解線性方程組克默法則

1、解線性方程組克默法則作者:日期:第一章 解線性方程組的克拉默 （Gramer）法則解方程是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本問(wèn)題，特別是在中學(xué)代數(shù)中，解方程占有重要地位，因此這個(gè)問(wèn)題是讀者所熟悉的，譬如說(shuō)，如果我們知道了一段導(dǎo)線的電阻r ,它的兩端 電位差v ,那么通過(guò)這段導(dǎo)線的電流強(qiáng)度i ,就可以由 關(guān)系式ir v求出來(lái)，這就是通常所謂次方程的問(wèn)題，在中學(xué)代數(shù)中,我們解過(guò)兒,二元，三元以致四元一次方程組，這一10章和下一章主要就是討論一般的多元一次方程組，即線 性方程組，這一章是引進(jìn)行列式來(lái)解線性方程組， 而下 一章則在更一般的情況下來(lái)討論解線性方程組的問(wèn)題。線性方程組的理論在數(shù)學(xué)中是基本的也是重要的 內(nèi)容。對(duì)

2、于二元線性方程組a2ixia22x2b2當(dāng)aia22ai2a2i0時(shí)，此方程組有唯一解，即bia22ai2 b2Xi aiia22ai2a2iaiib2a2ibiX2aiia22ai2a2i我們稱ana22 a12 a21為二級(jí)行列式，用符號(hào)表示為和閏22a12a21aiiai2a2ia22于是上述解可以用二級(jí)行列式敘述為：當(dāng)二級(jí)行列式aiai2a2ia22時(shí)，該方程組有唯一解，即Xibi ai2b2 a22aii a12,X2aiia2ibib2aiiai2a2ia22對(duì)于三元線性方程組有相仿的結(jié)論,a2ia22設(shè)有三元線性方程組aiiXia12X2a13X3a2iXia22X2a23X3a

3、31X1a32X2a33X3bi b2 b3稱代數(shù)式為三級(jí)行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33al 3 a22 a31aiia22a33ai2a23a31ai3a21a32aiia23a32ai2a21a33ai3a22a31alia22a33ai2 a23a31al3a21a32a11a23a32al2 a21a33我們有：當(dāng)三級(jí)行列式aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33時(shí)，上述三元線性方程組有唯一解，解為Xidid,X2d2 d，X3aiiai2d3a2ia22a31a32bib2b3在這一章中我們要把這個(gè)結(jié)果推廣到n元線性方程組aiiXia2iX

4、iai2X2a22X2L LaniXian2X2L ainXnL a2nXnL LL annXnbibn的情形biai2ai3aiibiai3b2a22a23d2a21b2 a23b3a32 a33a3ib3a332克拉墨法則現(xiàn)在我們來(lái)應(yīng)用行列式解決線性方程組的問(wèn)題， 在這里只考慮方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等的情形，以后會(huì)看到這是一個(gè)重要的情形, 線性方程組相仿的公式。 本節(jié)的主要結(jié)果是 定理：如果線性方程組卜面我們將得出與二元和三元aiiXia2iXiai2X2a22X2L LL ainXnaniXian2X2L a2nxL LL annXbb2bn的系數(shù)矩陣A的行列式aia12a2ia22M

5、Manian2La1nLa2nMMLannQ)d | A| 0那么線性方程組（1）有解，并且解是唯一的，解可以通過(guò)系數(shù)表為did2.x1, x2L L xndddn d其中di是把矩陣A中第j列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)bi,b2L bn所成的矩陣行列式，即djailLa21LManiLa1,j ibla1,j 1Lalna2,j ib2 a2, j 1 La2nM M M Man,j ibnan,j 1 Lann定理中包含著三個(gè)結(jié)論：1,方程組有解；2,解是唯一的；3, 解由公式（3）給出，這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的，因此證明 的步驟是：把 電，曳L L生 代入方程組，驗(yàn)證它的確是解 d d d2,假如方

6、程組有解，證明它的解必由公式（3）給出, 在下面的證明中，為了寫(xiě)起來(lái)簡(jiǎn)短些，我們盡量用 連加號(hào)證明：1把方程組（1）改寫(xiě)為naijxj b,i 1,2L nj 1首先來(lái)證明（3）的確是（1）的解，把 代入第i個(gè)方 程，左端為(6)因?yàn)閍 d11 n . dj1aijdjbsAsjd jb1A1jb2 A2jL bn Anj所以adaj jaajnbsAsjs 1a.aijnaij Asjbss 1aijnaij Asjbs j 1naij ( aij Asjbs) j 1根據(jù)定理中（6）有dh1 n naij ( aij Asj)bs d s 1 j 1這與第i個(gè)方程的右端一致，換句話說(shuō)，把（

7、3）代入 方程使它們同時(shí)變成恒等式，因而（3）確實(shí)為方程組 的解2設(shè)（C1,C2L Cn）是方程組（1）的一個(gè)解，于是有n個(gè)naijCjh,i 1,2L nj 1為了證明a 蟲(chóng)，我們?nèi)∠禂?shù)矩陣中第k列元素的 d代數(shù)余子式Ak,A2kL Ank,用它們分別乘（7）中n個(gè)恒等式；有nAikaij Cj bi Aik ,i 1,2L nj 1這還是n個(gè)包等式，把它們加起來(lái)，即得n nnAikaij cjbi Aki 1 j 1i 1（8）等式右端等于在行列式d按第k列的展開(kāi)式中把a(bǔ)ik分別換成bi ,因此，它等于把行列式d中第k列換成 bbzL bn ,所得的行列式，也就是dk ,再來(lái)看(8)的左

8、端，即n nAk aijCji 1 j 1n naij AkCji 1 j 1n naj AkCjj 1 i 1 n n(aij Aik ) cji 1 j 1naijAkd, j k0,j k所以n n(aij Ak )Cj dCkj 1 i 1于是，(8)即為dck dk,k 1,2L n也就是dkCkk，k 1,2L nd這就是說(shuō)，如果(q,C2L Cn)是方程組的一個(gè)解，它 必為d1 d2. . dn,L L d d d因而方程組最多有一組解 定理通常稱為克拉默法則例解方程組2x1 x2 5x3 x4 8x1 3x2 6x4 92x2 x3 2x45x1 4x2 7x3 6x4 0方程

9、組的系數(shù)行列式271476因之可以用克拉默法則，由于d181593 052104716268128511906d205121076108d32113021481965 20627158d4273 09215470所以方程組的唯一解為X3心4, X31,X4 1應(yīng)該注意，定理只是討論系數(shù)矩陣的行列式不 為零時(shí)的方程組，它只能應(yīng)用于這種方程組，至于方程 組的系數(shù)行列式為零的情形，將在下一章討論常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，顯然，齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)椋?,0 L 0）就是一個(gè)解，它稱為零解，對(duì)于齊次線性方程組，我們關(guān)心 的問(wèn)題常常是，它除去零解以外還有沒(méi)有其他解，或者 說(shuō)它有沒(méi)有非零解，對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的 齊次線性方程組，應(yīng)用克拉默法則就有定理：如果齊次線性方程組(10)a11x1al2X2a2ixia22X2aniXian2X2L a1n XnL a2nXnL annXn的系數(shù)矩陣的行列式|A| 0,那么它只有零解，換 句話說(shuō)，如果方程組（10）有非零解那么必有|A| 0證明：應(yīng)用克拉默法則，因?yàn)樾辛惺街杏幸涣袨榱?，所以dj 0, j 1,2L n這就是說(shuō)，它的唯一的解是(0,0L 0)di d2dn,L L d dd例求在什么條件下，方程組X1 x2 0X1 X2 0有非零解根據(jù)定理，如果