專題4：圓與相似

1、專題：圓與相似(1)1 .如圖，AB是。的直徑，弦 CD±AB于H.點(diǎn)G在。O上，過點(diǎn) G作直線EF,交CD延長 線于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn) F.連接AG交CDT K,且KE= GE(1)判斷直線EF與。的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若 AC/ EF, AH 3, FB= 1,求。的半徑.AC 52 .如圖，PB為。的切線，B為切點(diǎn)，直線 PO交。于點(diǎn)E, F,過點(diǎn)B作PO的垂線BA垂 足為點(diǎn)D,交O。于點(diǎn)A,延長AO與O O交于點(diǎn)C,連接BC, AF.(1)求證：直線PA為。的切線；(2)試探究線段EF,。口 OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)若BC= 6, tan/F=l,

2、求cos/ACB的值和線段 PE的長.23 .如圖所示，AB是。的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過 C作CD!AB于點(diǎn)D, CD 交AE于點(diǎn)F,過C作CG/ AE交BA的延長線于點(diǎn) G.連接OC交AE于點(diǎn)H。(1)求證：GCL OC(2)求證：AF=CE(3)若/ EAB=30 , CF=2,求 GA的長.4 .如圖，在 ABC AB=AC以AB為直徑的。O分別交 AG BC于點(diǎn)口 E,點(diǎn)F在AC的延長，一 1線上，且/ CBF=1 / CAB2(1)求證：直線BF是。的切線；(2)若 AB=5 sin Z CBF=5 ,求 BC和 BF的長.55 .如圖，O。的弦AB=&直徑

3、CDLAB于M OM : MD =3 : 2, E是劣弧CB上一點(diǎn)，連結(jié)CE并延長交CE的延長線于點(diǎn)F.求：(1)。的半徑；(2)求CE- CF的值.6 .如圖，已知在 ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，/ PACW PBA。是4ABC的外接圓，AD是 。的直徑，且交 BP于點(diǎn)E.(1)求證：PA是。的切線；(2)過點(diǎn)C作CF±AD,垂足為點(diǎn) F,延長CF交AB于點(diǎn)G 若AG?AB=12求AC的長；(3)在滿足(2)的條件下，若 AF: FD=1: 2, GF=1,求O。的半徑及sin /ACE的值.7 .如圖，在 ABCK / C=90° , AC=3 BC功BCi上一點(diǎn)，以0

4、為圓心，。斯半徑作半圓與BCi和ABa分別交于點(diǎn) D點(diǎn)E,連接DE(1)當(dāng)BD=3寸，求線段DE1勺長；(2)過點(diǎn)E作半圓O勺切線，當(dāng)切線與ACi相交時，設(shè)交點(diǎn)為F.求證： FAE等腰三角形.8 .如圖，在 ABW, / C=90° , / ABC勺平分線交ACF點(diǎn)E,過點(diǎn)EfBE勺垂線交A盯點(diǎn)F, 。加 BEF勺外接圓.(1)求證：AO 0O勺切線；(2)過點(diǎn)日EHU AB,垂足為H,求證：CD=HF(3)若 CD=1, EH=3 求 BF及AFK.9 .如圖，BDOO勺直彳空,OAL OB，娓劣弧 上一點(diǎn)，過點(diǎn) M乍OO勺切線M改OA勺延長線于P 點(diǎn)，MDf。儂于N點(diǎn).( 1 )

5、求證：PM=PN；(2)若 BD=4, PA= AQ 過點(diǎn) BBC/ M&OCT CM 求 BC勺長.10 .如圖是一個量角器和一個含 30。角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點(diǎn) 好半圓O 的直徑DE勺延長線上，A砌半圓 端點(diǎn)F,且BC=OE(1)求證：DE/ CF;(2)當(dāng)OE=2寸，若以0, B, F為頂點(diǎn)的三角形與 ABCf似，求OB勺長；(3)若0E=2,移動三角板ABCa使ABa始終與半圓Of切，直角頂點(diǎn) 騎直徑DE勺延長線上移 動，求出點(diǎn)B移動的最大距離.11 .如圖，AR AO另1J是。O勺直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC±一點(diǎn)，弦DEL A的另交。OTE,交ABF

6、 H,交 ACF F. P ED長線上一點(diǎn)且 PC=PF(1)求證：PO 0O勺切線；(2)點(diǎn)瞳劣弧AC十么位置時，才能使 AD2=DE?DF為什么？(3)在(2)的條件下，若 OH=1, AH=2,求弦AC的長.12 .如圖，在 ABC中，/ ABC=90 ,以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑白圓交 AC于點(diǎn)D, E 是BC的中點(diǎn)，連接DE, OE(1)判斷DE與。O的位置關(guān)系，并說明理由；( 2 )求證：BC2=CD?2OE；(3)若 COS/BAD= BE=6,求 OE的長.專題：圓與相似答案1 ( 1)相切，理由見解析； ( 2 ) 4.1 )如圖，連接OG-. OA= OG .OGA=

7、 / OAG.-.CD± AB, ./AKM / OAG= 90° .,.KE= GEKGEf / GKEf / AKH. / KG& / OGA A AKH / OAG= 90°OGE= 90° ,即 OGL EF.又G在圓O上，EF與圓O相切.(2) AC/ EF, .F=Z CAH. .RAH6 Rt FGOCH OGAC OFAH.在 RtOAH, AHAC3 、一一一,設(shè) AH= 3t ,則 AC= 5t , CH= 4t .5,CH 4OG 4AC 5 .OF 5 . FB= 10G 4 ,解得：OG= 4.OG 1 5圓O的半徑為4

8、 .考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定；3.相似三角形的判定與性質(zhì).2. （1）證明見解析； E=4OD?OP證明見解析；（3） |, 10.【解析】試題解析：（1）如圖，連接OBPB是。O的切線，/ PBO=90 . OA=OB BA! PO于 D,AD=BD / POAh POB.又 PO=PO 1 PA8 PBO（SAS .丁/PAOhPBO=9O . 直線 PA為。的切線.2(2) EF=4OD?OP 證明如下： / PAOh PDA=90 , / OAD廿 AOD=90 , / OPA吆 AOP=90 . ./ OADh OPA. .OAD OPA. .1. 0A OD即 o

9、A=OD?OP. OP OA '又 EF=2OA EF2=4OD?OP.(3) OA=OC AD=BD BC=q. OD=1 BC=3 (三角形中位線定理)2設(shè) AD=x,. tan Z F=AD 1 ,FD=2x, 0A=0F=2x 3.FD 2在 RtAAOD,由勾股定理，得(2x-3) 2=x2+32,解得，X1=4, X2=0 (不合題意，舍去).，AD=4 OA=2x- 3=5. AC是。O直徑， ./ ABC=90 .pc-八八BC63又. AC=2OA=10 BC=6cosZACB= AC 10 5.,. OA=OD?OP 3 (PE+5)=25. PE=10.33.試題

10、解析：(1)證明：如圖，連結(jié) OC.C是劣弧AE的中點(diǎn)， OCL AE, . CG/ AE, CGL OC .CG是。O的切線；(2)證明：連結(jié)AG BC, .AB是。O的直徑，/ ACB=90 , .2+/ BCD=90 ,而 CDL AB,/ B+Z BCD=90 , ./ B=Z 2, ACM=CEM,./ 1 = / B,1 = /2, .AF既(3)解：在 RtADF中，/ DAF=30 , FA=FC=2,-.DF=1AF=1, 2 .ad=V3df=V3 , . AF/ CG .DA: AG=DF CF,即 展.AG=t 2,.AG=2<13 .4. (1)證明：連接 AE

11、, .AB 是。O 的直徑，/ AEB=90 ,/ 1 + 72=90° . = AB=AC. / 1 = 1/CAB . / CBfJ/CAR .1 = /CBR/ CBF+Z 2=90° ,即/ ABF=90 , 22AB是OO的直徑，直線 BF是。的切線.55, (2)過點(diǎn) C作 CGLAB于 G. / sin Z CBF=, /1 = /CBR . . sin / 1 =,.在 RtAAEB中，/ AEB=90 , AB=5 .1. BE=AB?sinZ 1 = 75, AB=AC / AEB=90 , . BC=2BE=275 ,在RtABE中，由勾股定理得AE=

12、/AB1 _BE7 =275 , "/2=些=小，cos/AB 52=BE- = ,在 RtACBG,可求得 GC=4 GB=2，AG=3 / GC/ BF,. AGS ABF, AB 5.GC AGGC AB 20=,BF = 7BF ABAG 3考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓周角定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì);5.試題解析：(1)如圖，連接AQ. OM : MD=3:2 , .可設(shè) OM=3 k, MD=2 k (k >0),貝U OA=OD=5 k.又.弦 AB=& 直徑 CDL AB于 M 1- AM=4.在RtOAW,由勾股定理可得：k=1

13、 .圓O的半徑為5 .(2)如圖，連接AE由垂徑定理可知：？AEC=?CA F又 ?ACF=?ACF ?AC曰？FCA. AC CE 即 AC2=CE?CF. CF AC '在 RtAACM,由勾股定理可得：AC=AM+CM=16+64=80 ,.CE?CF=80.6.解：(1)證明：連接CQ.AD是。的直徑，ACD=90 。 ./ CAD吆 ADC=90 。又/ PACh PBA / ADC4 PBA / PAC4 ADC .CAD+Z PAC=90 。 .PAL OA又 AD是。O的直徑，PA是。的切線。(2)由(1)知，PAL AD,又; CF± ARCF/ PA .1

14、 / GCAh PAC又. / PACh PBA/ GCAh PBA又. / CAG= BAGCA6 BAGACABAGAC '即 aC=AG?AB. AG?AB=12AC2=12o .AC=2j3。(3)設(shè) AF=x, . AF: FD=1: 2, FD=2x。 AD=AF+FD=3x在 RtAACE, - CF± AD, . . AC=AF?AD 即 3x2=12o解得；x=2。.AF=2, AD=6。半徑為 3。在 RtAFG中， AF=2, GF=1,丁根據(jù)勾股定理得：AG . AF2 GF2 . 22 125 o由(2)知，AG?AB=12 AB1212 5AG 5

15、連接BD,. AD是。的直徑，ABD=90 。在 RtABD中，. sin /ADB=AB_, AD=6 AB 125 z. sin Z ADB=25 °AD552 5 / ACE4 ACB4 ADB ，sin / ACE=21557. (1)解：. / C=90 , AC=3 BC=4 .AB=5,DB為直徑， / DEB4 C=90 ,又. / B=Z B,.DB& ABC里 ”:爐.亦 DE弓(2)證法一：連接OE EF為半圓O的切線， / DEO它 DEF=90 ,/ AEF=Z DEO . DB& ABC/ A=Z EDB 又. / EDO= DEO ./

16、AEF=/A, . FAE是等腰三角形；證法二：連接OE EF為切線, / AEF+/ OEB=90 , . /C=90 ,/ A+Z B=90° , .OE=OB ./ OEBhB, ./ AEF=/A, . FAE是等腰三角形.8.證明：(1)如圖，連接OE . BEX EF, ./BEF=90 , .BF是圓O的直徑. BE 平分/ ABG / CBE4OBE,.OB=OEOBEh OEBOEBh CBE .OE/ BC, / AEOh C=90 , .AC是。O的切線；(2)如圖，連結(jié)DE / CBE4 OBE EC! BC于 C, EHU AB于 H, .EC=EH / C

17、DE吆 BDE=180 , / HFE+Z BDE=180 , / CDEh HFE在 CDE與 HFE 中，. CD監(jiān) HFE ( AAS ,.CD=HF(3)由(2)得 CD=HF 又 CD=1.HF=1,在RtHFE中，EF歷匕7人仇， .EFXBE, ，/BEF=90 , / EHF土 BEF=90 , / EFH土 BFE, . EHM BEF,郎,即諄.BF=10,.OE=BF=5 OH=5-1=4, Rt AOHE43, cosZ EOA=Rt EOA中,cos/ EOA=, = .OA=, .AF=j-5=.9. (1)證明：連接OM.MP是圓的切線，OML PM / OMD

18、+ DMP=90 , .OA! OR / OND+ ODM=90 , . / MNP=OND / ODM= OMD ./ DMPW MNP.PM=PN(2)解：設(shè) BC交 OMF E, . BD=4, OA=OB=BD=2 PA=3, PO=5; . BC/ MP OML MR ，OML BC, . BE=BC / BOM+ MOP=90 , 在直角三角形OM葉，/ MPO廿 MOP=90 , ./ BOM=MPO / BEOh OMP=90 , . OMD BEO* 斑日T不=而即、，解得：BE= BC=10. (1)證明：連接OF, .AB切半圓O于點(diǎn)F, OF是半徑， ./OFB=90

19、,. /ABC=90 , / OFB4 ABG .OF/ BC,BC=OE OE=OFBC=OF四邊形OBCE平行四邊形， .DE/ CF;(2)解：若 OBMAAC用AC.OB= / A=30° , / ABC=90 , BC=OE=2 .AC=4, AB=2/1 又 OF=OE=24X1 ob=7t=;若 BOS ACBJ jc jOB=4;綜上，OB或4;(3)解：畫出移動過程中的兩個極值圖，由圖知：點(diǎn)B移動的最大距離是線段 BE的長， / A=30° ,/ ABO=30 ,BO=4,BE=2,點(diǎn)B移動的最大距離是線段 BE的長為2.11. (1)證明：連接OC . PC=PF OA=OC / PCA4 PFG / OCAW OAC . Z PFC=/ AFH DEL AB, ，/AHF=90 , / PCOh PCA