人口指數(shù)增長模型和Logistic模型參考模板

1、根據(jù)美國人口從1790年到1990年間的人口數(shù)據(jù)（如下表），確定人口指數(shù)增長模型和Logistic模型中的待定參數(shù)，估計出美國2010年的人口，同時畫出擬合效果的圖形。表1 美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)年 份1790180018101820183018401850人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份193019401950196019701980人口(106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5提示：指數(shù)增長模型：Lo

2、gistic模型：解：模型一:指數(shù)增長模型。Malthus 模型的基本假設下，人口的增長率為常數(shù)，記為r，記時刻t的人口為 ，（即為模型的狀態(tài)變量）且初始時刻的人口為，因為由假設可知 經(jīng)擬合得到：程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;1 / 13y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,

3、x(t),r,t,x1,b)結(jié)果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214x0= 1.2480e-016所以得到人口關(guān)于時間的函數(shù)為：，其中x0 = 1.2480e-016，輸入：t=2010;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大約為598.3529 。模型二：阻滯增長模型（或 Logistic 模型） 由于資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用，人口增長到一定數(shù)量后，增長率會下降，假設人口的增長率為 x 的減函數(shù)，如設，其中 r 為固有增長率 (x 很小時 ) ，為人口容量（

4、資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）， 于是得到如下微分方程： 建立函數(shù)文件curvefit_fun2.mfunction f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中調(diào)用函數(shù)文件curvefit_fun2.m % 定義向量（數(shù)組）x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(x,y,*,x

5、,y); % 畫點，并且畫一直線把各點連起來hold on; a0=0.001,1; % 初值% 最重要的函數(shù)，第1個參數(shù)是函數(shù)名（一個同名的m文件定義），第2個參數(shù)是初值，第3、4個參數(shù)是已知數(shù)據(jù)點a=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y); disp(a= num2str(a); % 顯示結(jié)果% 畫圖檢驗結(jié)果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,r);% 預測2010年的數(shù)據(jù)x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off運行結(jié)果：a=311.9531 0.02798178y

6、1 =267.1947其中a(1)、a(2)分別表示中的和，y1則是對美國美國2010年的人口的估計。第二題：問題重述：一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給與鼓勵，俱樂部只準備了一把軟尺用于測量，請你設計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假定魚池中只有一種鱸魚，并且得到8條魚的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長）：身長(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6問題分析：鱸魚的體重主要與魚的身長、胸圍有關(guān)系。

7、一般來說，鱸魚的胸圍越大，魚的體重會越重，身長越長，體重也越重。但魚的胸圍與身長之間又有些必然的聯(lián)系，共同影響魚的體重。建模的目的是尋求鱸魚體重與身長、胸圍之間的數(shù)量規(guī)律模型假設：1、鱸魚的身長越長體重越重，體重與身長存在正相關(guān)關(guān)系；2、鱸魚的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關(guān)的關(guān)系；3、鱸魚的胸圍、身長互相影響，共同作用鱸魚的體重；4、鱸魚的形態(tài)近似為與胸圍等周長與身長等高的圓柱體。符號說明：鱸魚的身長鱸魚的胸圍鱸魚的體重模型的建立及求解：（一）、鱸魚體重與身長模型的確立為了研究鱸魚身長與體重的關(guān)系，我們利用已測量的數(shù)據(jù)，取出身長及體重的數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件畫出散點圖，如下：從圖

8、形上看，鱸魚的體重與身長可能是二次函數(shù)關(guān)系，我們利用多項式擬合的方法，得到： (1)根據(jù)擬合的函數(shù)，我們畫出擬合圖：從擬合圖上看，大部分原始數(shù)據(jù)在擬合函數(shù)附近，說明用二次函數(shù)擬合的效果較好，下面利用得出的函數(shù)對魚的體重進行估計，用相對誤差檢驗擬合度，得到下表：表一、鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表身長（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389擬合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對誤差（%）3.20.445.73.444.935.753.57

9、0.86從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鱸魚體重的實際值與估計值的相對誤差不大，說明用二次函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關(guān)系式可行的。（二）、鱸魚體重與胸圍的模型確立 僅僅考慮鱸魚胸圍對體重的影響，我們采用與模型一相同的方法，先畫出鱸魚體重與胸圍的散點圖：從圖形上看，鱸魚體重與胸圍可能成線性關(guān)系，利用多項式擬合的方法，我們得到鱸魚體重與胸圍的函數(shù)表達式： (2)根據(jù)擬合函數(shù)（2），畫出胸圍與體重關(guān)系的擬合圖：利用擬合函數(shù)及實際數(shù)據(jù)，求出實際值與擬合值得相對誤差表：表二、鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)482482454

10、65273776511621389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對誤差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81從鱸魚胸圍與體重的擬合圖，及表二中的數(shù)據(jù)，我們可以得出用線性函數(shù)擬合胸圍與體重的關(guān)系擬合程度高，鱸魚體重的實際值與估計值的相對誤差不大，說明用線性函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關(guān)系式可行的。（三）、建立體重與身長、胸圍相互影響的模型實際情況下，鱸魚的體重不可能只由身長、胸圍單方面影響，因此考慮建立身長、胸圍共同作用體重的模型。此模型的建立是基于假設，（4），即：鱸魚的體態(tài)用與胸圍等周長，與身長等高的圓柱形來近似。因為圓柱體的體積等于底面積乘高，底面積可以用周長表示：.因此可以分析得出.又物體質(zhì)量等于密度與體積的乘積，因此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長、胸圍與體重的關(guān)系可以表示為：，問題轉(zhuǎn)化為對系數(shù)的求解。根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件求解，得到： 0.0327 （3）因此， （4）利用得出的函數(shù)對魚的體重進行估測并列如下表：表三、重量估計值及相對誤差重量（g)76548