高等數(shù)學詳細解題方法

1、北京電大開放教育本科高等數(shù)學課程入學水平測試網(wǎng)上輔導材料一、參考書目高等數(shù)學(上)(第一分冊)(柳重堪主編，中央廣播電視大學出 版社出版。、內(nèi)容要求一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學兩個部分，包括函數(shù)、極限與連續(xù)、 導數(shù)與微分、導數(shù)的應用、不定積分、定積分及其應用等方面的知識。試題類型分為單項選擇題、填空題和解答題。單項選擇題的形式為四選 一，即在每題的四個備選答案中選出一個正確答案；填空題只要求直接填寫 結(jié)果，不必寫出計算過程和推理過程；解答題要求寫出文字說明、演算步驟 三種題型分數(shù)的百分比大約為：單項選擇題與填空題40%解答題60%水平測試試題按其難度分為容易題、中等題和較難題，其分值在試卷中

2、 的比例為：4:4:2 。水平測試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為 150分，考試時間為90分鐘。(一) 函數(shù)1 .理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)y = f(x)中符號f ()的含義；了解函數(shù)的兩要素；會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會判斷兩個函數(shù)是否相等。兩個函數(shù)相等的 充分必要條件是定義域相等且對應關系相同。2 . 了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性若對任意x ,有f(-x) = f(x),則f (x)稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱。若對任意x,有f(-x)=-f(x),則f(x)稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。3 .熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)和圖形

3、基本初等函數(shù)是指以下幾種類型：常數(shù)函數(shù)：y=c幕函數(shù)：y = xa (a為實數(shù)) 指數(shù)函數(shù)：y=ax (a>0,a=1)對數(shù)函數(shù)：y=logax (a > 0, a 1) 三角函數(shù)： sin x, cosx, tan x, cot x6) 反三角函數(shù)： arcsin x, arccosx, arctan x4 . 了解復合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會把一個復合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。如函數(shù) y = earcta”(l4x)，可以分解 y=eu, u=v2, v = arctanw, w = 1 + x。分 解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù)，而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的 和。5 .會

4、列簡單的應用問題的函數(shù)關系式。(二)極限與連續(xù)1. 了解極限的概念，會求左右極限lim f (x)極限f存在的充分必要條件是左、右極限存在且相等2. 了解無窮小量的概念，了解無窮小量的運算性質(zhì)(1)若函數(shù)f(x)有l(wèi)im f(x) =0，則稱f(x)是當xt x0時的無窮小量 xx0(2)有界變量與無窮小量的乘積仍是無窮小3.掌握極限的四則運算法則，掌握兩個重要極限，掌握求簡單極限的常用方 法(1)極限的四則運算法則設lim f(x)=A limg(x)=B ,則lim f (x) 一 g(x) = lim f (x) 一 lim g(x) = A - Blim f (x).g (x) = l

5、im f (x). lim g(x) = A.Bf (x) lim f (x) A 小lim = 一,其中 b #og(x) lim g(x) B0(2)兩個重要極限第一重要極限:第二重要極限:sin xlim二 1x 口 x1 x1lim(1+-) =e,其他變形形式 lim(1+x)X=e4.了解函數(shù)連續(xù)性的定義，會判斷函數(shù)的連續(xù)性x ： xx °函數(shù)連續(xù)性的定義l i mf x( =)f %()Xxo初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)導數(shù)與微分1 .理解導數(shù)與微分概念(微分用dy = ydx定義)，了解導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線和法線方程，知道可導與連續(xù)的關系(1)f(x)在點x =

6、 X0處可導是指極限f (Xox) - f (Xo)存在,且該點處的導數(shù)就是這個極限。導數(shù)極限還可寫成(2)f (x)在點x = Xo處的導數(shù)f '(Xo)的幾何意義是曲線y = f (x)上點(Xo, f (Xo)處的切線斜率。曲線y = f (x)在點(Xo , f (Xo)處的切線方程為y = f (Xo)(x -Xo) f (Xo)函數(shù)y = f (x)在Xo點可導，則在Xo點連續(xù)。反之函數(shù)y = f (X)在Xo點連續(xù),在xo點不一定可導。2 .熟記導數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導數(shù)與微分的四則運算法則u、. vu - uv ,_(u_v)' =u _v (u v)

7、=vu uv() =2 (v=0)v vu、 vdu-udvd(u_v)=du_dv d(u v)= vdu udvd(-) =2 (v ； 0)v v3 .熟練掌握復合函數(shù)的求導法則dy dy du-dx du dx4 , 了解高階導數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導數(shù)的方法d2ydx2(四)導數(shù)的應用1 .掌握洛比塔法則，能用它求“ 0”、“二”型不定式極限；02 .掌握用一階導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點(包括判別)的方法，了解 可導函數(shù)極值存在的必要條件，知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系；3 .掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。(五)不定積分1 .理解原函數(shù)與不

8、定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導數(shù)(微分) 的關系；(1)若F(x)=f(x),則F(x)是f (x)的一個原函數(shù)；f(x)的全體原函數(shù)是F(x) c02 2) k1fl (x) - k2 f2 (x)dx = k1fl (x)dx 二 k2 f2(x)dx f f (x)dx = f (x) dx(4) d Jf (x)dx = f (x)dx(5) J f (x)dx = Jd f (x) = f (x)+c2 .熟練掌握積分基本公式和直接積分法；3 .熟練掌握第一換元積分法和分部積分法；(1) fg(x)g(x)dx = fg(x)dg(x) = Fg(x) c(2) udv=

9、uv- vdu(六)定積分及其應用1 . 了解定積分的性質(zhì)baa f (x)dx 二一 bf (x)dxbcbf (x)dx = f (x)dx f(x)dxaac2 .會求變上限定積分的導數(shù)(x)右 G(x)=J f(t)dt,則 G，(x) = f (甲(x)評x) a3 .熟練掌握牛頓萊布尼茲公式，掌握定積分的換元積分法和分部積分法f (x)dx = F(x兒=F -F (a)bb b(2) U udv = uv 1a -f vduaa - a4. 了解無窮積分收斂性概念，會判斷無窮積分的收斂性或計算無窮積分f*dx當PA1時收斂，當p<1時發(fā)散；a xpfldx當p<1時收

10、斂，當p21時發(fā)散。0xp6.會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積(直角坐標系)(1)由曲線y = f (x)和y =g(x)及直線x = a, x = b圍成的面積S ,有bIS= Jf (x) -g(x)dxa.a(2)當f(x)為奇函數(shù)時有Laf(x)dx = 0aa0(3)當 f (x)為偶函數(shù)時有J a f (x)dx =2jof(x)dx = 2j af(x)dx三、綜合練習答案(一)單選題1 .設函數(shù) f (x) = loga(x +dx2 + 1) , (a>0, a1),則該函數(shù)是().A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù).既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2 .下列函數(shù)中，（

11、）是偶函數(shù).A. f(x)=ax-a B , f(x)=x3 1C . f (x) = x3sin xD . f (x) = x2 sin(1 - x)3 .當xt 0時，下列變量中，無窮小量是（）.sin xB . ln(1 x2)iex1 sin 一x4 .設 f (x) =e* ,則1mf(1 x)-f(1)=(lx).A. 2eB. eC.1 -e4D.5 . J xf "(x)dx =().A . xf (x) - f(x) C xf (x) CC. 1x2f （x） C26.下列無窮限積分收斂的是(x 1) f (x) CAB- oexdxC.dxD. cosx(二)填空

12、題11，x 211.若函數(shù) f(x) = 1,則 f(1)=.xx2,極限 limsn3x=.x0 tan5xk 3 .設駕1+k)x =e2,則 k =.4 .曲線y =x3 -1在點(1, 0)處的切線是5 .若函數(shù) f(x) =ln(1+x),則 f"(0)=.6 .已知函數(shù)f (x) = asinx+1sin3x的駐點是x = £ .則2 =337 .函數(shù) f (x) =x-ln(1+x)的單調(diào)減少區(qū)間是 .8 .經(jīng)過點（2, 10 ）,且在每一點的切線斜率都等于 3x的曲線方程9.d f(x)dx =計算題1.求函數(shù)的極限(1),sin 2x、lim ( cosx

13、)x0 , x 1 -1lim 3-x2- 1 x x 1x2 -1_xe cosx 一 1 一x(4)cosx - 1 lim x >0ex e-x -22.求函數(shù)的導數(shù)或微分(1)已知y =2xcosx1 -x，求 y (x)sinx設廠片嬴'求yq）.(3)設 y =sin2(3x+5),求 dy .(4)設 y = Jx+exsinx ,求 dy.(5)設 y = ln(x+ Tx2+1),求 y "3).3.求函數(shù)的不定積分(1)x鼻dx1 ex(2)I 3 <ln xdxx(3)1cos一-2xdxx(4)2 - -/-,x3 4 . 、, x sin

14、 x , dxx(5)4.求函數(shù)的定積分(1)1 o2o(xxexx )dxle(2dx1 x1(3)xcos 二 xdxxsin xdx - 0(5) x Txlnxdx參考答案（一）單項選擇題1. A 2. C3. B4. D5. A 6. C（二）填空題1. x - x22 12.3.14.3x-35.-16. 2. (-1 ， 0)8yix2 3 49. f(x)dx（三）計算題1.求函數(shù)的極限(1)解:sin2x lim(-x)0、,x 1 -1cosx) = lim -sin 2x1 -1網(wǎng) 8sx)Sin2xGx 1 1)1=lim_s叱x 2 晨 1) 1(x 1 -1)(,

15、x 1 1) x 0( .x 1)2 -12)叩0學01=2臂(.F1) 1=2 2 1=5(2)解:(% 3 - x - . 1 x)(v 3 - x， '1 1 x) (x -1)(x 1)( . 3 - x , 1 x)(.3 -x) ( 1 x)(x1)(x 1)(. 3-x J x)= lim (3-x)-(1 x)x 1 (x-1)(x 1)(.3-x .1 x)= lim 2(1 Lx)_x 1 (x -1)(x 1)( . 3 -x .1 x)=-2吧(x.1)(x+1：x/31x+JT+I)-2limx_0_Xe cos x -1 - xxxe cosx - e si

16、n x -12x:-2lim_1- :_x 1 (x 1)(/3-x ,1 x) 4,2(3)解：連續(xù)利用羅比塔法則兩次cosx-1-sin x-cosxlim 一 二 lim 二 lim x)0ex e -2 x ex-ex ex+e(4)解：連續(xù)利用羅比塔法則兩次一(1 - x) sin x -( T) cosx(1 -x)2xxxxe cosx -e sin x -(e sin x e cosx)2x-2e sin x 八= lim 二0x 02(5)解：利用第二重要極限公式112112 x : 1. 一x 二-x. -x -( 不lim ()x =lim(1 )x lim(1 一) =

17、lim(1一) 2 =e 2x jo2x02x_o2 x j022.求函數(shù)的導數(shù)或微分(1)解：x cosx . xx2 1n 2 一cosx-(1 -x)sin x(1 -x)2y(x)=(2 一二)=2 ln2-解:(sin x) (1 cosx) sin x(1 cosx) cosx(1 cosx) sin x( sin x)2(1 cosx)2(1 cosx)cos x 12(1 cosx) 1 cosx,ny(3) 二1 cosx| - x x=3ji1 cos 3112(3)解:y = sin 2(3x 5) = 2sin(3 x 5) sin (3x 5)=2sin(3 x 5)

18、 cos(3x 5) (3x 5) = 6sin(3 x 5) cos(3 x 5) = 3sin(6 x 10)dy = y dx = 3sin(6 x 10) dx(4)解:y = ( x ex sin x)2 xex sin x(x ex sin x)x x1 e sin x e cos x2、x ex sin xdy = y dx =1 ex(cos x sin x)dxsinx)(5)解:y =ln( x，x21)二x % x2 1x ( x2 1)12x2.x2 1I1-C,(3)2 123.求函數(shù)的不定積分(1) 解：利用不定積分的第一換元法1xxe dx =x (e +1) d

19、x1 e2x x2x1 exd(ex+1) =ln(ex+1)+C(2)解：利用不定積分的第一換元法I 3"Inx dx= In 3x 1dx = In 3x(ln x) dx = In 3xd(ln x) = ln-x C x4(3)解：利用不定積分的第一換元法cos1-xdx = x1 -1 ,1,1、,- cos dx = - cos-(一) dxx xx x111_=- cos d( ) = -sin C(4)解：先整理被積函數(shù)后，再用積分基本公式和第一換元法2 -，x 、. x sin . x 1. xdx=2 dx xx x、xsin、. xdx dxx13=2 dx -

20、 x2 dx xdx = 2ln1x - xsin、. x dx11x233=2ln x - x 2 sin、. x -= dx = 2ln x - x 2 sin . x (、. x) dx 32.x3=2ln x - 2 sin，x d( . x) = 2ln x - 332x- 2cos ' x C3(5) 解：利用不定積分的第一換元法dx =dx-112xdx 二 一2 (x2) dx2 4 x2d(x2)4,2,4 x -4d(x2)4 4 x-4d(x2) 2 4 x2 d(x2)12=2 d(x)-2 4 x2)d(4+ x2)=-2 ln( 4 x2) C4.求函數(shù)的定積分(1)解：利用到：奇函數(shù)在以原點為心的對稱區(qū)間上的積分是零13x221 3(x xe x )dx =