單調(diào)性和奇偶性測(cè)驗(yàn)(簡(jiǎn)單)

1、函數(shù)的的單調(diào)性及奇偶性單元練習(xí)一、選擇題1 .若y = f(x)為偶函數(shù)，則下列點(diǎn)的坐標(biāo)在函數(shù)圖像上的是()A. (-a,-f(a) B. (a,-f(a)C. (-a, f(a)D. (-a,-f (-a)9 / 72 .下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()C_12,A. y=x B. y=3x C. y =- y = -x +4 x3 .下列判斷中正確的是(A. f(x) =(Vx)2是偶函數(shù)Bo f(x)=(j7)2是奇函數(shù)C. f(x)=x21在卜5, 3上是偶函數(shù)D。f (x) = J3 x2是偶函數(shù)4.若函數(shù) f (x) = ax2+bx + c(a #0)是偶函數(shù)，則

2、g(x) = ax3+bx2+cx是(A.奇函數(shù) Bo偶函數(shù)Co非奇非偶函數(shù)D。既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)26.已知函數(shù)y = f (x)為奇函數(shù)，且當(dāng)*0時(shí)£(乂)=乂 一2x+3,則當(dāng)x< 0時(shí)，f (x)的解析式為()2A. f(x) - -x2x -32B. f(x) - -x2 -2x-32_2_C. f(x) =x2 -2x 3D. f(x)-x2-2x 38.下列判斷正確的是()A.定義在R上的函數(shù)f(x),若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2),則f(x)是偶函數(shù)B.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1),則f(x)在R上不是減函數(shù)C.定義在R上

3、的函數(shù)f(x)在區(qū)間(*,0上是減函數(shù)，在區(qū)間 (0,+b)上也是減函數(shù)，則f(x)在R上是減函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有且只有一個(gè)9、奇函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上是減函數(shù)且有最小值m ,那么f (x)在-b, -a上是()A、減函數(shù)且有最大值- mB、減函數(shù)且有最小值- mC、增函數(shù)且有最大值-mD、增函數(shù)且有最小值-m10.設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：若f(x)單調(diào)遞增,若f(x)單調(diào)遞增,若f(x)單調(diào)遞減,若f(x)單調(diào)遞減,g(x)單調(diào)遞增,則g(x)單調(diào)遞減,則g(x)單調(diào)遞增,則g(x)單調(diào)遞減,則f(x) -g(x)單調(diào)遞增;f(x) -g(x

4、)單調(diào)遞增;f (x) - g (x)單調(diào)遞減;f(x) -g(x)單調(diào)遞減;其中正確的命題是()A.B。C。D。二、填空題13.已知函數(shù)y=f(x)是R上奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=1,則函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式是一一214.函數(shù)y= x -2ax+1,右它的增區(qū)間是2,+8)，則a的取值是 A;右它在區(qū)間2, +8) 上遞增，則a的取值范圍是1.1. 若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x之0時(shí)為增函數(shù)，那么使f(冗)<f(a)的實(shí)數(shù)a的取 值范圍 17 .有下列下列命題：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；定義在R上的奇函數(shù)f(x)必滿足f(0)=0;當(dāng)

5、且僅當(dāng)f(x)=0 (定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱) 時(shí)，f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。其中正確的命題有220 .已知 f (x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且 f(x) g(x) = x +2x + 3 ,則 f (x) + g(x)=三、解答題21 .已知f(x)是一個(gè)定義在 R上的函數(shù)，求證：(1) g(x)= f(x)+ f( x)是偶函數(shù)；(2) h(x)= f(x) f(x)是奇函數(shù).222 .已知函數(shù) f(x)=x -2|x|.(I)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(n)判斷函數(shù) f(x)在(1,0)上的單調(diào)性并加以證明. .2 一23 .試判斷函數(shù)f(x)=x+在*'2, +8止的單調(diào)

6、性. x24 .已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1 , 1),且滿足下列條件：(1) f(x)=- f(-x);(2) f(x)在定義域上單調(diào)遞增；(3) f (1-2a)- f(1-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案一、選擇題1. C.解析：: y = f (x)為偶函數(shù)，f (a) = f (a) ,點(diǎn)(-a, f (a)在函數(shù)圖像上,故選Co2. A.解析：結(jié)合函數(shù)圖象易知選 A3. D.解析：若函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，據(jù)此選 D。24. A.解析：函數(shù)f(x)=ax +bx+c(a 00)是偶函數(shù)，則f(x)=f(x)在其te義域R上恒成立，由此可得

7、b=0,從而易知g(x)=ax3+bx2 +cx為奇函數(shù)，因?yàn)閍#0,所以g(x)不可能為偶函數(shù)，故選 A。5. D.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的增函數(shù)，且A(0, 1)、B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，所以 不等式, f (x)之1的解集為x M0,或x 2 3,從而|f(x+1)| <1的解集的補(bǔ)集為(一8,1U 2,+ 8),故選D。26. B.解析；因?yàn)?函數(shù)y = f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x A0時(shí)f(x) = x2 -2x + 3,則當(dāng)x < 0時(shí),x > 0,.,. f (-x) = (-x)2 -2 (x) +3 = x2 + 2x + 3,即一 f (x) =

8、x2 +2x +3,二 f (x) = -x2 -2x-3 ,故選 B。7. C.解析：丁 x>x2,xi+x2>0,x1A0,且 x1>x2,又; f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，f (x) = f(x) = f(x)。又f(x)在(一s, 0上單調(diào)遞增，f(x)在0,一)上單調(diào)遞減，f(x1 ) < f (x2)f (x1) < f( x2)，故選 C。8. B.解析；定義在R上的函數(shù)f(x),當(dāng)且僅當(dāng)f(-x)=f(x)在R上恒成立時(shí)，才能斷言 函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，故A不正確；定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(，,0上是減函數(shù), 在區(qū)間(0,十無(wú))上

9、也是減函數(shù)，則f(x)在R上是減函數(shù)不正確，反例如下：f (x)-x - 1, x - 0-x 1, x 0對(duì)于函數(shù)f(x)=0,只要其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它就既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)不是有且只有一個(gè)，而是有無(wú)數(shù)個(gè)，故D不正確。對(duì)于選項(xiàng) B,可用反證法證明其正確性。故選 Bo9. C.解析：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，故選 Co10. C.解析：注意到：兩個(gè)單調(diào)性相同的和函數(shù)的單調(diào)性不變，f(x)與-f(x)的單調(diào)性相反。故選Co選做題11. D.解析：因?yàn)槎x在 R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)= f(x)，所以f(x+2) =-f (x+1) = f (

10、x)。又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以a = f (3) = f(-3) = f (-3+2) = f(1),b= f (2) = f (2 +J2), c= f (2)= f (0) 而函數(shù)f(x)在1,0上單調(diào)遞增，設(shè)a,b,c的大小關(guān)系是c>b>a,故選D。12. C.解析：采用特殊值法。根據(jù)題意，可設(shè)f (x) = x,g(x)= x，又設(shè)a = 2,b=1,易驗(yàn)證與成立，故選 C 二、填空題1(x 0)If (x) = 0(x = 0)13. 。1 (x<0)解析：參見(jiàn)第6題，同時(shí)注意到函數(shù) y=f(x)是R上奇函數(shù)，必有 f(0) = 0。14.

11、a =2;a _22斛析：函數(shù)y= x -2ax+1圖象的對(duì)稱軸為直線 x = a,遞增區(qū)間為a,+w)。右它的增區(qū)間是2, +°°),則.a=2;若它在區(qū)間2, +8)上遞增，則區(qū)間2, +8)是區(qū)間為a,+望)的子區(qū) 間，從而a的取值范圍是a < 2 15. (-1,0) (1,二)解析：f(x)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)閤|x Wr 且x#0,且 f(-1)=0, f (1)= 0。又f(x)在(0, +七)上是增函數(shù)，f (x)在(,0)上也是增函數(shù)，畫出其草圖，易知滿足 f(x)>0的x取 值范圍是(1,0)U (1,2)。16. a >>或a

12、< 一>解析： f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x*0時(shí)為增函數(shù)，在區(qū)間(*,0)上函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可知使f(n)<f(a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 或a父一冗 17.、解析：偶函數(shù)的圖象不一定與 y軸相交，奇函數(shù)的圖象也不一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，這要看x = 0是否在函數(shù)的定義域中；易知、正確。18.x+1 :x-12219 - x x; x x20 -x2 2x -3解析：: f (x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x) g(x) = x2 +2x + 3,f (-x) -g(-x) =(x)2 2( x) 3, _f (x) g(x) =x2 -2x 3.f(x) g(x) -

13、 -x2 2x - 3三、解答題21 .證明：(1) g(_x) = f (-x) + f (x) = f(x) + f (-x) = g(x)，g(x)是R上的偶函數(shù)h(-x)= f (_x)f (x) - -f (x) - f (-x) - -h(x).h(x)是一R上的奇函數(shù).22 .解析：(I )是偶函數(shù).定義域是R, -2_2_ f(-x)=(-x) -2|-x|=x -2|x|=f(x).函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(n)是單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)xw(1,0)時(shí)，f(x)=x2+2x設(shè) 一1 < X < x2 < 0 ,則 x x2 c 0 ,且 x1 + x2 A 2 ,即

14、 x1 + x2 + 2 A 0, f(xi) - f(x2) =(x2 -x2) 2(% -x2)=(x1 -x2)(x1 x2 2) : 0f(xi):二。)所以函數(shù)f (x)在(-1,0)上是單調(diào)遞增函數(shù).23、解：(1)令 x=y=0 , f (0 ) = 0 ,(2)令 x=-y,即得 f(0)= f (x)+ f ( x ),即證(3) x>0, f(x) <0,由(2)知 f(x)為奇函數(shù)，x<0,f(x)>0，從而 f(x)有最大值和最小值，f x max = f -3 = f -1 f -1 f 1 =6, f x min = f 3 )-6設(shè)函數(shù)f

15、(x)在(-8,0)U(0,+至)上是奇函數(shù)，又 f(x)在(0, +8)上是減函數(shù)，并且1f (x) <0,指出F(x)= 在(8 0)上的增減性 ？并證明.f (x)24 .解；F(x)在(-°0,0)上是增函數(shù).證明過(guò)程如下：設(shè) Xi < X2 M0,貝 U Xi AX2 A0,二 F(Xi) F(X2 )f(X2)-f(Xi)f(Xi) f(X2)f(Xi)f(X2)f (x)在(0,收)上是減函數(shù)，二 f (-Xi) < f (-X2) o又f(X)是奇函數(shù),-f(Xi)<-f(X2),A f(X2)- f(Xi) <0f (x) ： 0,x

16、(0, -：),-Xi-X20,. f(Xi) =-f (-Xi) , 0, f(X2) =-f (-X2)0, f(Xi)f(X2) 0,. F(Xi)-F(X2)。F(Xi) ： F(X2)F(x)在(g,0)上是增函數(shù)25 .解：設(shè) < 2 < Xi < X2 < + ,則有一 、一、2222f(Xi) " f(X2)- Xi-(X2一 ) =(Xi- X2 )(一- 一 )XiX2XiX2選做題26.解:= (Xi -X2) (2x2 -2Xi)=(Xi -X2)(iXi X2Xi)X2X1x2 - 2= (Xi - X2)().Xi X2T J2 <xi<x2c +30 ,xi-x2< 0 且xx2- 2 > 0 ,所以 f (x1)一 f (x2) <0 ,即 f (x)< f (X2) .所以函數(shù)y= f (X)在區(qū)間J2, +8)上單調(diào)遞增.(i)函數(shù)f(x)的圖像如右圖所示;(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-i , 0和2, 527.(i)證明：令一 Ki<X2<1,且 a= xi, b= X2f(Xi)f(-X2)-則一>0 -.Xi - X2<0, f(x)是奇函數(shù)Xi