(完整版)導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)及應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點總結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù)f (x) 在區(qū)間 x1, x2 上的平均變化率為：f (x2 )f ( x1 ) 。x2x12.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)yf ( x) 在區(qū)間 (a, b) 上有定義， x0(a, b) ，若x 無限趨近于 0 時，比值yf (x0x) f ( x0 )無限趨近于一個常數(shù)A，則稱函數(shù) f (x) 在 xx0 處可導(dǎo)，并稱該常數(shù) A為函數(shù) f (x) 在xxx x0 處的導(dǎo)數(shù)，記作f ( x0 ) 。函數(shù) f ( x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是在該點的瞬時變化率。3.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：（1 ）求函數(shù)的增量y f ( x0

2、x)f ( x0 ) ；（ 2 ）求平均變化率：f ( x0x)f ( x0 ) ；（ 3）取極限，當x 無限趨近與 0時， f (x0x)f (x0 ) 無限趨近與一個常數(shù)A，則xxf (x0 ) A .4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) f (x) 在 x x0 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線 y f (x) 在點 (x0 , f ( x0 )處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：（ 1）求出 y f ( x) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線y f ( x) 在點 ( x0 ,f ( x0 ) 處的切線的斜率；（ 2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為yy0 f (x0

3、 )( x x0 ) 。當點 P(x0 , y0 ) 不在 y f ( x) 上時，求經(jīng)過點P 的 y f ( x) 的切線方程，可設(shè)切點坐標，由切點坐標得到切線方程， 再將 P 點的坐標代入確定切點。 特別地， 如果曲線 yf ( x) 在點 ( x0 , f ( x0 ) 處的切線平行與 y 軸，這時導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x x0 。5. 導(dǎo)數(shù)的物理意義：質(zhì)點做直線運動的位移S是時間 t 的函數(shù) S(t ) ，則 VS (t ) 表示瞬時速度，a v (t) 表示瞬時加速度。二、導(dǎo)數(shù)的運算1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（ 1） (kxb)k ( k,b 為常數(shù) ) ；（2）C 0

4、(C為常數(shù))；（ 3） (x)1 ；（4） ( x2 )2x ；（ 5）32113 x ；（6） ( x )x2 ；(x )（ 7） ( x)1；（8） ( x)x 1 （ 為常數(shù)）；2x1（ 9） (a x ) a x ln a(a 0,a1) ；（ 11） (ex )ex ；（ 13） (sin x)cosx ；2. 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：（ 1） f ( x)g( x)f (x)g ( x) ；（ 3） f ( x) g( x)f (x)g (x)f (x) g ( x) ;（10） (log a x)1 log a e1 ( a 0,a 1)；xxln a（12） (ln x)1

5、；x（ 14） (cos x)sin x 。（ 2） Cf ( x)Cf ( x) （ C 為常數(shù)）；（ 4） f ( x) f ( x)g ( x)2f ( x) g (x) (g ( x) 0) 。g( x)g(x)3. 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：若 yf (u), uaxb ，則 yxyu ux ，即 yxyua 。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 求函數(shù)的單調(diào)性：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)y f ( x) 在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，（ 1）如果恒 f (x)0 ，則函數(shù) yf ( x)在區(qū)間 (a,b) 上為增函數(shù)；（ 2）如果恒 f (x)0 ，則函數(shù) yf ( x)在區(qū)間 (a,b)

6、上為減函數(shù)；（ 3）如果恒 f (x)0 ，則函數(shù) yf ( x)在區(qū)間 (a,b) 上為常數(shù)函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：求函數(shù)yf ( x) 的定義域；求導(dǎo)數(shù)f (x) ；解不等式f ( x)0 ，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；解不等式f (x)0 ，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來 ,也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設(shè)函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 ( a,b) 上為增函數(shù) , 則 f ( x)0( 其中使 f (x)0 的 x 值不構(gòu)成區(qū)間 ) ；(2)如果函數(shù) yf (

7、x) 在區(qū)間 (a,b) 上為減函數(shù) , 則 f (x)0 ( 其中使 f (x)0 的 x 值不構(gòu)成區(qū)間 ) ；(3)如果函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 (a,b) 上為常數(shù)函數(shù) , 則 f ( x)0 恒成立。2. 求函數(shù)的極值：設(shè)函數(shù) yf (x) 在 x0 及其附近有定義，如果對 x0 附近的所有的點都有f ( x)f ( x0 )（或 f ( x)f (x0 ) ），則稱 f (x0 ) 是函數(shù)f ( x) 的極小值（或極大值）。可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：（ 1）確定函數(shù) f ( x) 的定義域； （ 2）求導(dǎo)數(shù) f ( x) ；（3）求方程 f ( x)

8、0 的全部實根， x1x2 L xn ，順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：x 變化時， f(x) 和 f ( x) 值的變化情況：x( , x1 )x1( x1 , x2 )xn(xn ,)f (x)正負0正負0正負f (x)單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性（ 4）檢查 f ( x) 的符號并由表格判斷極值。3. 求函數(shù)的最大值與最小值：如果函數(shù)f ( x) 在定義域I 內(nèi)存在 x0 ，使得對任意的xI ，總有 f (x)f ( x0 ) ，則稱 f (x0 ) 為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。2求函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 a, b 上的最大值和最小

9、值的步驟：（ 1）求 f ( x) 在區(qū)間 ( a, b) 上的極值；（ 2）將第一步中求得的極值與f (a ), f (b) 比較，得到f ( x) 在區(qū)間 a, b 上的最大值與最小值。4. 解決不等式的有關(guān)問題：（ 1）不等式恒成立問題（絕對不等式問題）可考慮值域。f ( x)( xA) 的值域是 a, b 時，不等式f ( x)0 恒成立的充要條件是f ( x)max0 ，即 b0 ；不等式f ( x)0 恒成立的充要條件是f ( x) min0 ，即 a0 。f ( x)( xA) 的值域是 ( a, b) 時，不等式f (x)0 恒成立的充要條件是b0 ；不等式 f ( x)0 恒成立的充要條件是 a0 。（ 2 ） 證 明 不 等 式 f (x)0 可 轉(zhuǎn)化 為 證 明 f ( x) max0 ， 或