, tanDAC=，求BC的長 2如圖，已知點0

6、是RtABC的直角邊AC上一動點，以D為圓心，OA為半徑的O交AB于D點， DB的垂直平分線交BC于F,交BD于E。(l)連結(jié)DF，請你判斷直線DF與O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論(2)當(dāng)點D運動到OA=2OC時，恰好有點D是AE的中點，求tanB。3如圖，在ABC中AB=BC,以AB為直徑的O交AC于點D過D 作DFBC,交AB的延長線于點E,垂足為F . (1)求證；直線DE是O的切線；(2) 當(dāng)AB=5，AC=8時，求cosE的值4如圖，RtABC中， C=90°，BD平分 ABC，以AB上一點0為圓心， 過B、D兩點作O，O交AB于點E EFAC于點F。 (1)求證：O與AC相

7、切： (2)若EF=2，BC =4，求tanA的值。5如圖， ABP中，ABP=90°，以AB為直徑作O交AP于點C，在弧AC上取一點F，使弧CF=弧CB，過C作AF的垂線，垂足為M，MC的延長線交BP于D。 (1)求證：CD為O的切線。(2)連BF交AP于B若BE=6，EF=2求tan FAE。6如圖，AB是O的直徑，AC是弦，點D是的中點，,垂足為點P.（1）求證：PD是O的切線. （2）若AC=6, cosA=，求PD的長. 7如圖，O的直徑AB交弦CD于點M，且M是CD的中點.過點B作BE CD，交AC的延長線于點E.連接BC（1）求證：BE為O的切線；（2）如果CD=6，tanBCD=，求O的直徑的長 8ABCDEOF如圖，DEC內(nèi)接于O，AC經(jīng)過圓心交于點B，且ACDE，垂足為，連結(jié)AD、BE，若，BED=30°（1）求證：