幾種插值法的應(yīng)用和比較論文(數(shù)學(xué)類)

1、幾種插值法的應(yīng)用與比擬 * 指導(dǎo)老師：*摘要 本文主要介紹了幾種常用插值法的應(yīng)用和比擬，針對每個插值法，經(jīng)過詳細(xì)的論證和討論，給出了每個插值法的優(yōu)點和缺點.通過對數(shù)學(xué)插值法的研究、比擬及應(yīng)用的討論及總結(jié)，從而得出所討論插值方法的各自優(yōu)勢，以方便用戶選擇適宜的插值法. 關(guān)鍵詞 拉格朗日插值 重心拉格朗日插值 分段線性插值1 引言在許多實際問題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，但是這些關(guān)系的顯示表達式不一定都知道，通常只是由觀察或測試得到一些離散數(shù)值，所以只能從這些數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)的近似表達式，有時雖然給出了解析表達式，但由于解析表達式過于復(fù)雜，計算起來十分麻煩.這就需要建立函數(shù)的某種近似表達

2、，而插值法就是構(gòu)造函數(shù)的近似表達式的方法.由于代數(shù)多項式是最簡單而又便于計算的函數(shù)，所以經(jīng)常采用多項式作為插值函數(shù)，稱為多項式插值.多項式插值法有拉格朗日插值法，牛頓插值法、埃爾米特插值法，分段插值法和樣條插值法等.其根本思想都是用高次代數(shù)多項式或分段的低次多項式作為被插值函數(shù)的近似解析表達式.2 拉格朗日插值法在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命函數(shù)物理量進行觀測，在假設(shè)干個不同的地方得到相應(yīng)的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，拉格朗日插值多項式.數(shù)學(xué)上英國數(shù)學(xué)家愛德華·華林于1779年發(fā)現(xiàn)，不久后由萊昂哈德

3、83;歐拉再次發(fā)現(xiàn).1795年，拉格朗日在其著作?師范學(xué)校數(shù)學(xué)根底教程?中發(fā)表了這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯(lián)系在一起.2.1 拉格朗日插值多項式圖1平面上四個點：(9, 5), (4, 2), (1, 2), (7, 9)，拉格朗日多項式：黑色穿過所有點.而每個根本多項式：, 以及各穿過對應(yīng)的一點，并在其它的三個點的值上取零.對于給定的假設(shè)個點,，對應(yīng)于它們的次數(shù)不超過的拉格朗日多項式只有一個.如果計入次數(shù)更高的多項式，那么有無窮個，因為所有與相差的多項式都滿足條件.對某個多項式函數(shù)，有給定的個取值點：,其中對應(yīng)著自變量的位置，而對應(yīng)著函數(shù)在這個位置的取值.假設(shè)任意兩個不同的都互不

4、相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：，其中每個為拉格朗日根本多項式或稱插值基函數(shù)，其表達式為：，拉格朗日根本多項式的特點是在上取值為1，在其它的點， 上取值為0.例假設(shè)有某個多項式函數(shù)，它在三個點上的取值為：· ，· ，· ，要求的值.首先寫出每個拉格朗日根本多項式：；然后應(yīng)用拉格朗日插值法，就可以得到的表達式為函數(shù)的插值函數(shù)：，此時數(shù)值就可以求出所需之值：.2.2 插值多項式的存在性與唯一性 存在性對于給定的個點：拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點取值為，而在其他點取值都是的多項式.這樣，多項式在點取值為，而在其他點取值都是.而多項式就

5、可以滿足，在其它點取值為的多項式容易找到，例如：，它在點取值為：.由于已經(jīng)假定兩兩互不相同，因此上面的取值不等于.于是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足“在取值為，而在其他點取值都是的多項式：，這就是拉格朗日根本多項式.唯一性次數(shù)不超過的拉格朗日多項式至多只有一個，因為對任意兩個次數(shù)不超過的拉格朗日多項式：和，它們的差在所有個點上取值都是,因此必然是多項式的倍數(shù).因此，如果這個差不等于，次數(shù)就一定不小于.但是是兩個次數(shù)不超過的多項式之差，它的次數(shù)也不超過，所以也就是說.這樣就證明了唯一性.2.3 幾何性質(zhì)拉格朗日插值法中用到的拉格朗日根本多項式由某一組 確定可以看做是由次數(shù)不超過的多項式所

6、組成的線性空間：的一組基底.首先，如果存在一組系數(shù)：使得，那么，一方面多項式是滿足的拉格朗日插值多項式，另一方面是零多項式，所以取值永遠(yuǎn)是.所以，這證明了 是線性無關(guān)個多項式，恰好等于 構(gòu)成了 的一組基底.拉格朗日根本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的都是次多項式.2.4 優(yōu)點與缺點拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當(dāng)插值點增加或減少一個時，所對應(yīng)的根本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣.這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替.此外，當(dāng)插值點比擬多的時候，拉格朗日插值多項式的次數(shù)可能會很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點，也

7、就是說盡管在的幾個點取到給定的數(shù)值，但在附近卻會和“實際上龍格現(xiàn)象，解決的方法是分段用較低次數(shù)的插值多項式.3 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改良.在拉格朗日插值法中，運用多項式，圖2拉格朗日插值法的數(shù)值穩(wěn)定性：如圖(2)，用于模擬一個十分平穩(wěn)的函數(shù)時，插值多項式的取值可能會突然出現(xiàn)一個大的偏差圖中的14至15中間可以將拉格朗日根本多項式重新寫為：，定義重心權(quán)，上面的表達式可以簡化為：，于是拉格朗日插值多項式變?yōu)椋?， 1即所謂的重心拉格朗日插值公式第一型或改良拉格朗日插值公式.它的優(yōu)點是當(dāng)插值點的個數(shù)增加一個時，將每個都除以，就可以得到新的重心權(quán)，計算復(fù)雜度為，比

8、重新計算每個根本多項式所需要的復(fù)雜度降了一個量級.將以上的拉格朗日插值多項式用來對函數(shù)插值，可以得到：，因為是一個多項式.因此，將除以后可得到：， 2這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式第二型或真正的重心拉格朗日插值公式.它繼承了1式容易計算的特點，并且在代入值計算的時候不必計算多項式它的另一個優(yōu)點是，結(jié)合切比雪夫節(jié)點進行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點個數(shù)趨于無窮時，最大偏差趨于零.同時，重心拉格朗日插值結(jié)合切比雪夫節(jié)點進行插值可以到達極佳的數(shù)值穩(wěn)定性.第一型拉格朗日插值是向后穩(wěn)定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩(wěn)定的，并且勒貝格常數(shù)很小.4 分段線性插值對于分段線性插值，我們看一

9、下下面的情況.4.1 問題的重述 ,用分段線性插值法求插值，繪出插值結(jié)果圖形，并觀察插值誤差.1.在-6，6中平均選取5個點作插值；2.在-6，6中平均選取11個點作插值；3.在-6，6中平均選取21個點作插值；4.在-6，6中平均選取41個點作插值.4.2 問題的分析.分析問題求解方法如下：1利用函數(shù)式計算取樣點對應(yīng)的函數(shù)值；將作為兩個等長的向量，分別描述采樣點和樣本值.因此被插值函數(shù)是一個單變量函數(shù)，可利用一維插值處理該數(shù)據(jù)插值問題.一維插值采用的方法通常有拉格朗日多項式插值此題采用3次多項式插值，3次樣條插值法和分段線性插值.2分別利用以上插值方法求插值.以0.5個單位為步長劃分區(qū)間-6

10、，6，并將每一點作為插值函數(shù)的取樣點.再根據(jù)插值函數(shù)計算所選取樣點的函數(shù)值.最后再利用所得函數(shù)值畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，并與原函數(shù)的圖象進行比照.4.3 問題的假設(shè) 為了解決上述分析所提到的問題，此題可以作出如下假設(shè)：1假設(shè)原函數(shù)僅作為求解取樣點對應(yīng)的樣點值的函數(shù)關(guān)系式.而其他各點的函數(shù)值都是未知量，敘用插值函數(shù)計算. 2為了得到理想的比照函數(shù)圖象，假設(shè)為的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù).可以選取0.5個單位為步長劃分區(qū)間-6，6，分別計算插值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)在該區(qū)間的取樣點的函數(shù)值.畫出函數(shù)圖象進行比照. 4.4 分段線性插值原理給定區(qū)間, 將其分割成，函數(shù)在這些插值結(jié)點的函數(shù)值為；求一個分段函數(shù),使其滿足： (1)

11、，； (2) 在每個區(qū)間上, 是個一次函數(shù).易知,是個折線函數(shù), 在每個區(qū)間上,于是, 在上是連續(xù)的，但其一階導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的.于是即可得到如下分段線性插值函數(shù)：,其中 4.5 問題的求解在MATLAB中實現(xiàn)分段線性插值，最近點插值，3次多項式插值，3次樣條插值的命令為interp1,其調(diào)用格式為: 1=interp1(,1，method)函數(shù)根據(jù),的值，計算函數(shù)在1處的值.,Y是兩個等長的向量，分別描述采樣點和樣本值，1是一個向量或標(biāo)量，描述欲插值點，1是一個與1等長的插值結(jié)果.method是插值方法，包括：linear：分段線性插值.它是把與插值點靠近的兩個數(shù)據(jù)點用直線連接，然后在直線讓選取

12、對應(yīng)插值點的數(shù).nearest：近點插值法.根據(jù)兩點間的插值點與這兩點間的位置遠(yuǎn)近插值.當(dāng)插值點距離前點遠(yuǎn)時,取前點的值,否那么取后點的值.cubic：3次多項式插值.根據(jù)數(shù)據(jù)求出一個3次多項式，然后根據(jù)多項式進行插值.spline：3次樣條插值.在每個分段子區(qū)間內(nèi)構(gòu)造一個3次多項式，使其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求個節(jié)點處具有光滑條件.再根據(jù)數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后,按照樣條函數(shù)插值.運用Matlab工具軟件編寫代碼，并分別畫出圖形如下：(一)在-6，6中平均選取5個點作插值：二在-6，6中平均選取11個點作插值：三在-6，6中平均選取21個點作插值：四在-6，6中平均選取41個點作插值4.6

13、 插值方法的優(yōu)劣性分析從以上比照函數(shù)圖象可以看出，分段線性插值其總體光滑程度不夠.在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是函數(shù)(曲線) 的階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么稱該曲線具有階光滑性.一般情況下，階數(shù)越高光滑程度越好.分段線性插值具有零階光滑性，也就是不光滑.3次樣條插值就是較低次數(shù)的多項式而到達較高階光滑性的方法.總體上分段線性插值具有以下特點：優(yōu)點: 1.分段線性插值在計算上具有簡潔方便的特點.3次多項式插值函數(shù)在每個小區(qū)間上相對于原函數(shù)都有很強的收斂性，舍入誤差影響不大，數(shù)值穩(wěn)定性好且容易在計算機上編程實現(xiàn)等優(yōu)點缺點: 分段線性插值在節(jié)點處具有不光滑性的缺點(不能保證節(jié)點處插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù))，從而

14、不能滿足某些工程技術(shù)上的要求.而3次樣條插值卻具有在節(jié)點處光滑的特點.結(jié)束語 插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，它是數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解等數(shù)值的根底與工具.由于多項式具有形式簡單，計算方便等許多優(yōu)點，故本文主要介紹多項式插值，它是插值法中常用和最根本的方法.拉格朗日插值多項式的優(yōu)點是表達式簡單明確，形式對稱，便于記憶.它的缺點是如果要想增加插值節(jié)點，公式必須整個改變，這就增加了計算工作量.由于高次插值多項式具有數(shù)值不穩(wěn)定的缺點龍格插值，高次插值多項式的效果并非一定比低次插值好，所以當(dāng)區(qū)間較大、節(jié)點較多時，常用分段低次插值，如分段線性插值和分段二次插值.由于分段插值是局部化的，即每個節(jié)點只影響

15、附近少數(shù)幾個間距，從而帶來了計算上的方便，可以步進地進行插值計算.同時也帶來了內(nèi)在的高度穩(wěn)定性和較好的收斂性，因此它是計算機上常用的一種算法.分段插值的缺點是不能保證曲線在連接點處的光滑性.為了保證插值曲線在節(jié)點處不僅連接而且光滑，可用樣條插值方法.三次樣條插值法師最常用的方法，它是整個插值區(qū)間上可保證具有直到二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性.用它來求數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解等，都能起到良好效果.參考文獻1徐翠樓，數(shù)值計算方法，高等教育出版社，2002.2馮康等，數(shù)值計算方法，國防工業(yè)出版社，1978.3彭湘暉，幾種常用插值方法比擬分析J，黑龍江水利科技，2021 136：6263.4李慶揚，王能超， 數(shù)值分

16、析M，武漢：華中科技大學(xué)出版社，2001.5吳才斌，插值方法J， 湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報，1999，5.6徐翠薇，孫繩武， 計算方法引論M，北京：高等教育出版社，2002.7Jiang Qin，common interpolation method and its application of Yunyang Teachers'College， 2006.Application and comparison of several interpolation methodAuthor:Cheng Shuangying Supervisor: Wang ZhihuaAbstract: This paper mainly introduces the application and comparison of several common interpolation methods.The advantages and disadvantages of each method are given after detailed argumentation and discussion.The respective advantages of interpolation methods are obtained based on researc