因子分析法(FactorAnalysis)

1、1、因子分析法(Factor Analysis)、方法介紹基本思路：因子分析法是一種多元統(tǒng)計方法，它從研究相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組 (使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性不高， 而不同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較低) ，這樣，在盡量減少信息丟失的前提下，從眾多指標(biāo)中提取出少量的不相關(guān)指標(biāo)， 然后再根據(jù)方差貢獻(xiàn)率確定權(quán)重， 進(jìn)而計算出綜合得分的一種方法。理論模型：設(shè)m可能存在相關(guān)關(guān)系的測試變量z1,z2,zm含有P個獨立的公共因子F1,F2,Fp(m>p),測試變量zi含有獨特因子Ui(i=1 - m),諸Ui間互不 相關(guān)，且與Fj(j=1平)也互不相關(guān)，每個zi可由P個公共因

2、子和自身對應(yīng)的獨 特因子 Ui 線性表出：Z1a11F1a12 F2a1 p Fpc1U1Z2a12 F1a22 F2a2pFpc2U 21)Zmam1F1am2F2ampF pcmU m用矩陣表示：Z1F1c1U 1Z2F2c2U 2(aij )m p .ZmFpcmU m簡記為Z A * F C U(2)(m 1) (m p) (p 1) (m m) (m 1) (對角陣)且滿足：(I) P W項(II) COV( F. U)=0 (即F與U是不相關(guān)的)；(III) E(F)=0 COV( F)= (1 i)p p Ip。即F1,FP不相關(guān),且方差皆為1,均值皆為0(IV) E(U)=0

3、COV(U)=Im 即U1,Um不相關(guān)，且都是標(biāo)準(zhǔn)化的變量，假定z1,zm也是標(biāo)準(zhǔn)化的，但并不相互獨立。式中A稱為因子負(fù)荷矩陣，其元素(即(7.2-1)中各方程的系數(shù))aij表示第i 個變量(zi)在第j個公共因子Fj上的負(fù)荷，簡稱因子負(fù)荷，如果把 zi看成P 維因子空間的一個向量，則aij表示zi在坐標(biāo)軸Fj上的投影。因子分析的目的就是通過模型(1)或(2),以F代Z,由于一般有P< m， 從而達(dá)到簡化變量維數(shù)的愿望。二、使用軟件和軟件實現(xiàn)過程采用 Eviews5.1、SPSS12.Q Stata5.1、SASRelease8.02 等計量軟件均可 完成上述因子分子模型，建議采用SPS

4、S12.0操作。因子分析的基本步驟如下(事物可觀測原始變量為Xi,X2,，Xp)：(1)對原始變量標(biāo)準(zhǔn)化。在因子分析求解時若采用主成分法，由于主成分 分析在通過總體協(xié)方陣求主成分時，往往優(yōu)先顧及方差較大的變量，受變量的計量單位影響較大，有時會造成不合理的結(jié)果，所以為了消除這種影響，需在分析 之前，對原始變量標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化最常規(guī)的方法是將原變量數(shù)列化為均值為0、方差為1的數(shù)列，即令x E(x)zx j；/D(x)(2) 求出標(biāo)淮化數(shù)據(jù)zxi, zx2,zxp的協(xié)方差矩陣，或相關(guān)系數(shù)矩陣R(兩者等價)；(3) 求R的特征值及相應(yīng)的一組正交單位特征向量；(4) 計算累計貢獻(xiàn)率，確定公共因子個數(shù)及因子

5、載荷矩陣A;(5) 對 A 作因子旋轉(zhuǎn)( 常為方差最大正交旋轉(zhuǎn)) ，使得能對公共因子給出合理的解釋；(6) 計算因子得分，根據(jù)得分對研究問題作比較分析。上述計算步驟及作圖可利用SPSS11.0軟件來完成：(1) 選擇菜單中“Analyze->descriptive statistics->desctrptives."，對X i, X2,，Xp指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，并將標(biāo)準(zhǔn)化后的變量保存在數(shù)據(jù)編輯窗口；(2) 選擇菜單中 “Analyze->data reduction-factor" ， 打開因子分析對話框，將標(biāo)準(zhǔn)化后的變量放人Variables 中，進(jìn)行主

6、成分分析；(3) 在主成分分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)提取幾個公共因子較佳，在“ factor->eXtract->numbers of facto" 中輸人公共因子的個數(shù)；(4) 在“ factor-rotation ”中選擇 varimaX ，對因子進(jìn)行方差最大旋轉(zhuǎn)；(5) 在“ factor-score ”中選 regression ，計算因子得分。三、一個簡單例證：重慶城鎮(zhèn)居民消費結(jié)構(gòu)變動的因子分析本文運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計中的因子分析法， 對重慶直轄后城鎮(zhèn)居民消費結(jié)構(gòu)的變動情況進(jìn)行分析，認(rèn)為居民消費主要受生存型消費和享受型消費兩大因子的影響，分析表明這兩型因子所占比重近幾年

7、來都穩(wěn)定在8:2 的水平上，并未發(fā)生大的變化。1、資料來源消費結(jié)構(gòu)是人們在生活中消費的消費資料和接受的服務(wù)種類及其比例關(guān)系，也就是指各類消費支出在總消費支出中的比重。 對居民消費支出按照人們實際支出的去向分類可分為食品、衣著、家庭設(shè)備及服務(wù)、醫(yī)療保健、交通通訊、文教娛樂及服務(wù)、居住、雜項商品及服務(wù)。分別記為Xi , X2 ,，X8。根據(jù)重慶市統(tǒng)計年鑒19982003年各卷，得重慶市城鎮(zhèn)居民消費結(jié)構(gòu)變化如表1所示。由表 1 中資料可知，食品、衣著所占比重從1998 年開始是下降的。聯(lián)合國提出的恩格爾系數(shù)( 食品在總消費支出中的比重) 判定生活發(fā)展階段的一般標(biāo)準(zhǔn):60%以上為貧困，50%60%；溫

8、飽，40%-50%；小康，40%Z下為富裕，可見重慶城鎮(zhèn)居民消費水平已從小康邁向了富裕。 家庭設(shè)備所占比重也是下降的， 這 說明居民對一般家庭設(shè)備的需求已經(jīng)基本飽和， 且由于總收入的增加，雜項支出 所占比重也逐年下降。另一方面，表1說明：醫(yī)療保健、交通通訊、文教娛樂和住房消費所占比重 在逐年上升。這是因為隨著社會的發(fā)展，居民的保健意識增強(qiáng)，更關(guān)注自身的身心健康，再加上醫(yī)保制度的改革，所以醫(yī)療保健所占比重逐年上升；由于城鎮(zhèn)居 民家庭擁有小汽車的比例增加，移動通訊的普遍使用，網(wǎng)絡(luò)通訊進(jìn)入家庭，因而 交通和通訊所占比重也是上升的；由于居民對自身進(jìn)一步發(fā)展和子女教育的投入 力度加大，并且在物資享受已經(jīng)

9、得到滿足的情況下更加注重精神享受，所以文教和娛樂方面的支出增多；隨著我國住房制度的改革，居民在居住上面的支出也出 現(xiàn)了大幅增加。為了進(jìn)一步研究消費結(jié)構(gòu)的變化情況， 下面用因子分析法，對表 1的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析。表1 重慶城鎮(zhèn)居民消費結(jié)構(gòu)變化(為年份(X1)(X2)備(X3)健(X4)父通通訊(X5)樂(X6)(X7)(X8)198845.5212.179.83.39612.926.094.11199944.5011.79.43.86.912.47.24.1200040.4010.18.75.47.414.494.6200138.7010.28.85.87.714.79.84.3200238.0

10、09.87.16.89.716.79.32.62、消費結(jié)構(gòu)的因子模型由表1中資料得樣本均值向量：X = (41.42 ,10.79 ,8.76 ,5.04 ,7.54 , 14.22 , 8.27 , 3.94),且用軟件SPSS計算變量的相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和 貢獻(xiàn)率見表2。由表2可以看出變量相關(guān)系數(shù)矩陣有兩個大的特征根為6.6721和1.142 ,其累計貢獻(xiàn)率達(dá)到98.292%,又根據(jù)圖1 ,前兩個公因子變化最大， 說明前兩個公因子提供了原始數(shù)據(jù) 8個指標(biāo)所能表達(dá)的足夠的信息。表2相關(guān)矩陣的特征值與貢獻(xiàn)率變量序列號特征值方差貢獻(xiàn)率貝獻(xiàn)率特征值方差貢獻(xiàn)率貝獻(xiàn)率16.72084.01784.0

11、176.72084.01784.01721.42014.27598.2921.14214.27598.29230.0831.03699.32940.0540.671100.00050.0000.000100.00060.0000.000100.00070.0000.000100.00080.0000.000100.000因此提取兩個主因子，用主成份分析法和正交旋轉(zhuǎn)法計算得旋轉(zhuǎn)前后的因子載荷陣如表3所示X1 = - 0. 941 F + 0. 323 FX2 = - 0. 958 F + 0. 264 5X3 = - 0. 655 F + 0. 745 F2X4 = 0. 881 F - 0.4

12、72 F2X5 = 0. 664 F - 0. 734 F2X6 = 0. 740 F - 0. 036 F2X7 = 0. 984 F - 0. 109 F2X8 = - 0. 065 F + 0. 994 F2表3因子載荷陣共同度變量公因子1212X1-0.96-0.260.989-0.9410.323X2-0.942-0.3180.987-0.9580.264X3-0.960.250.984-0.6550.745X40.9940.1030.9990.881-0.472X50.961-0.2350.9790.664-0.734X60.969-0.1120.9520.74-0.036X70.

13、8760.4610.980.984-0.109X8-0.6110.7870.993-0.0650.994由表3可得消費結(jié)構(gòu)的因子分析模型為選用回歸法估算因子得分系數(shù)如表 4所示表4因子得分系數(shù)變量X1X2X3X4X5X6X7X8公因子 1-0.246-0.2720.0040.1730.0030.6640.3340.311序號2-0.109-1.520.261-0.009-0.251-0.1620.2610.622由此計算5年的因子得分如表5所示。表5各年份因子得分因子19981999200020012002F1-1-1.29601-0.83920.718780.927680.48875F2-1

14、0.122770.180810.770190.64263-1.716413、結(jié)果分析從表3可以看出，第一個主因子在 X , X2 , X4 , X6 , X7 5個方面有 較大載荷，這幾項指標(biāo)主要反映居民為了生存必需要消費支出的變化情況，因此命名為生存型消費因子；第二個主因子在 X3, X5 , X83方面有較大載荷，這 幾項指標(biāo)主要反映居民為了改善生活， 提高生活效率如購買小汽車，使用移動通 訊等方面的消費支出變化情況，因此命名為享受型消費因子。分類情況如表6所 示。表6主因子分析高載荷指標(biāo)因子命名1食品，衣著，醫(yī)療保健，文教娛樂，居住生存型消費因子2享受型消費因子結(jié)合表1 ,根據(jù)分類將各年

15、數(shù)據(jù)相加，得生存型消費因子與享受型消費因 子在1998 - 2002 年這5年中所占比重如表7所示。表7 各年份兩型因子所占比重（%19981999200020012002生存型消費因子80.1979.679.379.280.6享受型消費因子19.9120.420.720.819.4由表 7 可知，這 5 年來，生存型消費因子所占比重基本為80%左右，享受型消費因子所占比重為20%左右，各自的變化幅度不大。這說明雖然重慶市城鎮(zhèn)居民的收入增加了， 但是由于醫(yī)療、 住房制度的改革和教育收費標(biāo)準(zhǔn)的提高， 居民生存型消費支出在增加，但另一方面用于享受型消費支出也出現(xiàn)相應(yīng)的增加，這兩型因子所占比重基本維

16、持在8:2 的水平上，說明重慶市城鎮(zhèn)居民消費結(jié)構(gòu)保持相對穩(wěn)定，變化不大。四、評價及問題方法評價：因子分析法最大優(yōu)勢在于各綜合因子的權(quán)重不是主觀賦值而是根據(jù)各自的方差貢獻(xiàn)率大小來確定的， 方差越大的變量越重要， 從而具有較大的權(quán)重； 相反， 方差越小的變量所對應(yīng)的權(quán)重也就越小。 這就避免了人為確定權(quán)重的隨意性，使得排行結(jié)果唯一， 而且較為客觀合理。 此外， 因子分析的整個過程都可以運(yùn)用計算機(jī)軟件方便快捷地進(jìn)行，可操作性強(qiáng)。因此，與其他方法相比，因子分析法是一種科學(xué)、實用、簡便的綜合排行方法，適用于解決多指標(biāo)的綜合評價問題。需注意問題：（ 1） 在利用因子分析法的開始階段，應(yīng)當(dāng)盡可能多地選取與研究對象有關(guān)的指標(biāo)， 以免遺漏重要的評估指標(biāo)。 然后， 就可以通過因子分析選擇相對更為有效的指標(biāo)， 構(gòu)建研究對象評估的指標(biāo)體系，進(jìn)而進(jìn)行基于數(shù)據(jù)本身的相對客觀的評估。（ 2） 設(shè)定好因子分析指標(biāo)后， 還要對因子分析法的可行性進(jìn)行研究。 因子分析法應(yīng)用的前提是原有變量之間應(yīng)具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系， 否則根本無法從中綜合出能夠反映某些變量共同特性的幾個較少的公共因子變量。（ 3）當(dāng)然，因子分析法作為一種比