淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透

1、淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透淮安市第一中學(xué) 包士祥內(nèi)容提要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，學(xué)生只有領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成能力，從而為解決數(shù)學(xué)問題、進(jìn)行數(shù)學(xué)思維起到很好的促進(jìn)作用。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想 新課程標(biāo)準(zhǔn) 滲透正文數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在對(duì)第三學(xué)段（七九年級(jí)）的教學(xué)建議中要求“對(duì)于重要的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現(xiàn)”。這就要求我們教師能在實(shí)際的教學(xué)過程中不斷地發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、滲透數(shù)學(xué)思想方法。一、滲透化歸思想，提高學(xué)生解決問題的能力所謂“化歸”是指把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最

2、終使問題得到解決的一種思想方法。這體現(xiàn)了研究科學(xué)的一種基本思路，即把“不熟悉”遷移到“熟悉”的路子上去。我們也常把它稱之為“轉(zhuǎn)化思想”?？梢哉f(shuō)化歸思想在本教材的數(shù)學(xué)教學(xué)中是貫穿始終的。例如：在教材有理數(shù)的減法、有理數(shù)的除法這兩節(jié)內(nèi)容中，實(shí)際上教材是通過“議一議”形式使學(xué)生在自主探究和合作交流的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷把有理數(shù)的減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法的過程，體驗(yàn)、學(xué)會(huì)并熟悉“轉(zhuǎn)化一求解”的思想方法。我們可以注意到教材在出示了一組例題后，特別用卡通人語(yǔ)言的形式表明“減法可以轉(zhuǎn)化為加法”、“除法可以轉(zhuǎn)化為乘法”、“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。這在主觀上幫助了學(xué)生在探索時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的過程，而在學(xué)生體

3、會(huì)到成功后客觀上就滲透了學(xué)生化歸的思想。值得注意的是這個(gè)地方雖然很簡(jiǎn)單，但我們教師不能因?yàn)楹?jiǎn)單而忽視它，實(shí)踐告訴我們往往是越簡(jiǎn)單淺顯的例子越能引來(lái)人們的認(rèn)同，所以我們不能錯(cuò)過這一絕佳的提高學(xué)生的思維品質(zhì)的機(jī)會(huì)。再如教材走進(jìn)圖形世界，它實(shí)際上是“空間與圖形”的最基本部分。教材在編排設(shè)計(jì)上是圍繞認(rèn)識(shí)基本幾何體、發(fā)展學(xué)生空間觀念展開的，在過程上是讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的變化、展開與折疊等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的，在活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)常見的幾何體以及點(diǎn)、線、面和一些簡(jiǎn)單的平面圖形；通過對(duì)某些幾何體的主視圖、俯視圖、左視圖的認(rèn)識(shí)，在平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化中發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在七（上）教師教學(xué)參考資料用書中，教材在設(shè)計(jì)

4、思路上明確提出本章內(nèi)容的處理方法是“先空間、后平圖，再通過展開與折疊、從三個(gè)方向看數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化?！边@就要求我們必須在授課過程中注意圖形的化歸思想滲透。我個(gè)人認(rèn)為在實(shí)際操作中，因?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生在小學(xué)時(shí)就積累一定的感性處理方法，我們要注意的就是將其上升為理論高度，甚至于作出一般性的總結(jié)，如“在初中階段絕大部分立體圖形的問題都可以轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題。”又如解無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為解有理方程，解分式方程轉(zhuǎn)化為解整式方程，解“二元”方程轉(zhuǎn)化為解“一元”方程，解多邊形問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題等等。二、滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維的能力數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合

5、起來(lái)解決問題的一種思維方式。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@就是在強(qiáng)調(diào)把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考慮的重要性。把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化。在教材有理數(shù)里面用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示有理數(shù)，就是最簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學(xué)生較好地理解有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)等概念，以及進(jìn)行兩個(gè)有理數(shù)的大小比較。-1 a1b0例1如上圖，在數(shù)軸上的兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為a、b，則表示下列結(jié)論正確的是（ ）（A）（B）a-b0（C）2a+b0（D）a+b0分析：本題首先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)a、b在數(shù)軸上的

6、位置，得到a1、0b1。值得注意的是這一步所得就是由形到數(shù)的過程，應(yīng)引起學(xué)生思想上的關(guān)注。然后可以利用取特殊值的方法（如：）,一一帶入求解，從而獲得答案。這就是完全將圖形遷移到數(shù)量上來(lái)。我們也可以繼續(xù)利用圖形，在數(shù)軸上作出諸如b，2a的長(zhǎng)度，再利用線段的長(zhǎng)短大小、加減和差來(lái)比較（A）（B）（C）（D）四個(gè)數(shù)量關(guān)系的正確與否。容易發(fā)現(xiàn)，不管是用哪一種方法，都是把圖形和數(shù)量結(jié)合起來(lái)的解題，這種巧妙的結(jié)合可以使一些紛繁無(wú)緒，難以上手的問題獲得簡(jiǎn)解。數(shù)形結(jié)合思想的滲透不能簡(jiǎn)單的通過解題來(lái)實(shí)現(xiàn)和灌輸，應(yīng)該落實(shí)在課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)探索過程中，如在相反數(shù)這節(jié)課，先從互為相反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)軸上的特征，即它們分別位于

7、原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)距離相等的實(shí)例出發(fā)，揭示這兩數(shù)的幾何形象。充分利用數(shù)軸幫助思考，把一個(gè)抽象的數(shù)的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱互為相反數(shù)。特別地規(guī)定：零的相反數(shù)是零。顯得自然親切，水到渠成。同時(shí)也讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想方法的引領(lǐng)下感受到了成功，初步領(lǐng)略和嘗試了它的功用，是一個(gè)非常好的滲透背景。又如，在教材平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）里我們會(huì)遇見這樣的問題：已知線段AB，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C使CA=3AB。（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？這個(gè)題目的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設(shè)問內(nèi)容卻是一個(gè)數(shù)量問題。若學(xué)生不畫圖，則

8、不易得到其數(shù)量關(guān)系，但學(xué)生只要把圖畫出，其數(shù)量關(guān)系就一目了然。此題的出題意圖即為數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。再看例2：完成下列計(jì)算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？根據(jù)計(jì)算結(jié)果，探索規(guī)律。* * * * * * * * * * * * *97531* * * *在這題的教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察（每個(gè)算式和結(jié)果的特點(diǎn)）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。在探索過程中可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行相互合作交流，也可以提供如下的幫助：列出一個(gè)點(diǎn)陣，用圖形的直觀來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)行猜想。這就是典型的把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化到圖形中來(lái)

9、完成的題型。再如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”知識(shí)的時(shí)候，更是借助于函數(shù)的圖象來(lái)探討函數(shù)的知識(shí)，這是數(shù)形結(jié)合思想的最生動(dòng)的應(yīng)用。所以，我們一定要通過課堂的教學(xué)、習(xí)題的講解使學(xué)生充分地理解數(shù)中有形、形中有數(shù)、數(shù)形是緊密聯(lián)系的，從而得到數(shù)形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題。三、滲透分類討論的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生全面觀察事物、靈活處理問題的能力。當(dāng)被研究的問題包含多種可能的情況不能一概而論時(shí)，就要按照可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論，這種處理問題的思維方法就是分類討論思想。在滲透分類討論思想的過程中，我認(rèn)為首要的是分類。要能培養(yǎng)學(xué)生分類的意識(shí)，然后才

10、能在其基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。我們仔細(xì)分析教材的話應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)，教材對(duì)于分類的滲透是一直堅(jiān)持而又明顯的。比如在有理數(shù)研究相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法運(yùn)算的符號(hào)法則等都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三類分別研究的：在研究加、減、乘、除四種運(yùn)算法則也是按照同號(hào)、異號(hào)、與零運(yùn)算這三類分別研究的；而在平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）一章中，用分類討論思想進(jìn)行了角的分類、點(diǎn)和直線的位置關(guān)系的分類、兩條直線位置關(guān)系的分類，在函數(shù)知識(shí)里將函數(shù)圖象分為開口方向向上、向下，單調(diào)遞增、遞減來(lái)進(jìn)行研究。在圓中按圓心距與兩圓半徑之間的大小關(guān)系將兩圓的位置關(guān)系分成了六類。在功用上這種思想方法主要可以避免漏解、錯(cuò)解，而在學(xué)生的思維品質(zhì)上則有利

11、于培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性與邏輯性。我認(rèn)為在滲透分類討論思想的時(shí)候，我們還可以從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際、學(xué)習(xí)實(shí)際。比如在講解“同類項(xiàng)”這個(gè)概念時(shí)，可出示導(dǎo)入題為：把下面這些實(shí)際進(jìn)行分類：蛋筒、菠蘿、棒冰、蘿卜、菜椒、香蕉、白菜。在分類的時(shí)候鼓勵(lì)學(xué)生按多種類別進(jìn)行分類，可以進(jìn)行討論交流。學(xué)生在嘗試按種類、顏色等多種方法進(jìn)行分類后，就可以非常自然的引出同類項(xiàng)這個(gè)概念了。學(xué)生嘗試按種類、顏色等多種方法進(jìn)行分類，一方面可提供學(xué)生主動(dòng)參與的機(jī)會(huì)，把學(xué)生的注意力和思維活動(dòng)調(diào)節(jié)到積極狀態(tài)，另一方面可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，加速體現(xiàn)了分類的思想方法。在平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）這一章中有這樣一道題

12、：已知平面上三個(gè)點(diǎn)A、B、C，過其中每?jī)牲c(diǎn)畫直線共可以畫幾條？若平面上A、B、C、D四點(diǎn)呢？試分別畫圖說(shuō)明。分析：過平面上三點(diǎn)畫直線有兩種情況：（1）三點(diǎn)共線時(shí)，只能畫一條直線；（2）三點(diǎn)不共線時(shí)，可畫三條直線；過平面上四點(diǎn)畫直線有三種情況：（1）四點(diǎn)共線時(shí)，只能畫一條直線；（2）四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線時(shí)，可畫四條直線；（3）四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線時(shí)，可畫六條直線。再如例3：已知=3，=2，求a+b的值。解=3，=2，a=3或a=-3，b=2或b=-2。因此，對(duì)于a、b的取值，應(yīng)分四種情況討論。當(dāng)a=3，b=2或a=3，b=-2或a=-3，b=2或a=-3，b=-2時(shí)，分別求出a+b的值為5；1；-

13、1；-5。這些題目都能很好的體現(xiàn)分類思想，在平時(shí)的訓(xùn)練中，我們要多通過這類題的解答，滲透著分類討論的思想。通過分類討論，既能使問題得到解決，又能使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多方面去分析、解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、全面性。四、滲透方程思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。方程思想指借助解方程來(lái)求出未知量的一種解題策略。運(yùn)用方程思想求解的題目在中考試題中隨處可見。同時(shí)，方程思想也是我們求解有關(guān)圖形中的線段、角的大小的重要方法。如例4：已知線段AC：AB：BC=3：5：7，且AC+AB=16cm，求線段BC的長(zhǎng)。解：設(shè)AC=3x，則AB=5x，BC=7x，因?yàn)锳C+AB=16cm，所以3x+5x=16cm，解

14、得x=2因此BC=7x=14cm我們知道方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。所以方程思想實(shí)際上就是由實(shí)際問題抽象為方程過程的數(shù)學(xué)建模思想。我們?cè)谝郧袄辖滩闹薪?jīng)常會(huì)提到三種模型，即方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。實(shí)際上就是今天所說(shuō)的建模的思想。那么這樣看來(lái)，方程就是第一個(gè)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本模型。所以方程思想的領(lǐng)會(huì)與否直接關(guān)系到數(shù)學(xué)建模能力的大小。因此說(shuō)我們對(duì)學(xué)生進(jìn)行方程思想的滲透，就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，這對(duì)我們學(xué)生以后的學(xué)習(xí)都有著深遠(yuǎn)的影響。蘇科版七（上）教材在用方程解決問題的教學(xué)中，已經(jīng)提出不再以題型進(jìn)行分類，而著重強(qiáng)調(diào)對(duì)實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系的分析，突出解決問題的策略。我想這樣的設(shè)計(jì)

15、與安排正好就應(yīng)和了我們對(duì)方程思想方法的滲透。我們?cè)谑谡n中可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖表、示意圖、線段圖來(lái)分析題意，尋找已知量和未知量的關(guān)系。而它們之間的那個(gè)相等關(guān)系實(shí)際上就是方程模型，只要能把各個(gè)量帶入方程模型，問題就能得到解決了；另外我認(rèn)為，方程的思想方法作為一種建模能力，應(yīng)該體現(xiàn)在學(xué)生能自覺的去運(yùn)用這種方法、手段（模型），這就要求我們能引導(dǎo)學(xué)生從身邊的實(shí)際問題出發(fā)自行創(chuàng)設(shè)、研究、運(yùn)用方程。其實(shí)教材中也給了我們這方面的材料，比如教材一元一次方程章首的天平稱鹽活動(dòng)、數(shù)學(xué)實(shí)際室月歷上的游戲等，都可以成為我們利用的情境。五、滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)從特殊到一般

16、的數(shù)學(xué)思想方法，即先觀察一些特殊的事例，然后分析它們共同具有的特征，作出一般的結(jié)論。新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出要發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感，其中符號(hào)感的一個(gè)主要表現(xiàn)是要求學(xué)生能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來(lái)表示，而列代數(shù)式是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的具體途徑。如用字母表示數(shù)，這是中學(xué)生學(xué)好代數(shù)的關(guān)鍵一步，要跨越這一步是有一定的困難的。從算術(shù)到代數(shù)，思維方式上要產(chǎn)生一個(gè)飛躍，有一個(gè)從量變到質(zhì)變的發(fā)展過程，學(xué)生始終認(rèn)為“a是負(fù)數(shù)”，“兩個(gè)數(shù)的和大于其中任何一個(gè)加數(shù)”等，這樣就要求我們?cè)诮虒W(xué)中不斷滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，不斷強(qiáng)化，逐步完成學(xué)生從數(shù)到式，由普通語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言，由特殊到一般，由具體到抽象的飛

17、躍。例5：1、填表：若按照上圖的擺法擺放餐桌和椅子，完成下表：桌子張數(shù)123n可坐人數(shù)若按照上圖的擺法擺放餐桌和椅子，完成下表：桌子張數(shù)123n可坐人數(shù)2、變式問題：在桌數(shù)相同時(shí)哪一種擺法可坐人更多？3、探索問題：若你是一家餐廳的大堂經(jīng)理，由你負(fù)責(zé)在一個(gè)寬敞明亮的大廳里組織一次規(guī)模盛大的冷餐會(huì)，你會(huì)選擇哪種餐桌的擺法呢？本題的設(shè)計(jì)是從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)歷出發(fā)，選擇學(xué)生身邊的感興趣的問題大膽探索，使學(xué)生對(duì)生活的數(shù)學(xué)化有較好的體驗(yàn)。在教學(xué)中我們先用特殊的具體數(shù)字總結(jié)出規(guī)律，再用一般的字母來(lái)表示。在這個(gè)過程中，并沒有直接把結(jié)果“拋”給學(xué)生，而是讓學(xué)生去探索、交流、歸納，經(jīng)歷從特殊到一般的知識(shí)形成過程，

18、既促進(jìn)了學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中說(shuō)“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)”，所以無(wú)論是從特殊到一般的數(shù)學(xué)知識(shí)的歸納形成過程，還是從一般到特殊的數(shù)學(xué)知識(shí)的驗(yàn)證應(yīng)用過程，教師作為合作者、引導(dǎo)者，都應(yīng)該提供足夠時(shí)間和空間，讓學(xué)生主動(dòng)去從事各種數(shù)學(xué)活動(dòng)，只有這樣才能突出學(xué)生的主體地位，獲得明顯的教學(xué)效果。在七年級(jí)教材中還蘊(yùn)涵著其它的一些常用的數(shù)學(xué)思想方法。比如：整體思想、數(shù)式通性的思想、“元”的思想等等。這些都要求我們?cè)诮虒W(xué)中要適時(shí)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)方法給予提煉和概括，讓學(xué)生有明確的印象；同時(shí)還要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生自我提煉、揣摩概括數(shù)學(xué)思想方法的能力，這們才能把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落在實(shí)處。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的總稱。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略。數(shù)學(xué)方法是解決問題的手段和工具。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才算真正掌握了數(shù)學(xué)。因而，數(shù)學(xué)思想方法也應(yīng)是學(xué)生必須具備的基本素質(zhì)之一。我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，應(yīng)充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方