概率論基礎(chǔ)講義全

1、概率論基礎(chǔ)知識(shí)第一章隨機(jī)事件及其概率一隨機(jī)事件§ 1幾個(gè)概念1、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)：滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)；(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行：(2)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且所有可能結(jié)果是已知的; (3)每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是 未知的;隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，并常記為E。例如：Ei：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；E3：觀察某電話交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。2、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件:常記為A, B, C例如，在Ei中，A表示“擲出2點(diǎn)”，B表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。Q。每次試驗(yàn)都不3、必然事件與不可

2、能事件：每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為必然事件，記|為可能發(fā)生的事情稱為不何能事件，詞為。例如，在Ei中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件，以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。|4、基本事件：試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱為基本事件。例如，在Ei中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，"擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)1應(yīng)件31如，在Ei中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。e.5、樣本空間：從集合觀點(diǎn)看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)，常訛為例如，在Ei中，用數(shù)字i, 2,，6表示擲出的點(diǎn)數(shù)，而由它們分別構(gòu)成的單點(diǎn)集 i,

3、 2,6便是Ei中的基本事件。在 E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有(H, H), (H, T), (T, H), (T, T),其基本事件便是 (H, H) , (H, T) , (T, H) , (T) 顯然，任何事件均為某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。例如，在Ei中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的事件便可表為2, 4, 6。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間。記為 Q。例如，在 Ei 中，Q=1 , 2, 3, 4, 5, 6在 E2中，= (H, H), (H, T), (T, H), (T, T) 在 E3 中，Q=0, 1, 2,例1, 一條新建鐵路共10個(gè)車站，從它們所有車票中任取一張

4、，觀察取得車票的票種。2此試驗(yàn)樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為Nq=P 10=90.(排列：和順序有關(guān)，如北東至天津、天津至北京)若觀察的是取得車票的票價(jià)，則該試驗(yàn)樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為專業(yè)102、相等：若A U B且BC A ,則稱事件A等于事件B ,記為A=B45(組合)例2.隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗(yàn)的樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為% =或者練=5 I 5 I 55 51I八八',',第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列§ 2事件間的關(guān)系與運(yùn)算1、包含：“若事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件 B發(fā)生，則稱事件B包含事件A,

5、記為A U B或 B 3 Ao例如，在E1中，令A(yù)表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即 A=2B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即 B=2 , 4, 6則ACBA= B例如，從一付52張的撲克牌中任取 4張，令A(yù)表示“取得到少 有3張紅桃”的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事 件。顯然A=B3、和：稱事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B的和事件簡(jiǎn)稱為和，記為A I1例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令 A表示“甲擊中目標(biāo)”的事 件，B表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則 AUB表示“目標(biāo)被擊中” 的事件。U4-4U4UU凡出,凡至少有一個(gè)發(fā)生有限個(gè) .-.無窮可列個(gè)4 = 4 U月U =（4, A 至少有一個(gè)發(fā)

6、生）A-14、積：稱事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件為 A與B的積事件，簡(jiǎn)稱為積，記為 AB 或AB。例如，在E3中，即觀察某電話交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中，令 A=接到偶數(shù)次呼 喚, B=接到奇數(shù)次呼喚，則A B B=接到6的倍數(shù)次呼喚n-一 -一之 一;；一任意有限個(gè)j-l=44 同時(shí)發(fā)生）u無窮可列個(gè)5、差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為 A減B的差事件簡(jiǎn)稱為差，記為 A-B 。例如，測(cè)量晶體管的3參數(shù)值，令A(yù)=測(cè)得3值不超過50, B= 測(cè)得3值不超過100,則，A-B= e, B-A= 測(cè)得3值為50 V 3 & 1006、互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即 AB

7、=。，則稱A與B是互不相容的。A=紅燈亮,工顯然= a，An R =例如，觀察某定義通路口在某時(shí)刻的紅綠燈：若 B=綠燈亮，則A與B便是互不相容的。7、對(duì)立：稱事件A不發(fā)生的事件為 A的對(duì)立事件，記為例如，從有3個(gè)次品，7個(gè)正品的10個(gè)產(chǎn)品中任取3個(gè)，若令A(yù)=取得的3個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品,則 耳=取得的3個(gè)產(chǎn) 品均為正品。§ 3事件的運(yùn)算規(guī)律 1、交換律 AUB=BUA; A A B=B n A2、結(jié)合律(AUB) U C=A U (BUC) ; (APB) n C=A n (BAC)3、分配律 AA (BUC) = (APB) U ( A A C) , AU ( BA C) =

8、(AUB) n (A U C)4、對(duì)偶律力磷=舒瓦對(duì)8=加瓦此外，還有一些常用性質(zhì)，如AUBDA,AUBZ)B (越求和越大)；AnBUA,AnB(ZB (越求積越小)。若 A (ZB,則 AU B=B, A A B=A A-B=A-AB= A B 等等。例3,從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，令人=第i次取得合格品,i=1,2,3,試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件。 A=三次都取得合格品B = 三次中至少有一次取得合格品 C =三次中恰有兩次取得合格品 D= 三次中最多有一次取得合格品解：_L=3 3 = 4u41M c = 4均& U444 U4應(yīng)4fl = 4表示方法常常不唯一，如事

9、件b又可表為b = a1a2a3J && 4U W? U 44 A U44AU && 4 U 444或b = 444例4, 一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令A(yù) i=第i次射擊擊中目標(biāo) , i=1,2,3，試用文字 敘述下列事件：；，一一蚌/笛一林酎土土土出口片14U4二前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo))4T第一次射擊耒擊中目標(biāo)J4 U 4 U 4=三次射擊至少有一次擊中目標(biāo)) AiA2A3=三次射擊都擊中目 標(biāo) 一A3-A2=第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo) AUA = 前兩次均未擊中目標(biāo))住:4H = 4A)A u豆=(前兩次射擊至少有一次未擊中目標(biāo))例5,下

10、圖所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點(diǎn), I, n,出，閉合，試寫出事件 A,B,C,D之間的關(guān)系。解，不難看出有如下一些關(guān)系:SCcABDcA BCuBD=Ar 放二電等二事件的概率§ 1概率的定義所謂事件A的概率是指事件 A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為 P (A)。規(guī)定P(A) > 0, P ( ) =1。1、古典概型中概率的定義古典概型：滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。(1)所有基本事件是有限個(gè)；(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同;例如：擲一勻稱的骰子，令 A=擲出2點(diǎn)=2 , B=擲出偶數(shù)總=2 , 4, 6。此試驗(yàn)樣本 空間

11、為1Q=1 , 2, 3, 4, 5, 6,于是，應(yīng)有 1=P ( ) =6P (A),即 P (A)=一。6而 P ( B) =3P (A)=3砌含的基本事件數(shù)M 一基本事件總數(shù)定義1：在古典概型中，設(shè)其樣本空間 所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試3的基本事件總數(shù)為 Nq 而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件 A發(fā)生的基本事件數(shù)為 Na,則事件A的概率便定 義為：5小/包含基本事件數(shù) 一藐一基本事件總數(shù)例1,將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間Q= (H, H, H) (H, H, T) (H, T, H) (T, H, H) (H ,

12、T, T) (T, H, T) (T, T, H) (T, T, T) 可見 Nq=8 令 A=恰有一次出現(xiàn)正面,則 A= (H, T, T) (T, H, T) (T, T, H) 可見，令Na=3 故尸=二紇8例2,（取球問題） 袋中有5個(gè)白毛3個(gè)黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。（1）有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后放回袋中，再取下一個(gè)球；（2）無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后不再放回袋中，再取下一個(gè)球；（3） 一次取球：從袋中任取3個(gè)球。在以上三種取法中均求A=恰好取得2個(gè)白球的概率解：（1）有放回取球 Nq=8X 8X8=83=512（袋中八個(gè)球，不論什

13、么顏色，取到每個(gè)球的概率相等）313刈=5x5x3=5盯】-225第一次取白球有五種情況,22.，人，什人，/（先從二個(gè)球里取兩個(gè)白球,第二次取白球還有五種情況注意是有放回第三次取黑球只有三種情況）尸"二竺=。工4V 512%=8x7x6 = 4 =336無放回取球叼=5x4x3= 溺=18030尸木啕“（3） 一次取球3 0.5456屬于取球問題的一個(gè)實(shí)例:設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有 概率便為5%的次品，今從中隨機(jī)抽取15件，則其中恰有2件次品的10050.1377（屬于一次取球模型）例3 （分球問題）將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中去，試求恰有n個(gè)盒子各有一球的概率 （nWN）。解：令A(yù)=恰

14、有n個(gè)盒子各有一球,先考慮基本事件的總數(shù)先從N個(gè)盒子里選n個(gè)盒子，然后在 n個(gè)盒子里n個(gè)球(N全排列屬于分球問題的一個(gè)實(shí)例:全班有40名同學(xué)，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令 A=40個(gè)同學(xué)生日皆不相同,則有（可以認(rèn)為有故365 個(gè)盒子，40 個(gè)球）例4 （取數(shù)問題）從0, 1,9共十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的不放回的接連取四個(gè)數(shù)字,并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)；（2）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)；（3）四 個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù)；解：令A(yù)=四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù), B=四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù) , C=四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位 偶數(shù)此=4 =10x9x8x7；必5. ,L1 4 =5

15、x9xgx7; 故=5x9x8x7 ”=0 510x9x8x7-6 = 10*9x8x7-9x8*7,故P(B) =10x9x8x7-9x8x7= 0.910x9x8x7=5x 9 xg X7- 4x8x7故 P(C)=5x9xgx7-4x8x7=045610x9x8x7例5 （分組問題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個(gè)人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里有4張A牌的概率各為多少？解：令A(yù)=有人手里有13張黑桃, B=有人手里有4張A牌于是52、13J=63乂1094(434V48V39尸(刃=組 練1352 V 39H 26H1300113 13 13 13不難證明，古典概型中所定義

16、的概率有以下三條基本性質(zhì)：1° P (A) > 02 P ( ) =13°若Al, A2,，An兩兩互不相容，則 fLU) = £f(a) i-12-12、概率的統(tǒng)計(jì)定義頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件 A出現(xiàn)了 nA次，則稱：八 =為事件A的頻率。 n頻率具有一定的穩(wěn)定性。示例見下例表試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)n止面(A)出現(xiàn)次數(shù)nA止面(A)出現(xiàn)的頻率4=一 n德摩爾根204810610. 5180浦豐404021480. 5069皮爾遜1200060190. 5016皮爾遜24000120120. 5005維尼30000149940. 4998定義2：在相同條件下

17、，將試驗(yàn)重復(fù) n次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A的頻率fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù) p附近擺動(dòng)，則稱常數(shù) p為事件A的概率，即P (A) =p不難證明頻率有以下基本性質(zhì)：1。2。一3°若Ai, A2,，兩兩互不相容，則=及13、概率的公理化定義(數(shù)學(xué)定義)定義3:設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為對(duì)其中每個(gè)事件 A定義一個(gè)實(shí)數(shù)P (A),如果它滿足下列三條公理：1° P (A) >0 (非負(fù)性)2 P ( ) =1 (規(guī)范性)g產(chǎn)3°若Ai, A2, An兩兩互不相容，則工7 (可列可加性，簡(jiǎn)稱可加性)則稱P (A)為A的概率4、幾何定義定義4:假設(shè)是Rn(n

18、=1,2,3)中任何一個(gè)可度量的區(qū)域， 從Q中隨機(jī)地選擇一點(diǎn)， 即Q中任何一點(diǎn)都有同樣的機(jī)會(huì)被選到，則相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間就是Q，假設(shè)事件 A是中任何一個(gè)可度量的子集，則P(A)= (A)/ a Q )§ 2概率的性質(zhì)性質(zhì)1:若A UB,則P(B-A尸P(B)-P(A)差的概率等于概率之差證： 因?yàn)椋篈 CB所以：B=A U (B-A)且A A (B-A尸()，由概率可加性得 P ( B) =PA U ( B-A) =P (A) +P ( B-A )即 P (B-A) =P (B) -P (A)性質(zhì)2:若A匚B, 則P (A) < P ( B) 概率的單調(diào)性證：由性質(zhì)1及概率

19、的非負(fù)性得 0WP (B-A) =P (B) -P (A),即P (A) < P (B)性質(zhì)3: P (A) < 1證明：由于A C ,由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得 P (A) W 1性質(zhì)4:對(duì)任意事件 A, P (耳)=1-P (A)證明：在性質(zhì) 1 中令 B = 便有 P (耳)=P ( -A) =P ( ) -P (A) =1-P (A)性質(zhì) 5: P ( 4 ) =0 證：在性質(zhì) 4 中，令 A= Q ,便有 P () =P (q、=1-P ( Q) =1-1=0性質(zhì)6 (加法公式)對(duì)任意事件A, B,有P (AUB =P (A) +P (B) -P (AB)證：由于 AU

20、B=AU (B-AB)且 AA ( B-AB)=()(見圖)由概率的可加性及性質(zhì)1便得P (AU B) =PA U ( B-AB ) =P (A) +P (B-AB )AUB AU( I： AB)=P (A) +P (B) -P (AB )推廣：P (AU BU C)=P(A)+P( B)+P(C)-P (AB)-P(AQ-P (BQ +P (ABC例6設(shè)10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)是次品，今從中任取 3個(gè)，試求取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品的 概率。解：令c=取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品，則。=取出產(chǎn)品中皆為正品,于是由性質(zhì) 4得二''一例7,甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0

21、.35,而同時(shí)下雨的概率為 0.15,問在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。解：令A(yù)=甲城下雨, B=乙城下雨,按題意所要求的是P (AUB) =P (A) +P (B) P (AB) =0.4+0.35-0.15=0.6例 8.設(shè) A,B,C 為三個(gè)事件，已知 P(A尸P(B尸P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125, 求 A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：由于ABCuAB故0 <P (ABC) <P CAB)= O 從而P (ABC) = 0于是所求的概率為F(月U B U C)=尸+ 尸(B) + P(C)-尸(月C) - P

22、(BC) + P(ABC)= + + -0_0_ + 0 = 4 4 488三條件概率§ 1條件概率的概念及計(jì)算在已知事件B發(fā)生條件下，事件 A發(fā)生的概率稱為事件 A的條件概率，記為 P (A/B)。條件 概率P (A/B)與無條件概率 P (A)通常是不相等的。例1:某一工廠有職工 500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人,即該工廠職工人員結(jié)構(gòu)如下：人數(shù)男女總和非熟練工人401050具他職工210240450總和250250500現(xiàn)從該廠中任選一職工，令A(yù)= 選出的職工為非熟練工人 , B= 選出的職工為女職工部即啜/網(wǎng)端定義1設(shè)A、B為兩事件，如果 P (

23、B) >0,則稱尸弘)二為在事件B發(fā)生的條件下，事件A的論件概率。|同樣，如果P (A) >0,則稱三為在事件A發(fā)生條件下，事件B的條件概率。條件概率的計(jì)算通常有兩種辦法：(1)由條件概率的 含義計(jì)算(通常適用于古典概型)，(2)由條件概率的 定義計(jì)算。例2: 一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次晶管, 每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí)， 向第二次取的也是好的晶體管的概率為 多少？解:A=第一次取的是好的晶體管 , B=第二次取的是好的晶體管按條件概率的含義立即可得:按條件概率的定義需先計(jì)算：= 9 = P(AS=-；于是10 510X

24、9 3血)*二二4 7 7 9例3:某種集成電路使用到 2000小時(shí)還能正常工作的概率為 0.94,使用到3000小時(shí)還能正 常工作的概率為0.87 .有一塊集成電路已工作了 2000小時(shí)，向它還能再工作1000小時(shí)的概率 為多大？解：令 A=集成電路能正常工作到2000小時(shí) , B=集成電路能正常工作到3000小時(shí)已知：P(A)=0.94,P(B)=0.87 且 B U 幺,既有 AB=B 于是 P(AB尸P(B)=0.87按題意所要求的概率為:§ 2關(guān)于條件概率的三個(gè)重要公式1 .乘法公式定 理 1：如果尸0,則有?(四然?W%)如果尸> 0,則有戶(加)=例4:已知某產(chǎn)品

25、的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級(jí)品，今從這批產(chǎn)品中任取一件求取得的為一級(jí)的概率.解：令a= 任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品, b= 任取一件產(chǎn)品為合格品，顯然 AcB , 即有AB=A故 P(AB) =P (A)。于是， 所要求的概率便為產(chǎn)= P 小幻=96% x75% = 72%例5:為了防止意外，在礦內(nèi)安裝兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng) a和b,每個(gè)報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)a有效的 概率為0.92，系統(tǒng)b的有效概率為0.93，而在系統(tǒng)a失靈情況下，系統(tǒng)b有效的概率為0.85,試 求：(1)當(dāng)發(fā)生意外時(shí)，兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；(2)在系統(tǒng)b失靈情況下，系統(tǒng)a有效的概率.AB=B-HA解：令 A=

26、系統(tǒng)a有效B=系統(tǒng)b有效已知，二二二，I H 二對(duì)問題（1），所要求的概率為PAU5）= F+尸-?（/£）= 1,35-也必，其中 尸（月8卜PS 一網(wǎng)（見圖）=二丁 一.'匕 = I 二 二-，： 二 .一對(duì)問題（2）,所要求的概率為P（AB）. P（A - AB） _ 尸（工）-PABPB）= 1 -尸 -1-0 930.92-0,862107-=0.829于是.:推廣：如果尸供為兒J雙則有證：由于?2AM）2-2M444 n 44 口n44卻故所以上面等式右邊的諸條件概率均存在，且由乘法公式可得尸口&）=耳4歐,. 4“=*V4M4%也.公片%4,4：例6:

27、10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，三個(gè)人參加抽簽（無放回）甲先，乙次，丙最后，試問 甲、乙、 丙均抽得難簽的概率為多少？ （2）甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少？解：令A(yù),B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件,對(duì)問題（1），所求的概率為:4 3 2 1_x-xi = _L = 003310 9 8 30對(duì)問題（2）,甲抽得難簽的概率為：= = 04,10乙 抽 得 難 簽的 概 率 為尸=pAB u AB）- 斗鳳誦）=尸,F（N）P%）.4 J+ 6 J，"wX9+ P（S）=paBC u ABC U ABC ABC）= P（ABC）+ P（ABC）+ PABC） + P（ABC丙抽得難簽

28、的概率為其中2 .全概率公式完備事件組|：如果一組事件也艮凡 在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè) 即 U： -二，I 卜二 H J）,則稱此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組J-1例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，以下事件組均為完備事件組：1 , 2 , 3 , 4 , 5,6;1 , 2, 3, 4, 5 , 6; A ,工（A為試驗(yàn)中任意一事件）定理2：設(shè) 上為一完備事件組，且尸（HjO（j則對(duì)于任意事網(wǎng)力=s?例）尸（%1V Un證：由于U兄, 二Q且對(duì)于任意 "工用= w i=i/，于是由概率于是A = AS2=4。用）=。彳用）且對(duì)于任意件工/乂口乂/ =2-1J-1的可加性及乘法公式便

29、得:%）=產(chǎn)。火乜' =2圈）=£附嚴(yán)（%）例7,某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如下:根據(jù)以往資料可知，中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4 ,中國(guó)勝日本的概率為 0.9,而日本勝美國(guó)的概率為 0.5,求 中國(guó)得冠軍的概率。解：令H= 日本勝美國(guó),月=美國(guó)勝日本, A= 中 國(guó)得冠軍由全概率公式便得所求的概率為尸=尸尸(%)+ 尸叵卜= 05x0,9 + 0 5x0,4 = 0,65例8,盒中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)，從盒中任取3個(gè)使用，用后放會(huì)盒中，第二次比賽時(shí)，再取3個(gè)使用，求第二次取出都是新球的概率解：令 H廠第一次比賽時(shí)取出的 3個(gè)球中有i個(gè)新球i=0, 1

30、, 2, 3, A = 第二次比賽取出的3個(gè)球均為新球PRPRm123P(H 3)=(9由全概率公式便可得所求的概率呀y(tǒng) （明.3貝葉斯公式定理3 : 設(shè)H卜H /.H ）為一完備事件組，且初證：由乘法公式和全概率公式即可得到例9:某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果：患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽性的概率為0.95,不患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為0.95,并假定就診者中有 0.005的人患有癌癥。已知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽性，問他是一個(gè)癌癥患者的概率是多少？: 先驗(yàn)概率解： 令H=做實(shí)驗(yàn)的人為癌癥患者,月=做實(shí)驗(yàn)的人不為癌癥患者 , A=實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陽性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陰性,由貝葉斯公式可求得所

31、要求的概率：0.005x0,95一=0.0870.005x0.95 + 0.995x0,05例10:兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時(shí)，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X ,問原發(fā)信息也是 X的概率為多少？解：設(shè)H=原發(fā)信息為X 而H =1原發(fā)信息加又設(shè)卜（收到信息為X）小做到信息為7）由題意可知尸P（H）=-=1-0 02 = 098由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為P(HA)尸（金忖）尸但）+尸M 用產(chǎn)出）0.98x + 0,01x1 33196197例11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已

32、知其中方 的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各占 %,已知甲，乙兩廠的次品率為2%,丙廠的次品率為 4%,現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1）求所取得產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2）求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3）已知所取得產(chǎn)品是次品，問他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？解：令 用風(fēng)巴 分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=所取得的產(chǎn)品為次品顯然= %伙卜4明卜明卜力,伏卜伙卜力對(duì)問題（1）,由乘法公式可得所要求的概率:網(wǎng)月送）=尸圈）產(chǎn),%卜%對(duì)問題（2）,由全概率公式可得所要求的概率由貝葉斯公式可得所要求的概率對(duì)問題(3 )四獨(dú)立性§ 1事件的獨(dú)立性如果事件B的發(fā)生不影響事件B獨(dú)

33、立。A的概率，即> 0）則稱事件a對(duì)事件如果事件A的發(fā)生不影響事件件A獨(dú)立。B的概率，即尸，（F0）則稱事件B對(duì)事不難證明，當(dāng) 也）> 0,尸（B）0時(shí)，上述兩個(gè)式子是等價(jià)的。事實(shí)上，如果 尸，%）=尸（工），則有P（AB） = P?。? PP反之，如果P（AB）尸?，則有收）一需F尸=尸產(chǎn)即 ，:.I,： I-. 一二總之，可見事件獨(dú) 立性是相互的。同樣可證，；, I 一 ；.：. 一 :H%) = FQ) 0 H®)=尸尸(2)O P% = F定義1設(shè)A, B為兩個(gè)事件，如果 P幽 =P（A）F,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。例1,袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中（1）

34、有放回；（2）無放回的取兩次球，每次取一 球，令A(yù)=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球問A,B是否獨(dú)立?解：（1）有放回取球情況，則有產(chǎn)=%/($) = %月期=% = %5可見， 以48）= F（A）P（S），可見a , b獨(dú)立。（2）無放回取球情況,則有尸=%凡）=3x25x4310可見，P（AB）h F（A）P，故a, b不獨(dú)立。（實(shí)際上就是抓閹模型）例2,設(shè)有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)I, n （見圖）每個(gè)元件的可靠性（即元件正常工作的概率）為r（0<r<1）.假定兩元件工作彼此獨(dú)立，求兩系統(tǒng)的可靠性.系統(tǒng)I解：令 A= 元件a正常工作 , B= 元件b正

35、常工作，且A,B獨(dú)立。C1 = 系統(tǒng)I正常工作, C2= 系統(tǒng)II 正常工作于是系統(tǒng)i的可靠性為F（Cj = F（£B）= PF=J系 統(tǒng) ii 的 可 靠 性 為火力=?（Z|J5）=+ 尸-= 曬+暄-抽曬=2-顯然 產(chǎn)&）=2"戶>2"-非=戶= E（Cj（0r1）,系統(tǒng)n可靠性大于系統(tǒng)I的可靠性。定義：設(shè) A, B, C為三個(gè)事件，如果 P (AB) =P (A) P (B), P (AQ =P (A) P (C),P (BQ =P (B) P (C), P (AB。=P (A) P (B) P (C) 則稱 A, B, C 為相互獨(dú)立的。定

36、義2:設(shè)Ai, A2,A為n個(gè)事件，如果對(duì)任意正整數(shù)上（上«神）及上述事件中的任意-二七一入有P，一 I則稱這n個(gè)事件A,A2，A是相互獨(dú)立的。卜面幾個(gè)結(jié)論是常用的超獨(dú)立、A融立,2 3獨(dú)立7曲蟲立四個(gè)命題有一個(gè)成立其它三個(gè)必成立。證：設(shè)A, B成立，即F(AB) = f(&F(的,于是有P(AB) = P(A - AB) = P(A)-P(AB) =產(chǎn)的汽&汽9=尸(加卜 F(A)P(2)如果 444 相互獨(dú)立，則如果44,4相互獨(dú)立，則證:F 怨1 -1?=1產(chǎn) m =1尸件，-口電)例3:三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為 一，一，一 求密碼能被譯出

37、的概5 3 4率,所要求的概率為解：令 Ai= 第i個(gè)人能譯出密碼 , I=1,2,3 ; A=密碼能被譯出P（A）=P（A1uA2 乂） = 1-尸伍,（4卜（區(qū)）=1-394 = 0,6例4:設(shè)每支步槍擊中飛機(jī)的概率為F = OM (1)現(xiàn)有250支步槍同時(shí)射擊，求飛機(jī)被擊中的概率；(2)若要以99%概率擊中飛機(jī)，問需多少支步槍同時(shí)射擊?解： 令A(yù)i= 第i支步槍擊中飛機(jī)i = 1,2,n； A=飛機(jī)被擊中對(duì) 問 題 （1）,n=250, 所 要 求 的 概 率 為H=心M 5 %）血閡,后）=1-（1-0次=1-0,996祝4 0.63對(duì)問題(2), n為所需的步數(shù)，按題意 凡1-。-尸丫 = 0.99 ,即（l-p）*=0.01,即 0 W = 0.01In 0.01In 0.996*1150§ 2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行 n次，且每次試驗(yàn)中任何一事件的概率不 受其它次試驗(yàn)結(jié)果的影響，此種試驗(yàn)稱為n