(初中數(shù)學(xué))數(shù)的整除性精選題練習(xí)及答案

1、初中數(shù)學(xué)數(shù)的整除性精選題練習(xí)及答案閱讀與思考設(shè)a, b是整數(shù),bw0,如果一個整數(shù)q使得等式a = bq成立,那么稱a能被b整除,或稱b整除a ,記作b |a ,又稱b為a的約數(shù), 而a稱為b的倍數(shù).解與整數(shù)的整除相關(guān)問題常用到以下知識：1.數(shù)的整除性常見特征：假設(shè)整數(shù)a的個位數(shù)是偶數(shù),那么 2|a；假設(shè)整數(shù)a的個位數(shù)是0或5,那么5|a；假設(shè)整數(shù)a的各位數(shù)字之和是 3或9的倍數(shù),那么31a或9|a；假設(shè)整數(shù)a的末二位數(shù)是4或25的倍數(shù),那么41a 或25|a；假設(shè)整數(shù)a的末三位數(shù)是8或125的倍數(shù),那么81a或I25|a；假設(shè)整數(shù)a的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù),那么111a.

2、2.整除的根本性質(zhì)設(shè)a , b , c都是整數(shù),有：假設(shè) a|b , b|c,那么 a|c；假設(shè) c|a , c|b ,那么 c|a ± b；假設(shè) b |a , c| a ,那么b , c| a ；假設(shè)b|a, c|a ,且b與c互質(zhì),那么 bc|a；假設(shè)a|bc ,且a與c互質(zhì),那么a|b .特別地,假設(shè)質(zhì)數(shù) p |bc ,那么必有p |b或p |c.例題與求解【例1】在1,2, 3, , , 2 000這2 000個自然數(shù)中,有 個自然數(shù)能同時被 2和3整除,而 且不能被5整除.“五羊杯競賽試題解題思想：自然數(shù)n能同時被2和3整除,那么n能被6整除,從中剔除能被5整除的數(shù),即為所

3、求.【例2】a , b是正整數(shù)a > b,對于以下兩個結(jié)論：在a+b, ab, ab這三個數(shù)中必有2的倍數(shù)；在a+b, ab, ab這三個數(shù)中必有3的倍數(shù).其中A.只有正確B,只有正確C.,都正確D.,都不正確江蘇省競賽試題解題思想：舉例驗證,或按剩余類深入討論證實.【例3】整數(shù)13ab456能被198整除,求a, b的值.江蘇省競賽試題解題思想：198=2x 9x 11,整數(shù)13ab456能被9, 11整除,運用整除的相關(guān)特性建立 a , b的等式, 求出a , b的值.【例4】a, b, c都是整數(shù),當(dāng)代數(shù)式 7a+2b+3c的值能被13整除時,那么代數(shù)式 5a +7 b 22 c的

4、值是否一定能被 13整除,為什么？“華羅庚金杯邀請賽試題 解題思想：先把5a + 7b 22c構(gòu)造成均能被13整除的兩個代數(shù)式的和,再進行判斷.【例5】如果將正整數(shù) M放在正整數(shù) m左側(cè),所得到的新數(shù)可被 7整除,那么稱 M為m的“魔術(shù) 數(shù)例如：把86放在415左側(cè),得到86 415能被7整除,所以稱86為415的魔術(shù)數(shù),求正整數(shù)n的最小值,使得存在互不相同的正整數(shù)a ,a2, ,an,滿足對任意一個正整數(shù)m,在a1,a>, ,an中都至少有一個為 m的“魔術(shù)數(shù).解題思想：不妨設(shè)aj =71+ti =1, 2,3, , , n； t=0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6至少有一個為

5、m的“魔術(shù)數(shù).根據(jù)題中條件,利用 a10k +mk是m的位數(shù)被7除所得余數(shù),分析i的取值.【例6】一只青蛙,位于數(shù)軸上的點a ,跳動一次后到達 ak書,ak, ak書滿足|ak書一ak|=1,我們把青蛙從a1開始,經(jīng)n1次跳動的位置依次記作 An ： a1, a2,改,an. 寫出一個 A5,使其 a1 =a5 =0 ,且 a1 + a2 + a3 + 4 + a5 >0; 假設(shè) a1=13, a2000 =2 012 ,求 a1000 的值； 對于整數(shù)nn>2,如果存在一個 An能同時滿足如下兩個條件：a1=0 ；a1 + a2 + a3+ ,+ &=0.求整數(shù)n n &

6、gt;2被4除的余數(shù),并說理理由.2021年“創(chuàng)新杯邀請賽試題解題思想：& =a5=0 .即從原點出發(fā),經(jīng)過 4次跳動后回到原點,這就只能兩次向右,兩次向x步,向左跳了 y步,那么左.為保證 a + a2 + a3 + % + a5 >0.只需將"向右安排在前即可.假設(shè)a=13, a2000 =2 0 1 2,從a1經(jīng)過1 999步到a2.,不妨設(shè)向右跳了x y =199913 x -y =2021x=1999,解得x可見,它一直向右跳,沒有向左跳.y =0設(shè)An同時？兩足兩個條件： a=0 ；a + a? + a3 + , + & =0 由于a1=0,故從原點

7、出發(fā),經(jīng)過k 1步到達ak,假定這k 1步中,向右跳了xk步,向左跳了yk步,于是ak =xk yk,xk+yk =k1,那么a+a2 +a3+, +an=0 +乂2丫2+乂3丫3+,xn yn=2x1 +乂2+,+xn-x2 +y2n n-1+(X373)+,+ (Xn+yn)“X2+X3 + ,+xn)- -由于ai+a2+ 為 + , 十 % 町所以n(n -1)=4( x? + X3 + , + Xn).即 41n(n 1).水平練習(xí)A級11的學(xué)生得及格,那么2.11 1 .某班學(xué)生不到 50人,在一次測驗中,有 一的學(xué)生得優(yōu),-的學(xué)生得良,73有 人不及格.2 .從1到10 000這

8、1萬個自然數(shù)中,有 個數(shù)能被5或能被7整除.上海市競賽試題3 . 一個五位數(shù)3ab98能被11與9整除,這個五位數(shù)是 .4 .在小于1 997的自然數(shù)中,是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是A. 532B. 665C. 133D. 7985 .能整除任意三個連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是A. 1B . 2C. 3D. 6江蘇省競賽試題6 .用數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,是9的倍數(shù)的數(shù)有A . 12 個B. 18 個C. 20 個D. 30 個“希望杯邀請賽試題7 .五位數(shù)abcde是9的倍數(shù),其中abcd是4的倍數(shù),那么abcde的最小值為多少？黃岡市競賽試題8

9、. 1, 2, 3, 4, 5, 6每個使用一次組成一個六位數(shù)字abcdef,使得三位數(shù) abc, bcd , cde, def能依次被4, 5, 3, 11整除,求這個六位數(shù).上海市競賽試題9 . 173口是個四位數(shù)字,數(shù)學(xué)老師說：“我在這個口中先后填入 3個數(shù)字,所得到的 3個四位數(shù),依次可被9, 11, 6整除.問：數(shù)學(xué)老師先后填入的這3個數(shù)字的和是多少？“華羅庚金杯邀請賽試題 B級10 假設(shè)一個正整數(shù)a被2, 3, , , 9這八個自然數(shù)除,所得的余數(shù)都為1,那么a的最小值為 a的一般表達式為 .“希望杯邀請賽試題11 m , n都是正整數(shù),假設(shè)iwmwnw30,且mn能被21整除,那

10、么滿足條件的數(shù)對m, n 共有 個.天津市競賽試題12 一個六位數(shù)x1989y能被33整除,這樣的六位數(shù)中最大是 4.有以下兩個數(shù)串1,3,5,7, ,1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10,1987,1990,1993,1996,199洞時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有個.A. 333B. 334C. 335D. 3365. 一個六位數(shù)a1991b能被12整除,這樣的六位數(shù)共有 個.A. 4B . 6C. 8D. 126. 假設(shè)1 059, 1 417, 2 312分別被自然數(shù)n除時,所得的余數(shù)都是 m ,那么n m的值為.A . 15B . 1C, 164D.

11、1747. 有一種室內(nèi)游戲,魔術(shù)師要求某參賽者相好一個三位數(shù)abc,然后,魔術(shù)師再要求他記下五個數(shù)：acb, bac, bca , cab, cba,并把這五個數(shù)加起來求出和N.只要講出N的大小,魔術(shù)師就能說出原數(shù)abc是什么.如果 N=3 194,請你確定abc.美國數(shù)學(xué)邀請賽試題8. 一個正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等,如果將 N的各位數(shù)字重新排列,必可得到一個最大數(shù)和一 個最小數(shù),假設(shè)最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N,那么稱N為“拷貝數(shù),試求所有的三位“拷貝數(shù).武漢市競賽試題9. 一個六位數(shù),如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置,那么所得的新六位數(shù)恰為原數(shù)的 6倍,求這個三位數(shù).“

12、五羊杯競賽試題10. 一個四位數(shù),這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和為1 999,求這個四位數(shù),并說明理由.重慶市競賽試題11. 從1, 2, , , 9中任取n個數(shù),其中一定可以找到假設(shè)干個數(shù) 至少一個,也可以是全部 ,它們 的和能被10整除,求n的最小值.2021年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題數(shù)的整除性答案例 1267 提示：333-66=267.例2 C 提示：關(guān)于的證實：對于 a, b假設(shè)至少有一個是 3的倍數(shù),那么ab是3的倍數(shù).假設(shè)a, b 都不是 3 的倍數(shù),那么有：(1)當(dāng) a=3m+ 1, b=3n+1 時,a-b= 3(m- n); (2)當(dāng) a=3m+1, b = 3n + 2 時,

13、a+b = 3(m+n+1); (3)當(dāng) a=3m+2, b=3n+1 時,a+b= 3(m +n+1); (4)當(dāng) a=3m+2, b = 3n + 2 時, a b = 3(m n).例 3 a=8. b=0提示：由 9 I (19+a+b)得 a+b=8 或 17;由 11|(3+ab)得 ab=8 或一3.例 4 設(shè) x, y, z, t是整數(shù),并且假設(shè) 5a+ 7b22c= x(7a+2b+ 3c) + 13(ya+zb+tc).比擬上式 a, b, c 7x 13y =5的系數(shù),應(yīng)當(dāng)有2x+13z=7 ,取x= 3,可以得到y(tǒng)=2, z=1, t=1, 3x 13t =-22貝U有

14、 13 (2a+bc) 3(7a +2b+3c)=5a + 7b22c.既然 3(7a+2b+ 3c)和 13(2a+bc)者B能被 13 整除, 貝U 5a + 7b22c就能被13整除.例5考慮到“魔術(shù)數(shù)均為7的倍數(shù),又a1,a2, , ,an互不相等,不妨設(shè)a1<a2<, <an,余數(shù)必為 1, 2, 3,4,5, 6,0,設(shè)ai=ki + t(i=1,2,3, , , n； t= 0,1,2,3, 4,5,6),至少有一個為 m的“魔術(shù)數(shù),由于ai 10k+m(k是m的位數(shù)),是7的倍數(shù),當(dāng)iw b時,而ai t除以7的余數(shù)都是0, 1,2,3, 4, 5, 6中的6

15、個；當(dāng)i=7時,而aiT0k除以7的余數(shù)都是0,1, 2,3,4,5, 6這7個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn),當(dāng)i=7時,依抽屜原理,ai 10k與m二者余數(shù)的和至少有一個是 7,此時ai - 10k+ m被 7整除,即n=7.例 6(1)A5：0,1, 2, 1,0.(或A5：0,1, 0, 1, 0)(2)a1000=13+ 999 = 1 012.(3)n 被 4 除余數(shù)為0或1 .A級1. 12. 3 1433. 39 7984. A 5. C 6. B7. 五位數(shù)abcde= 10X abcd + e.又; abcd為4的倍數(shù).故最值為 1 000 ,又由于abcde為9的倍數(shù).故1+ 0+0+0+

16、e能被9整除,所以e只能取8.因此abcde最小值為10 008.8. 324 561 提示：d + f-e是 11 的倍數(shù),但 6<d+f< 5+6=11, 1<e< 6,故 0Wd + f e< 10,因此 d + fe= 0,即 5+f=e,又 e< d, f > 1,故 f=l, e= 6,9. 19提示：1+7+3 + 口的和能被9整除,故口里只能填 7,同理,得到后兩個數(shù)為8, 4.B級 十1. 2 521 a=2 520n+ 1(nC N )2. 573. 719 895提示：這個數(shù)能被 33整除,故也能被3整除.于是,各位數(shù)字之和 (x

17、+ 1 + 9+8+9+y)也能 被3整除,故x+y能被3整除.4. B5. B6. A提示：兩兩差能被 n整除,n=179, m = 164.7. 由題意得 acb + bac + bca + cab + cba = 3 194,兩邊加上 abc .得 222(a+b+c) = 3194+ abc.222(a+b+c) = 222X14+86+ abc ,那么 abc + 86是 222 的倍數(shù).且a+b+c>14,設(shè)abc +86 = 222n考慮到abc是三位數(shù),依次取 n= 1, 2, 3, 4.分別彳#出abc的可能值為 136, 358, 580, 802,又由于 a+b+c

18、> 14,故bc=358.8. 設(shè)N為所求的三位“拷貝數(shù),它的各位數(shù)字分別為 a, b, c(a, b, c不全相等).將其數(shù)碼重新排列后,設(shè)其中最大數(shù)為abc ,那么最小數(shù)為 cba .故 N = abc cba = (100a+ 10b+ c) (100c + 10b + a)=99(a c).可知N為99的倍數(shù).這樣的三位數(shù)可能是 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990.而 這9個數(shù)中,只有954 459 =495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù).9. 設(shè)原六位數(shù)為 abcdef,那么 6x abcdef = defabc,即 6x (1000x abc + def )= 1000 x def + abc ,所以 994X def -5 999x abc ,即 142X def = 857x abc ,/ (142, 857)= 1,142| abc , 857| def ,而 abc , def 為三位數(shù),abc = 142, def