原子彈爆炸的能量估計

1、優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模第第1講講 歡迎參加數(shù)學建模競賽暑期培訓歡迎參加數(shù)學建模競賽暑期培訓優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模一、問題背景：一、問題背景： 兩年以后，美國政府首次公開了這次爆炸的錄影帶，沒有發(fā)布任何有關(guān)的數(shù)據(jù)。如何對原子彈爆炸的能量進行估計？ Taylor通過研究這次爆炸的錄影帶，建立數(shù)學模型對這次爆炸所釋放的能量進行了估計。 1945年7月16日上午5時24分，美國科學家在新墨西哥州阿拉莫戈夫的“三一”試驗場內(nèi)的一個30米高的鐵塔上進行試驗， 試爆了全球第一顆原子彈。_,_國試爆第一顆原子彈1945年7月16日 美優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模模型準備 Taylor知道，爆炸是能量的釋放過程，在一

2、點上突然釋放大量的能量，爆炸的表面形成一個球面，以沖擊波的形式在空氣中向外傳播。沖擊波通過爆炸形成的“蘑菇云”反映出來。 Taylor研究錄影帶，測量出從爆炸開始，不同時刻爆炸所產(chǎn)生的“蘑菇云”的半徑。 t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t)0.10 11.1 0.80 34.21.50 44.43.53 61.115.0 106.50.24 19.90.94 36.31.65 46.03.80 62.925.0 130.00.38 25.41.08 38.91.79 46.94.07 64.334.0 145.00.52 28.81.22 41.01.93 48

3、.74.34 65.653.0 175.00.66 31.91.36 42.83.26 59.04.61 67.362.0 185.0單位：t (ms), r (m)利用利用左圖左圖及其及其他知他知識估識估計爆計爆炸能炸能量量表（1）優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模 數(shù)學建模涉及變量、參數(shù)和常數(shù)，它們大部分都是帶有單位的物理量。例如：某人的跑速是6米/秒，圓管的周長是10厘米等。 物理量當中有些稱為基本的，它們相互獨立并可以通過自然規(guī)律的各種定律構(gòu)成其它的物理量。現(xiàn)在公認的科學單位制是國際單位制，它由七個單位組成，如下圖。Taylor建立計算爆炸能量的數(shù)學模型所產(chǎn)用的是量綱分析法。二、量綱分析優(yōu)優(yōu) 化化

4、 建建 模模量的名稱單位名稱單位符號長度 L米m質(zhì)量 M千克Kg時間 T秒S電流強度 I安培A熱力學溫度開爾文K發(fā)光強度 J坎德拉Cd物質(zhì)的量 N摩爾mol 物理量的單位是這七個單位的復合。一個物理量Q一般可以表示為基本量的乘冪之積，表達式為 Q=NJITML優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模 1、在力學中，基本單位取作長度(L) 質(zhì)量(M) 時間(T)。則速度的量綱 v = 加速度的量綱a=2、量綱齊次性原則 任一有意義的方程必定是量綱一致的，即方程兩邊的量綱的一致性。 量綱分析就是利用量綱齊次原則來尋求物理 量之間的關(guān)系。10TLM20TLM優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模記爆炸能量e， 將“蘑菇云”看成球狀，

5、 “蘑菇云”的半徑r，空氣密度，大氣壓強P。于是要建立的數(shù)學模型可設(shè)為 f (r，e，P，t）=0優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模模型假設(shè) （1）爆炸是在一點突然發(fā)生，在壓強為p的空氣中傳播。 （2）同一時間只有一點發(fā)生爆炸，傳播的空間沒有大型障礙物阻止。 （3）爆炸開始的時間定位在t=0,爆炸的能量完全釋放。模型建立與求解 這是一個力學問題,基本量綱選作長度L，質(zhì)量M，時間T。上述涉及到的物理量的量綱可表為：優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模r=L，e= ，= ，P= ，t=T22MTLML321MTL且基本量綱數(shù)n=3問題物理量數(shù)m=5?？蓪懗隽烤V矩陣A=Rank(A)=3解齊次線性方程組 Ay=0優(yōu)優(yōu) 化化

6、建建 模模方程組有mr=53=2個基本解，可取上式給出了兩個相互獨立的無量綱量即由上得這就是用量綱分析法確定的 r 的表達式優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模 將上面的推導過程一般化，就是著名的Buckingham Pi定理: 設(shè)有m個物理量是與量綱單位選取無關(guān)的物理定律。 是基本量綱,nm, 的量綱可表為:0,2121mmqqqfqqq且nXXX,21mqqq,21矩陣A= mnija稱為量綱矩陣優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模 若A的秩為Rank(A)=r,設(shè)齊次線性方程組Ay=0的m - r個基本解為：為mr個相互獨立的量綱為1的量，且與等價。優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模為了利用表（1）數(shù)據(jù)，必須先估計2() 65

7、2230t Pe2()1 Taylor認為，對于原子彈爆炸來說，經(jīng)歷時間非常短，所釋放的能量非常大, 125(*)t erTaylor根據(jù)一些小型爆炸實驗數(shù)據(jù)，最終建議因此結(jié)果表明：半徑與大氣壓強無關(guān)，當5/2r,te與一定時，成正比。優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模對上式取對數(shù)后用線性最小二乘擬合， 1.數(shù)據(jù)檢驗三、數(shù)值計算brat設(shè)用表1數(shù)據(jù)去定 t , r優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模data= 0.10 11.1 0.80 34.2 1.5 44.4 3.53 61.1 15.0 106.5 0.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0 130.0 0.38

8、25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0 145.0 0.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0 175.0 0.66 31.9 1.36 42.8 3.26 59.0 4.61 67.3 62.0 185.0 ;t=;r=;for i=1:5 t=t;data(:,2*i-1); r=r;data(:,2*i);endr1=log(r);t1=log(t);s=polyfit(t1,r1,1);b=s(1);a=s(2);tt=0:0.1:70;rr=exp(a)*tt.b;plot(tt,rr,t,r,+)

9、 檢驗程序檢驗程序優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模010203040506070050100150200250經(jīng)計算得到b=0.4058，與量綱分析得到的結(jié)果非常接近。上圖給出了與實際數(shù)據(jù)擬合的情況。優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模為了由（*）和表1數(shù)據(jù)估計能量e，對（*）兩邊取對數(shù)，作線性最小二乘擬合，2.數(shù)據(jù)估計3=1.25 kg/)m這里取（10101051logloglog ()22ert10101051log,log,log ()22erx xt c可化為y=c,y=由表1數(shù)據(jù)算出y，擬合系數(shù)c,從而得到能量e,優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模x=log10(t*1e-3);y=5/2*log10(r)-x;pl

10、ot(x,y,+)xlabel(log10(t);ylabel(5/2*log10(r)-log10(t);c=mean(y)hold on;plot(x,c,.-);hold off;rou0=1.25;e=rou0*10(2*c)kiloton=e/4.184e12檢驗程序檢驗程序優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模經(jīng)計算得到c=6.9038，e=8.0276-4-3.5-3-2.5-2-1.5-16.66.656.76.756.86.856.96.95log10(t)5/2*log10(r)-log10(t)1310焦耳（國際標準單位)查表知1千噸TNT的核子能量12=4.184 10焦耳，由此得到原子彈爆炸的能量是19.1863千噸，與實際值21千噸相差不大。優(yōu)優(yōu) 化化 建建 模模直接由（*）作擬合，3.直接估計52ert對它進行最小二乘擬合，相當于取上式右端平